Der Zweck dieser Arbeit ist es, den Leser mit dem Berlekamp-Massey-Algorithmus (oder Berlekamp-Messi-Algorithmus) vertraut zu machen, einschließlich Inferenz und einiger seiner Anwendungen.
Der Hauptzweck des Berlekamp-Massey-Algorithmus ist die Auswertung von binären BCH-Codes (Bose-Chowdhury-Hawkingham-Codes, BCH-Codes). Binärcodes sind eine Möglichkeit, Daten in Form eines Codes darzustellen , in dem jede Ziffer enthalten ist nimmt einen von zwei möglichen Werten an, die normalerweise mit den Zahlen 0 und 1 bezeichnet werden. Berlekamp veröffentlichte seinen Algorithmus 1968 und kurz darauf veröffentlichte Massey 1969 seine Version des Algorithmus. Der Algorithmus wird am häufigsten als schnelle Methode zum Invertieren von Matrizen mit konstanten Diagonalen verwendet. Es funktioniert auf jedem Feld, aber endliche Felder, die in der Codierungstheorie am häufigsten vorkommen, werden am häufigsten verwendet. Der Algorithmus ist besonders nützlich zum Decodieren verschiedener algebraischer Codes. In seiner Veröffentlichung gab Berlekamp an, dass der Algorithmus eine "Schlüsselgleichung" verwendet, um eine bekannte Anzahl von Koeffizienten der Erzeugungsfunktion einzugeben und dann die verbleibenden Koeffizienten des Polynoms zu bestimmen. Was an diesem Algorithmus nützlich ist, ist, dass nur ein kleiner Teil der codierten Nachricht benötigt wird.um es entschlüsseln zu können. Der entscheidende Schritt besteht darin, das Problem so umzuformulieren, dass nicht explizit über n mal n Matrizen nachgedacht wird, da der Arbeitsaufwand bei einer solchen Operation zu groß ist. Berlekamp schaffte dies mit seiner Schlüsselgleichung und wiederholte Massey mit seiner Variante des Algorithmus.
Die Anwendungen und die Implementierung dieses Algorithmus wurden von Massey verfeinert und erweitert, der die physikalische Interpretation des linearen Rückkopplungsschieberegisters (LFSR) als Werkzeug zum besseren Verständnis des Algorithmus verwendete. Diese Variante synthetisiert LFSRs mit einer bestimmten Ausgabesequenz. LFSR gibt die Länge der codierten Nachricht an, die vom Algorithmus entschlüsselt werden soll. Die Länge der erforderlichen Nachricht ist nur doppelt so lang wie die des LFSR ( 2n ). Nachdem wir eine Vorstellung davon haben, was der Algorithmus tun möchte, können wir seine nützliche Anwendung sehen.
Algorithmusanwendung
, BCH, - . . NASA CD . , .
. () — , .
, N, N , . m ( m = 2). c = (c0, c1, …, cN-1), s = (s0, s1, …, sN-1). sN+1 n + 1 > N :
, , . N = 5 m = 2. , c = (c0, c1, c2, c3, c4), C :
, c = ( c0, c1, c2, c3, c4 ) s = ( s0, s1, s2, s3, s4 ) , .
- c, c = ( c0, c1, …,cN-1 ), 2n , n = , . , , « ». , .
xn - 1. w , , n, θ, :
, wn = 1 wk ¹ 1 1 < k < n. , 1, w, w2, …, wn-1 - sn = 1, , , , , n n , . w n- . , , . . w . n . < w > , , < w > – wk, 1 £ k < n gcd( n, k ) = 1, gcd . () n- .
:
G = < a > - n. G = < ak > , gcd(n, k) = 1
, , , , . f(n) n n. , n f(n) n- . , f(n) n- .
:
n, w1, w2, …,wf(n) n- . N- Q :
*: Fn(x) (. 1) f(n), f(n) - .*
, Fn(x) , , .
n :
- , . , , , .
BCH (), t , Fn Q . 2 n, m . , - m, 2m mod n = 1 GF(2m) a GF(2m) - . , BCH.
BCH
, BCH :
, . R(x) = C(x) + E(x)
A
j = 1, 2, …, 2t aj. M(j)(x) – aj (1 < j < 2t). ,
B
t - , , e - . X1, X2, …, Xe , Ei = 1 ( ). , R(x) A M(j)(x) Sj = R(aj) r(j)(aj ). .
--------------
: R(x) , , S1 , S2 , S1 = R(a) S2 = R(a2)
--------------
, S - 1, R(x) M(1)(x) r(1)(x) , , S1 = r(1)(a). , S2, R(x) M(2)(x) r(2)(x). S2 = r(2)(a2).
S1, S2, …, S2t, , X1, X2, …, Xe
C
, . . :
D
[ , , , 1984 ., 1.]
, s(z), ( ) , Chien search ( , ). , .
— s(z) S. s(x) S, :
E
, . s(z) w(z):
F
[1 + S(z)]s(x) = w(z). , z S(z). ( , 2t ). S2t+1, S2t+2, S2t+3,…, S(z) , - S(z) mod z2t+1. .
G
S(z) - , – . s(z) w(z)- < e ( e - , ). .
, - . , .
:
1. [ ] https://ru.wikipedia.org/wiki/
2. - .., .. . , 2001. 672 .
3. Erin Casey, “Berlekamp-Massey Algorithm”, 2000
4. David C. Arney, Joseph Gallian, and Paul Campbell, “Principles and Practice of Mathematics: COMAP”
5. Berlekamp's Algebraic Coding Theory, Revised edition, 1984
6. Chien [ ] https://en.wikipedia.org/wiki/Chiensearch
7. Gallian, Joseph A. Contemporary Abstract Algebra, Houghton Miin Company, Boston, 1998.
8. Garrett, Paul. Error Correcting Codes. Notes 1999-2000.
9. Garrett, Paul. Introduction to Cryptography. Notes. 2000.
10. , . « » . 6. 2000, .93-118
11. [ ] https://ru.wikipedia.org/wiki/