Übungen in reiner Mathematik führten zur Schaffung einer groß angelegten Theorie über die Struktur der Welt
Irgendwann Mitte des Sommers 2016 betrat der ungarische Mathematiker Gabor Domokos die Veranda des Hauses von Douglas Jerolmak , einem Geophysiker aus Philadelphia. Domokosh hatte Reisekoffer dabei, eine schwere Erkältung und ein brennendes Geheimnis.
Wenig später gingen zwei Männer die Schotterauffahrt im Hinterhof entlang, wo Jerolmaks Frau einen Taco-Wagen aufbewahrte. Zerkleinerter Kalkstein knirschte unter ihren Füßen. Domokosh zeigte auf seine Füße.
"Wie viele Facetten hat jeder dieser Steine?" - er hat gefragt. Dann grinste er. "Was wäre, wenn ich dir sagen würde, dass es normalerweise sechs von ihnen gibt?" Und dann stellte er eine noch allgemeinere Frage, von der er hoffte, dass sie dauerhaft im Gehirn seines Kollegen verbleiben würde. Was ist, wenn die Welt aus Würfeln besteht?
Djerolmak protestierte zunächst: Vielleicht sind Häuser aus Ziegeln gebaut, aber die Erde besteht aus Steinen. Und die Form der Steine ist offensichtlich anders. Glimmer zerfällt in Schuppen, Kristalle brechen entlang starr definierter Achsen. Domokosh argumentierte jedoch, dass reine Mathematik allein impliziert, dass alle Steine, die zufällig brechen, Formen mit durchschnittlich sechs Flächen und acht Eckpunkten erzeugen. Wenn wir den Durchschnitt für alle nehmen, tendiert er zu einem idealen Würfel. Domokosh sagte, er habe es mathematisch bewiesen. Jetzt brauchte er Jerolmak, um zu zeigen, dass dies auch in der Natur geschieht.
"Es war eine klare geometrische Vorhersage, geboren aus der Natur und ohne Physik", sagte Jerolmak, Professor an der University of Pennsylvania. "Wie zum Teufel hat die Natur das überhaupt zugelassen?"
In den nächsten Jahren erkundete das Paar seine geometrische Idee und untersuchte alles von mikroskopisch kleinen Gesteinsfragmenten über Aufschlüsse geologischer Gesteine, Planetenoberflächen bis hin zu Platons Timaios- Dialog . All dies bedeckte das Projekt mit einem Hauch von Mystik. Einer der größten Philosophen um 360 v kartierte fünf platonische Körpermit fünf "Elementen" des Universums: Erde, Luft, Feuer, Wasser und Sternmaterie. Durch Zufall und / oder Voraussicht passte Platon die am besten gestapelten Würfel an den Boden an. "Und ich dachte - okay, jetzt haben wir das Gebiet der Metaphysik bereits leicht betreten", sagte Jerolmak.
Gabor Domokos und Douglas Jerolmak fanden
jedoch weiterhin mittlere Quader in der Natur sowie verschiedene Formen, die nicht wie Würfel aussahen, aber der gleichen Theorie folgten. Als Ergebnis haben sie eine neue mathematische Plattform geschaffen: eine beschreibende Sprache, die ausdrückt, wie Dinge auseinanderfallen. In diesem Jahr veröffentlicht, ähnelte ihre gemeinsame Arbeit mit dem Titel einem esoterischen Band aus der Harry-Potter-Reihe: Platons Würfel und die natürliche Geometrie der Fragmentierung.
Mehrere von der Zeitschrift kontaktierte Geophysiker sagen, dass dieselbe mathematische Plattform für andere Aufgaben verwendet werden könnte, beispielsweise zur Untersuchung der Erosion von Gesteinsfehlern oder zur Verhinderung gefährlicher Erdrutsche. "Das ist sehr interessant", sagte der Geomorphologe Mikael Attal von der University of Edinburgh, einer von zwei Gutachtern dieser Arbeit. Ein anderer Gutachter, der Geophysiker David Furbisch von der Vanderbilt University, sagte: "Bei dieser Art von Arbeit frage ich mich, ob ich diese Ideen irgendwie nutzen kann."
