🙇🏽 ☠️ 🚡 Eine neue Klasse von Primzahlen, die ich zufällig entdeckt habe 🕌 🥊 🤩

Hallo zusammen! Dies ist mein erster Beitrag auf Habré, also werde ich mich vorstellen: Mein Name ist Kostya, ich bin ein C ++ - Entwickler, ein bisschen Musiker, ein Anfänger-ML-Ingenieur und ein Liebhaber der Mathematik. Wie Sie vielleicht erraten haben, handelt dieser Beitrag von meinem Mathe-Hobby.

UPD: Schlussfolgerungen wurden hinzugefügt. Wenig später werde ich Beispiele für andere Primzahlen und andere Zahlensysteme hinzufügen, die zur Erzeugung von zyklischen Zahlen und folglich von zyklischen Primzahlen verwendet werden.

Hintergrund: Vor ungefähr 14 Jahren bin ich auf das Phänomen der zyklischen Zahlen gestoßen. Ich war fasziniert von den Mustern, die sich in ihnen bilden, und habe mir versprochen, sie zu erklären. Zuerst habe ich naive Analyseversuche gemacht, die sehr mittelmäßige Ergebnisse gebracht haben, aber 2016 konnte ich selbst sehen, dass der rationale Bruchteil 1/7 durch eine konvergierende geometrische Progression dargestellt werden kann. Um ehrlich zu sein, habe ich in diesem Moment nicht einmal verstanden, dass es sich um eine geometrische Entwicklung handelt, aber ich habe sie visuell erkannt. Im Jahr 2018 beschloss ich, alle meine Fähigkeiten und meinen Fleiß einzusetzen, um so viele Muster von zyklischen Zahlen wie möglich zu finden. Ich habe viel gefunden, aber jetzt möchte ich mitteilen, was ich für das Wichtigste halte, und ironischerweise habe ich zufällig eine neue Klasse von Primzahlen gefunden.

Ich habe nach vollständigen Reptend-Primzahlen, Primzahlen und genauer gesagt nach solchen Zahlensystemen für Primzahlen gesucht, bei denen 1 / P, wobei P eine Primzahl ist, einen periodischen Bruch ergibt, dessen Periode gleich ist die zyklische Zahl.

Hier sollten Sie wahrscheinlich die Definition einer zyklischen Zahl angeben:

Eine zyklische Zahl ist eine ganze Zahl, deren zyklische Permutationen das Produkt dieser Zahl und aufeinanderfolgender Zahlen sind.

— 142857, "" + . , . , , , . , " . ".

142857 * 2 = 285714

142857 * 3 = 428571

142857 * 4 = 571428

142857 * 5 = 714285

142857 * 6 = 857142

, 142857 2 6, 142857. .

, 1/7 . 1/7, . .

1/7 . ! , , - , .

, , , 7 . - .

, full reptend prime, «The Philisophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View on the Theory and Practice of Calculation».

200 , . « », 1/7 .

«History of the Theory of Numbers» , full reptend prime.

«The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers» repunit.

«The Book of Numbers» , .

, , , , . .

, 142857, 1428571, . . , 1428571 1, — 7.

, 142857, ( 10 ). , .

7 , 142857: 1428571, 71428571, 7142857142857, 571428571428571, 1428571428571428571428571, 28571428571428571428571428571, 7142857142857142857142857142857.

: 7, 8, 13, 15, 25, 29, 31.


2	34
4	41
7	104
5	273
5	304
1	355
7	440
7	571
1	823
7	2215
5	2523
4	4379
2	4510
4	7553
4	7679
7	9536

23 , 10¹⁰⁰⁰.

. Full reptend prime

, , , , .

full reptend prime long prime. . , , full reptend .

full reptend

P — , , 1/P, N , P-1, , P N full reptend.

P full reptend N, P-1 .

P, , . P, - , P - full reptend prime.

