Mathematische Olympiade. Der William Lowell Putnam Mathematical Competition ist ein mathematischer Wettbewerb fĂŒr Studenten, die an UniversitĂ€ten (Colleges) in den USA und Kanada studieren. Die Inspiration fĂŒr die Olympischen Spiele war William Lowell Putnam, ein amerikanischer Anwalt und Bankier. Wird seit 1938 jĂ€hrlich von der Mathematical Association of America abgehalten. Geldpreise werden an die fĂŒnf besten Uni-Teams (25.000 US-Dollar fĂŒr den ersten Platz) und die fĂŒnfundzwanzig besten Studenten des Einzelwettbewerbs (1.000 US-Dollar fĂŒr den ersten Platz) vergeben.
- Wikipedia
Die Olympiade dauert zweimal 3 Stunden, insgesamt 12 Probleme, jeweils 10 Punkte. Die durchschnittliche Punktzahl, die die SchĂŒler erreichen, ist 1 oder 2. Betrachten wir eines der schwierigsten Probleme dieser Olympiade.
WÀhle 4 zufÀllige Punkte auf der Kugel. Wie groà ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Mittelpunkt der Kugel innerhalb des durch diese Punkte gebildeten Tetraeders befindet?
Betrachten wir eine zweidimensionale Version dieses Problems.
Betrachten Sie 3 zufÀllige Punkte auf einem Kreis. Wie groà ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Mittelpunkt des Kreises innerhalb des Dreiecks befindet?
Sie können zwei Punkte festnageln und mit dem dritten spielen. Es ist leicht zu erkennen, dass es eine bestimmte Zone gibt, die Projektion der verankerten Punkte relativ zum Zentrum, in die der dritte Punkt fallen muss, damit die Bedingung erfĂŒllt ist. Der Kreis ist somit in 4 Teile unterteilt. Die Wahrscheinlichkeit, den dritten Punkt im Bogen zu treffen, entspricht dem VerhĂ€ltnis der BogenlĂ€nge zum Umfang. Wie lang ist der Lichtbogen?
Die Wahrscheinlichkeit reicht von 0 bis 0,5, abhÀngig von der Position der ersten beiden Punkte.
Was ist die durchschnittliche Wahrscheinlichkeit?
Lassen Sie uns den ersten Punkt festlegen und mit dem zweiten spielen. Die Wahrscheinlichkeit variiert von 0 bis 0,5, dh die durchschnittliche Wahrscheinlichkeit betrÀgt 0,25.
Lösung des Problems fĂŒr einen Kreis und drei Punkte - 25%.
Ist es möglich, diesen Ansatz auf eine Kugel und 4 Punkte zu ĂŒbertragen?
Wir setzen drei Punkte und spielen mit dem vierten. Zeichnen wir Projektionen von Fixpunkten relativ zum Zentrum und teilen die Kugel in 8 Teile mit Ebenen.
Der Mittelpunkt der Kugel befindet sich innerhalb des Tetraeders, wenn der vierte Punkt auf das grĂŒne sphĂ€rische Dreieck fĂ€llt, das den Fixpunkten relativ zum Zentrum "gegenĂŒber" liegt. Was ist die durchschnittliche GröĂe des grĂŒnen Abschnitts?
// Ăberlege dir nichts weiter, improvisiere.
Sie können zum zweidimensionalen Fall zurĂŒckkehren und darĂŒber nachdenken, woher 1/4 kam. Woher kommen 4?
Sie können von 3 zufĂ€lligen Punkten auf einem Kreis zu einem anderen Problem wechseln. WĂ€hlen wir zwei zufĂ€llige Durchmesser. Dann werfen wir fĂŒr jeden Durchmesser eine MĂŒnze und wĂ€hlen dabei, wo der Punkt Pi sein soll, von welchem ââEnde des Durchmessers. Dann wĂ€hlen wir zufĂ€llig den dritten Punkt auf dem Kreis.
Und dann noch eine listige Bewegung.
Lassen Sie uns zuerst den dritten Punkt zufÀllig auswÀhlen und dann zufÀllig zwei Durchmesser auswÀhlen. Wir haben 4 Optionen zum Platzieren von Punkten P2 P1:
Aber nur eine dieser 4 Optionen enthÀlt eine Lösung, wenn sich der Mittelpunkt des Kreises innerhalb des Dreiecks befindet:
UnabhÀngig davon, welche zufÀllige Startposition der dritte Punkt und zwei Durchmesser gewÀhlt werden, enthÀlt nur eine der Optionen den Mittelpunkt des Kreises innerhalb des Dreiecks:
So haben wir das Problem neu formuliert:
Mit einer Kugel erhalten wir 8 Optionen fĂŒr die Auswahl von Punkten, nachdem wir den ersten Punkt festgelegt und drei Durchmesser ausgewĂ€hlt haben:
Nur 1 von 8 erfĂŒllt die Bedingung, dass sich der Mittelpunkt der Kugel innerhalb des Tetraeders befindet:
Antwort: 1/8
- Die lineare Hardcore-Algebra ist da: Erfassen des Ursprungs mit zufÀlligen Punkten: Verallgemeinerungen eines Putnam-Problems
- Alle Probleme der Olympiade 1992: Der 53. William Lowell Putnam Mathematical Competition
Samstag, 5. Dezember 1992