Alle möglichen Fehler
Lange vor seinem Besuch in Philadelphia hatte Domokosh eine harmlosere mathematische Frage.
Nehmen wir an, Sie haben etwas in viele Teile zerschlagen. Jetzt haben Sie ein Mosaik - eine Reihe von Formen, die ohne Überlappungen oder Brüche zusammengesetzt werden können, wie der Boden in einem alten römischen Bad. Nehmen Sie außerdem an, dass alle Formen konvex sind.
Zuerst fragte sich Domokosh, ob es nur mit Hilfe der Geometrie möglich sei, vorherzusagen, aus welchen Figuren ein solches Mosaik im Durchschnitt bestehen würde. Dann wollte er lernen, wie man alle anderen möglichen Sätze solcher Figuren beschreibt.
In zwei Dimensionen müssen Sie nichts in Stücke zerbrechen, um dieses Problem zu untersuchen. Nimm ein Stück Papier. Schneiden Sie es nach dem Zufallsprinzip, indem Sie das Blatt in zwei Teile teilen. Machen Sie dann an jedem dieser Polygone einen Schnitt. Wiederholen Sie den Vorgang mehrmals. Berechnen Sie die durchschnittliche Anzahl der Eckpunkte für jedes Blatt Papier.
Für eine Person, die Geometrie studiert, wird es nicht so schwierig sein, die Antwort auf diese Frage zu finden. "Ich habe eine Kiste Bier gestellt, damit ich Ihnen helfen kann, diese Formel in ein paar Stunden zu erhalten", sagte Domokosh. Im Durchschnitt sollten die Teile vier Eckpunkte und vier Seiten haben, und ihre durchschnittliche Form ist rechteckig.
Das gleiche Problem kann in drei Dimensionen betrachtet werden. Vor etwa 50 Jahren war ein russischer Nuklearphysiker, Friedensnobelpreisträger und später Dissident. Andrei Dmitrievich Sacharow dachte über das gleiche Problem nach, als er mit seiner Frau Kohl schnitt. Wie viele Eckpunkte hat jedes der resultierenden Stücke im Durchschnitt? Sacharow übergab diese Aufgabe dem legendären sowjetischen Mathematiker Vladimir Igorevich Arnold und seinem Schüler. Sie fanden jedoch keine vollständige Lösung und ihre Versuche wurden weitgehend vergessen.
Moeraki-Felsbrocken in Neuseeland
Domokosh, der nichts von ihrer Arbeit wusste, schrieb einen Beweis, dessen Antwort Würfel waren. Aber er wollte die Richtigkeit überprüfen. Er entschied, dass die Antwort auf dieses Problem, wenn sie bereits existiert, in der unverständlichen Arbeit der deutschen Mathematiker Wolfgang Weil und Rolf Schneider - einem 80 Jahre alten Titan aus dem Bereich der Geometrie [der Titel ist im Original nicht angegeben - verborgen sein sollte - anscheinend meint er das Buch " Stochastic " und integrale Geometrie "/ ca. pro.]. Domokosh ist ein professioneller Mathematiker, aber der Text des Buches war selbst für ihn zu schwer.
"Ich habe eine Person gefunden, die sich bereit erklärt hat, mir den Teil des Buches vorzulesen und ihn wieder in Menschen zu übersetzen", sagte Domokosh. Dort fand er einen Satz für beliebig viele Dimensionen. Sie bestätigte, dass Würfel in der Antwort in drei Dimensionen erscheinen.
Jetzt hat Domokosh gemittelte Zahlen gefunden, die durch Schneiden einer ebenen Fläche oder eines dreidimensionalen Ziegels erhalten werden. Eine allgemeinere Frage stellte sich. Domokosh erkannte, dass er auch eine mathematische Beschreibung nicht nur durchschnittlicher Zahlen, sondern möglicherweise auch beliebiger Zahlen entwickeln konnte: Welche Zahlen können im Prinzip durch Teilen eines Objekts erhalten werden?