P = 7 . 1/P = 0,(142857). 6, P-1. 1/P .. P-1/P:

2/P = 0,(285714)

3/P = 0,(428571)

4/P = 0,(571428)

5/P = 0,(714285)

6/P = 0,(857142)

, . . , . , . - 1/P. full reptend.

P 1/P. P. P = 2 2, P = 3 3, ..

( ⁿ) mod P = 1

P :

, , full reptend, 7, 17, 19, 23, 29. 2 5 , .

P = 3 : 1/3 = 0,(3). P = 11 , 2 : 1/11 = 0,(09).

P = 13 , 6, P-1. (P-1)/2, , . P 2nd reptend level prime. 2nd reptend level prime:

1/13 = 0,(076923)

2/13 = 0,(153846)

P = 13, P-1/P, , 1/13 2/13, .

3/13 = 0,(230769) — 1

4/13 = 0,(307692) — 1

5/13 = 0,(384615) — 2

6/13 = 0,(461538) — 2

7/13 = 0,(538461) — 2

8/13 = 0,(615384) — 2

9/13 = 0,(692307) — 1

10/13 = 0,(769230) — 1

11/13 = 0,(846153) — 2

12/13 = 0,(923076) — 1

2nd reptend level prime : .

.. : 769230769, 769230769230769230769,769230769230769230769230769230769.

: 1538461.

, , full reptend prime, . P = 7 2 , full reptend, 3 5 — .

7 . 12, . , 17 19, 59 61.

, full reptend n-th repntend level . P N .

1/P:

$\ begin {Gleichung} \ sum \ Limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {s * r ^ n} {Basis ^ {Länge (n + 1)}} = \ frac {1} {P} \ end { Gleichung}$

s — , 1/P:

$\ begin {Gleichung} s = [\ frac {1} {P} * base ^ {Länge}] \ end {Gleichung}$

full reptend prime , 1 . :)

length , s, . length .

r , 1/P. 1/P P-1, full reptend , P-1.

, , , . P= 7, .. full reptend .

: [3, 2, 6, 4, 5, 1]. . base mod P. , :

$\ begin {Gleichung} \ begin {Fälle} r_0 = 1 \\ r_n = r_ {n-1} * (Basis \ mod P) \\ \ Ende {Fälle} \ Ende {Gleichung}$

$\ begin {Gleichung} r_ {Länge} = Basis ^ {Länge} \ mod P \ end {Gleichung}$

, : P— ; base — ; length — , .

$\ begin {Gleichung} \ frac {1} {P} = \ sum \ limit_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {[\ frac {1} {P} * base ^ {length}] * (base ^ { Länge} \ mod P) ^ n} {Basis ^ {Länge (n + 1)}} \ Ende {Gleichung}$

P = 7 c s, :

$\ begin {Gleichung} \ frac {1} {7} = \ sum \ Limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1 * 3 ^ n} {10 ^ {n + 1}} \ end {Gleichung}$

s = 1, 0,(142857), .. length = 1. r = 3, , length = 1.

$\ begin {Gleichung} \ frac {1} {7} = 0,1 + 0,03 + 0,009 + 0,0027 + 0,00081 + .. \ end {Gleichung}$

3 10. :

$\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{14*2^n}{10^{2(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = 0.14 + 0.0028 + 0.000056 + 0.00000112 + .. \end{equation}$

2 100. s = 14, 0,(142857), .. length = 2. r = 2, , length = 2. , , , .

length 1:

$\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{142*6^n}{10^{3(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1428*4^n}{10^{4(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{14285*5^n}{10^{5(n+1)}} \end{equation}$ $\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{142857*1^n}{10^{6(n+1)}} \end{equation}$

, s :

$\begin{equation} \frac{1}{7} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1428571*3^n}{10^{7(n+1)}} \end{equation}$

s - , . . .

, , , s P N — .

