👩🏽‍⚖️ 🤹🏽 🔅 Muster bei der Verteilung von Primzahlen 🤹🏾 🐻 👼🏼

Einführung

Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei verschiedene natürliche Teiler hat - einen und sich selbst. Solche Zahlen sind von großem Interesse. Tatsache ist, dass niemand das Muster, nach dem sich Primzahlen in einer Reihe natürlicher Zahlen befinden, vollständig verstehen und beschreiben konnte.

Schon vor unserer Zeit formulierte und bewies Euklid die ersten Sätze über Primzahlen. Seitdem haben Mathematiker, darunter Gauß, Fermat, Riemann, Euler, ihre Forschungen fortgesetzt, und wir müssen ihnen Tribut zollen, um bedeutende Fortschritte zu erzielen. Es wurden viele interessante Eigenschaften von Primzahlen entdeckt, viele Annahmen getroffen, von denen einige bewiesen wurden. Viele Hypothesen in Bezug auf Primzahlen bleiben jedoch unbegründet.

Verteilung von Primzahlen

Die Hauptaufgabe, deren Lösung automatisch zur Lösung der meisten Fragen im Zusammenhang mit Primzahlen führen würde, lautet wie folgt:

Holen Sie sich eine wiederkehrende Formel für die nächste Primzahl

$p_ {n + 1} = f (n, p_1, p_2, ..., p_n),$

p _n - n- te Primzahl ( p ₁ = 2 , p ₂ = 3 , p ₃ = 5 , ...)

Es gibt ein verwandtes Problem bezüglich der Anzahl der Primzahlen, die einen bestimmten Wert nicht überschreiten:

Suchen Sie eine Funktion p (x), deren Wert am Punkt x gleich der Anzahl der Primzahlen auf dem Segment [ 1, x ] ist . Wobei x eine reelle Zahl ist, die nicht kleiner als eins ist.

Die Funktion $\ pi (x)$ wird als Primzahlverteilungsfunktion bezeichnet.

Es gibt viele Ansätze zur Lösung der oben genannten Probleme. Betrachten wir einige davon.

, ( , ).

, , , , .

p₁ =2. 2, 2k+1, k – . — .

p₂ = 3. 3m+1, 3m+2, m – . , . , 2k+1.

$\ begin {array} {} {2k + 1 = 3m + 1, \\ 2k + 1 = 2m + 2,} \ end {array}$

k m , p₃ p = 6t + 1 , p = 6t + 5 , t – .

, :

$\ begin {array} {} {5 = 6 * 0 +5, \\ 7 = 6 * 1 + 1, \\ 11 = 6 * 1 + 5, \\ 13 = 6 * 2 + 1.} \ end { Array}$

, 6t+1 6t+5 . , 25 = 6 * 4 + 1 .

p₃ = 5. , , 5, p₁ = 2 p₂ = 3, , p₄

$\ begin {array} {} {p = 30t + 1, \; \; \; \; \; \; p = 30t + 11, \\ p = 30t + 7, \; \; \; \; \; \; p = 30 t + 17, \\ p = 30 t + 13, \; \; \; \; p = 30 t + 23, \\ p = 30 t + 19, \; \; \; \; p = 30t + 29} \ end {array}$

p₄, p₅ .. , , .

, . , . , , .

, . F(x) , x p₁, p₂, …, p_n. ? ( ), p₁, p₂, … , p_n - p_n+1 ( ). , F(p_n+1 -1) = 1 ( — ), F(p_n+1) = 2 ( p_n+1). , F(x) , p_n+1.

, F(x)? . , p₁, p₂, …, p_n?

p₁ = 2. , $\ frac {1} {2}$ p₁.

3. , $\ frac {1} {3}$ p₂. , 2 3 .

, 2, 3

$1 - \ frac {1} {p_1} - \ frac {1} {p_2} + \ frac {1} {p_1 * p_2} = 1 - \ frac {1} {2} - \ frac {1} {3} + \ frac {1} {2 * 3}.$

, :

$(1- \ frac {1} {p_1}) (1- \ frac {1} {p_2})$

, p₁, p₂, …, p_n,

$1 - \ frac {1} {p_1} - \ frac {1} {p_2} -...- \ frac {1} {p_n} + \ frac {1} {p_1 * p_2} + \ frac {1} { p_1 * p_3} + ... + \ frac {1} {p_ {n-1} * p_ {n}} - \ frac {1} {p_1 * p_2 * p_3} -... + (- 1) ^ n \ frac {1} {p_1 * p_2 * ... * p_n}.$

$P (n) = (1- \ frac {1} {p_1}) (1- \ frac {1} {p_2}) (1- \ frac {1} {p_3}) ... (1- \ frac { 1} {p_n}) \ qquad \ qquad (1)$

P(n). , (n→∞), .

, F (x) = x * P (n) . , P(n) n . n 1 N, N - , P(n), .

? (1), , , p_n, $\ frac {1} {p_n}$ . . , 1,2, 3,4,5,6,7,8,9. 4 9 . , $\ frac {4} {9}$ $\ frac {1} {2}$ . , , .

. , (, ) p_n+1- . , — . , , .

$n * ln (n) + n * ln (ln (n)) - \ frac {3} {2} n <p_n <n * ln (n) + n * ln (ln (n))$

n, 6.

$\ frac {x} {ln (x)} <\ pi (x) <1,25506 \ frac {x} {ln (x)}$

$\ pi (x)$ , - . , , . , .

. , , , , . - , .

. ( ). :

, 2, ?

2. -

p , p + 2 ?

, ?

p .

, 2020 . .

1.

: () ().

: , 5, .

2013 . 133 .

: , , .

, .

, . , . . 11 . .

: , , , ? . N, , .

$K \ geq N.$ . p₁ p₂, K = p_1 + p_2 . , , , . p₁ – . — 2. , $2 + p_2 = K \ rechter Pfeil p_2 = K-2$ . , K-2 ( K ) . N, , , N-2, . . , $\ pi (n) \ sim \ frac {n} {2}$ n→ ∞. , $\ pi (n) \ sim n * ln (n)$ n→ ∞.