Denken Sie daran, dass die nach dem Zerfall eines Objekts erhaltenen Zahlen ein Mosaik sind. Sie können ohne Überlappungen oder Brüche zusammengestellt werden. Die Rechtecke, in die wir das Blatt schneiden, können leicht so zusammengesetzt werden, dass sie ein zweidimensionales Mosaik füllen. Dies können auch Sechsecke - im idealisierten Fall einer Menge, die Mathematiker " Voronoi-Diagramm " nennen. Das Flugzeug kann jedoch nicht mit Fünfecken oder Achtecken gepflastert werden.
Geometrie des Mars. Um die Oberfläche - in diesem Fall die wabenartige Oberfläche eines Marskraters - zu analysieren, markieren die Forscher alle Oberseiten und Seiten. Sie zählen die Anzahl der Eckpunkte für jede der Zellen und die Anzahl der Zellen, für die jeder der Eckpunkte gemeinsam ist.
Um die Mosaike richtig zu klassifizieren, begann Domokosh, sie mit zwei Zahlen zu beschreiben. Der erste ist die durchschnittliche Anzahl von Eckpunkten pro Zelle. Die zweite ist die durchschnittliche Anzahl verschiedener Zellen, für die es einen gemeinsamen Scheitelpunkt gibt. So hat beispielsweise in einem Mosaik aus sechseckigen Kacheln jede Kachel sechs Eckpunkte. Und jeder Scheitelpunkt ist drei Sechsecken gemeinsam.
In Mosaiken funktionieren nur bestimmte Kombinationen dieser beiden Parameter, was einen kleinen Bereich von Figuren ergibt, in die sich im Prinzip etwas auflösen kann.
Auch dieser Bereich ist in zwei Dimensionen ziemlich leicht zu finden, in drei jedoch viel schwieriger. Im dreidimensionalen Raum passen Würfel sehr gut zusammen, aber es gibt auch andere Arten von Formen, einschließlich solcher, die dreidimensionale Versionen des Voronoi-Diagramms bilden. Um das Problem nicht zu komplizieren, beschränkte sich Domokosh auf ein Mosaik aus regelmäßigen konvexen Zellen mit gemeinsamen Eckpunkten. Infolgedessen stellten er und der Mathematiker Zsolt Langi eine neue Hypothese auf, indem sie eine Kurve skizzierten, die zu allen möglichen dreidimensionalen Mosaiken passt. Sie veröffentlichten die Arbeit in der Zeitschrift Experimental Mathematics, "und dann schickte ich alles an Rolf Schneider, unsere Gottheit", sagte Domokos.
Raum der Würfel. In drei Dimensionen werden die meisten Steine in Würfel mit acht Eckpunkten pro Zelle zerlegt. Eine Karte zulässiger Mosaike konvexer Formen mit regelmäßigen Zellen mit gemeinsamen Eckpunkten passt in einen schmalen Streifen. Der Bereich der quaderförmigen Formen ist rot hervorgehoben.
Vertikal: Die Anzahl der Scheitelpunkte pro Zelle
Horizontal: Die Anzahl der gemeinsamen Zellen an jedem Scheitelpunkt
„Ich habe ihn gefragt, ob ich erklären muss, wie ich zu einer solchen Hypothese gekommen bin, aber er sagte, dass er davon wusste“, lacht Domokosh. "Es war mir hundertmal wichtiger als die Annahme eines Artikels durch eine Zeitschrift auf der Welt."
Noch wichtiger war, dass Domokosh jetzt eine Plattform hatte. Die Mathematik bot eine Möglichkeit, alle Möglichkeiten zur Aufteilung von Oberflächen und Blöcken zu klassifizieren. Und die Geometrie sagte voraus, dass eine ebene Fläche, wenn Sie sie versehentlich brechen, in Rechtecke aufgeteilt wird. In drei Dimensionen führt das Teilen zu Würfeln.
Damit dies alles für andere als eine kleine Gruppe von Mathematikern von Bedeutung war, musste Domokosh beweisen, dass auch die reale Welt diese Regeln einhält.
Von der Geometrie zur Geologie
Als Domokosh 2016 in Philadelphia war, hatte er bereits etwas erreicht, um das Problem in Bezug auf die reale Welt zu lösen. Zusammen mit Kollegen der Technischen und Wirtschaftswissenschaftlichen Universität Budapest sammelten sie Dolomitfragmente, die sich vom Harmashhatar-Hegy-Gestein in Budapest gelöst hatten. Mehrere Tage lang zählte ein Laborant, ohne Vorurteile gegenüber Würfeln, fleißig die Anzahl der Flächen und Eckpunkte von Hunderten von Stücken. Welche durchschnittliche Punktzahl hat er bekommen? Sechs Gesichter, acht Gipfel. Domokos entdeckte zusammen mit Janos Törok, einem Computersimulator, und Ferenc Kun, einem Experten für Fragmentierungsphysik, dass mittlere Quader in anderen Gesteinsarten wie Gips und Kalkstein vorkamen.
Mit Mathematik und frühen physischen Beweisen bewaffnet, stellte Domokosh seine Idee einem überwältigten Jerolmak vor. "Er hat mich hypnotisiert und alles andere ist für eine Weile verschwunden", sagte Jerolmak.
Ihre Allianz war nicht neu. Vor vielen Jahren wurde Domokosh berühmt, indem er die Existenz der Gömböts nachwies.- eine lustige dreidimensionale Figur, die sich hartnäckig in eine bestimmte Gleichgewichtsposition verwandelt. Um herauszufinden, ob Gömböts in der Realität existieren könnte, zog er Jerolmak an, der dieses Konzept anwendete, um die runde Form von Kieselsteinen auf der Erde und auf dem Mars zu erklären. pro.]. Nun bat Domokosh erneut um Hilfe, um einige theoretische mathematische Konzepte in greifbaren Stein zu verwandeln.
Gömbötz ist eine konvexe dreidimensionale homogene Figur mit genau einem Punkt stabilen Gleichgewichts und einem Punkt instabilen Gleichgewichts
Das Paar einigte sich auf einen neuen Plan. Um die Existenz platonischer Würfel in der Natur zu beweisen, mussten sie mehr als nur ein zufälliges Zusammentreffen von Geometrie und einer Handvoll Kieselsteinen zeigen. Sie mussten sich alle Felsen ansehen und dann eine überzeugende Theorie skizzieren, wie abstrakte Mathematik eine chaotische Geophysik infiltrieren und dann in eine noch chaotischere Realität übergehen kann.
Zuerst "schien alles zu funktionieren", sagte Jerolmak. Domokoshs Mathematik sagte voraus, dass die Steinfragmente im Durchschnitt Würfel sein sollten. Eine zunehmende Anzahl realer Fragmente schien in diese Theorie zu passen. Jerolmak erkannte jedoch bald, dass es notwendig war, Ausnahmen von den Regeln zu behandeln, um die Theorie zu beweisen.
Die gleiche Geometrie ermöglicht es schließlich, viele andere Mosaikmuster zu beschreiben, deren Existenz sowohl in zwei als auch in drei Dimensionen zulässig ist. Djerolmak konnte sofort mehrere Arten von echten Steinen benennen, die Rechtecken und Würfeln nicht ähnlich sind und dennoch in diese umfassendere Klassifizierung passen könnten.
Vielleicht würden diese Beispiele die Theorie der kubischen Welt vollständig widerlegen. Oder, vielleicht interessanter, sie würden nur zu besonderen Anlässen erscheinen, aus denen Geologen neue Lektionen lernen könnten. "Ich sagte, ich weiß, dass es nicht überall funktioniert, und ich muss wissen, warum", sagte Jerolmak.
In den nächsten Jahren begannen Jerolmak und sein Team, die auf beiden Seiten des Atlantiks arbeiteten, genau zu markieren, wo reale Beispiele von Steinstücken auf die Domokosh-Plattform fielen. Bei der Untersuchung im Wesentlichen zweidimensionaler Oberflächen - gerissener Permafrost in Alaska, Dolomitaufschlüsse, Risse in einem Granitblock - fanden sie Polygone, die im Durchschnitt vier Seiten und vier Eckpunkte hatten, genau wie geschnittenes Papier. Jedes dieser geologischen Phänomene schien sich dort zu manifestieren, wo die Felsen einfach rissen. In diesem Bereich hat sich Domokoshs Vorhersage bewahrheitet.
Universum der Fliesen. Alle möglichen konvexen Kacheln, die die Ebene vollständig bedecken, können gegen die durchschnittliche Anzahl von Scheitelpunkten auf einer Kachel (y-Achse) und die durchschnittliche Anzahl von Zellen, die einen Scheitelpunkt teilen (x-Achse), aufgetragen werden. Beispiele aus der Praxis:
6 - Pflasterung von Riesen , 7 - Permafrost in Alaska, 8 - getrockneter Schlamm, 9 - Granitoberfläche.
Aber es gab eine Art flache Oberfläche, die Jerolmacs Hoffnungen entsprach: Es war eine Ausnahme mit seiner eigenen Geschichte. Schmutzbedeckte flache Oberflächen trocknen aus, reißen, werden nass, ziehen sich fest und reißen dann wieder. Die Zellen auf solchen Oberflächen haben durchschnittlich sechs Seiten und sechs Eckpunkte - ein ungefähr hexagonales Voronoi-Diagramm. Ein ähnliches Erscheinungsbild hat eine felsige Oberfläche, die nach der Verfestigung von Lava auftrat, die sich von der Oberfläche nach unten verfestigt.
Interessanterweise sind es diese Systeme, die unter dem Einfluss anderer Kräfte gebildet werden, die sie herausdrücken, anstatt sie hineinzudrücken. Die Geometrie zeigt geologische Merkmale. Jerolmak und Domokosh glaubten, dass ein solches Voronoi-Diagramm, wenn auch ziemlich selten, auch in einem viel größeren Maßstab erscheinen könnte, als sie zuvor untersucht hatten.
Das Voronoi-Diagramm unterteilt die Ebene in separate Abschnitte, von denen jeder aus allen Punkten besteht, die dem Startpunkt am nächsten liegen.
Die Kruste zählen
Während der Entwicklung traf sich das Team in Budapest und verbrachte drei hektische Tage damit, mehr Beispiele aus dem wirklichen Leben in das Modell aufzunehmen. Bald zeigte Jerolmak ein neues Muster auf dem Computerbildschirm: ein Mosaik der tektonischen Platten der Erde. Die Platten sitzen auf der Lithosphäre, einer fast zweidimensionalen Haut auf der Oberfläche des Planeten. Das Muster kam mir bekannt vor, und Jerolmak rief andere an, um es zu bewundern. "Wir waren alle schockiert", sagte er.
Auf den ersten Blick scheinen die planaren Zeichnungen zum Voronoi-Diagramm und nicht zum quadratischen Gitter zu tendieren. Und dann machte das Team die Berechnungen. In einem idealen Voronoi-Mosaik aus Sechsecken in einer Ebene sollte jede Zelle sechs Eckpunkte haben. Echte tektonische Platten hatten durchschnittlich 5,77 Peaks.
Zu diesem Zeitpunkt konnte der Geophysiker bereits den Sieg feiern. Aber die Mathematik passte nicht zu mir. „Dougs Stimmung stieg. Er arbeitete, als wäre er Stammgast, - sagte Domokosh. "Und am nächsten Tag war ich verärgert, weil ich über diese Trennung nachdachte."
Am Abend ging Domokosh nach Hause, immer noch verschlungen von diesem Unterschied. Er schrieb alle Zahlen noch einmal auf. Und plötzlich kam eine Offenbarung auf ihn herab. Sechseckmosaike können das Flugzeug ebnen. Aber die Erde ist nicht flach - zumindest außerhalb einiger der umstrittenen Ecken auf YouTube. Stellen Sie sich einen Fußball aus Fünfecken und Sechsecken vor. Domokosh verarbeitete die Daten unter Berücksichtigung der sphärischen Oberfläche und stellte fest, dass die Voronoi-Mosaikzellen auf dem Ball durchschnittlich 5,77 Eckpunkte haben sollten.
Diese Idee half den Forschern, eine der wichtigen und offenen Fragen der Geophysik zu lösen: Wie entstehen tektonische Platten der Erde? Einige glauben, dass diese Platten ein Nebenprodukt von Konvektionsströmen sind, die sich tief im Mantel bewegen. Ihre Gegner glauben, dass die Erdkruste ein separates System ist. Es dehnte sich aus, wurde spröde und brach. Die Anpassung der Platten an das Voronoi-Diagramm, das wie eine Schlammkruste aussieht, könnte die zweite Theorie unterstützen, sagte Jerolmak. "Es gab mir auch ein Gefühl dafür, wie wichtig dieser Job war", sagte Attal. "Phänomenal."
Kritischer Moment
In drei Dimensionen gab es nur sehr wenige Ausnahmen von der Würfelregel. Und auch sie könnten durch die Simulation ungewöhnlicher Kräfte erklärt werden, die nach außen drängen. Eine eindeutig nicht kubische Formation befindet sich an der Küste Nordirlands, wo Wellen gegen Zehntausende von Basaltsäulen schlagen. Auf Irisch heißt es Clochán na bhFomhórach , eine Straße aus Steinen für übernatürliche Wesen. Im Englischen heißt es "die Brücke der Riesen ".
Es ist wichtig, dass diese Säulen und andere ähnliche vulkanische Formationen hexagonal sind. Nach Tyroks Simulationen zu urteilen, sind Mosaike, die diesem Pflaster ähnlich sind, einfach dreidimensionale Strukturen, die aus der zweidimensionalen Basis von Voronoi-Diagrammen nach dem Abkühlen des Vulkangesteins gewachsen sind.
Brücke der Riesen in Nordirland
Das Team argumentiert, dass die meisten Mosaike des gerissenen Steins anhand platonischer Rechtecke, zweidimensionaler Voronoi-Diagramme und allem zusammen klassifiziert werden können - platonische Würfel in drei Dimensionen. Jedes der Muster kann seine eigene geologische Geschichte erzählen. Und ja, angesichts einiger Besonderheiten können wir sagen, dass die Welt aus Würfeln besteht.
"Sie haben ihr Modell ordnungsgemäß gegen die Realität validiert", sagte Martha-Carey Epps , Wissenschaftlerin an der University of North Carolina. "Meine anfängliche Skepsis hat nachgelassen."
"Die Mathematik sagt uns, dass wir immer noch eine begrenzte Anzahl von Optionen haben, wenn wir versehentlich oder absichtlich Steine zerkleinern, was immer wir wollen", sagte Furbish. "Ist das nicht klug?"
Vielleicht können Sie zum Beispiel einen realen Ort einnehmen, der aus gebrochenem Gestein besteht, die Eckpunkte und Kanten zählen und dann eine Schlussfolgerung über die dort ablaufenden geologischen Prozesse ziehen.
"Für einige Orte haben wir Daten, die es uns ermöglichen, diese Frage aus diesem Blickwinkel zu betrachten", sagte Roman Dibayas , Geomorphologe an der Pennsylvania State University. "Es wäre cool, wenn wir aus Dingen, die nicht offensichtlich sind, wie dem Bürgersteig der Riesen, Schlussfolgerungen ziehen könnten - einfach mit einem Hammer auf einen Stein schlagen und sehen, wie die Scherben aussehen."
Jerolmak, der zunächst glaubte, dass die Verbindung mit den platonischen Festkörpern zufällig sein könnte, akzeptierte nun diese Hypothese. Schließlich glaubte der griechische Philosoph, dass die richtigen geometrischen Formen für die Kenntnis des Universums notwendig sind, obwohl sie selbst für das Auge unsichtbar sind und nur in Form verzerrter Schatten erscheinen.
"Dies ist buchstäblich das offensichtlichste Beispiel, an das Sie denken können. Der statistische Durchschnitt all dieser Beobachtungen ist ein Würfel, sagte Jerolmak. "Aber ein solcher Würfel kann nicht gefunden werden."