P = 17:

$\begin{equation} \frac{1}{17} = \sum\limits_{n=0}^\infty\frac{5*15^n}{10^{2(n+1)}} \end{equation}$ $\ begin {Gleichung} \ frac {1} {17} = \ sum \ limit_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {58 * 14 ^ n} {10 ^ {3 (n + 1)}} \ end { Gleichung}$ $\ begin {Gleichung} \ frac {1} {17} = \ sum \ limit_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {588 * 4 ^ n} {10 ^ {4 (n + 1)}} \ end { Gleichung}$

89 . 1/89 = 0,0112359.. — , . , :

$\ begin {Gleichung} \ frac {1} {89} = \ sum \ limit_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1 * 11 ^ n} {10 ^ {2 (n + 1)}} \ end { Gleichung}$ $\ begin {Gleichung} \ frac {1} {89} = \ sum \ Limits_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {Fibonacci (n)} {10 ^ {n + 1}} \ end {Gleichung}$

, — 109.

1/89 : (-1)ⁿ⁺¹. , , .

$\ begin {Gleichung} \ frac {1} {109} = \ sum \ limit_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {9 * 17 ^ n} {10 ^ {3 (n + 1)}} \ end { Gleichung}$ $\ begin {Gleichung} \ frac {1} {109} = \ sum \ limit_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {Fibonacci (n) * (- 1) ^ {n + 1}} {10 ^ {n +1}} \ end {Gleichung}$

, , .

-

s , , .

, P = 7, 142857, 1428571. , , 1/P, 1/P .. P-1/P. , , 71428571.

, . , . , , , , , .

, s, , , , . - .

P = 7. 1/P, P-1/P, , s : 2, 5, 7, 71, 571, 2857, 28571.

, - .

- P N. , full reptend prime .

,

, . P N, . , P, , .

- :

, P, , . , 142857. 40 5SMYBH ( 5, 28, 22, 34, 11, 17).

, , H5SMYBH 40 , , : 70217142857.

, . , , , .

P=7 N=10:

1) 1428571

2) 71428571

3) 7142857142857

4) 571428571428571

5) 1428571428571428571428571

6) 28571428571428571428571428571

7) 7142857142857142857142857142857

8) 2857142857142857142857142857142857

9) 42857142857142857142857142857142857142857

40 :

1) MCYB

2) Ra2YB

3) 13NYIMYBH

4) 277Sb5SMYB

5) 1D8TJS2CYBH5SMYB

6) GP98QAT0SMYBH5SMYB

7) 2NbRO471EIMYBH5SMYBH

8) PdGa11UDOPSMYBH5SMYBH

9) 3WAEQ3OR61AQVH5SMYBH5SMYBH

P=7 N=10 :

1) H5SMYBH

2) - 77 , 5SMYBH, B:

5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYBH5SMYB

1) 70217142857

– 12 , 123 .

2) 3262280440470765442418939358741703168874849426...

...28571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571428571

- , .

,

P = 7 N = 10. :

Ns(i) = N + 3*N*i + ((i + 1) % 2) * i*N*4

i — . i = 0 , full reptend prime. .

, , .

N = 3, 10, 17, 31, 38, 59:

Ns(i) = N + 3*N*i + ((i + 1) % 2) * i*N

N = 5, 19, 26, 33, 47, 61:

Ns(i) = N + N*i + ((i + 1) % 2) * i*5*N

N = 12:

Ns(i) = N + N*i + ((i + 1) % 2) * i*5*N

N = 40 , N = 10.

N = 24, N = 12.

, , N.

, 40 , . , , - , 40, , 40 .

12 24 . , , , 12.

, , , full reptend.

, , , 40 10 .

P = 5, . P = 17 , , base, base*2, base*4, .

, , .

, , . . .

, , . . : , , , , .

#1: 40 . 1/7₄₀=0.(5SMYBH)₄₀, H5SMYBH₄₀, 70217142857. 7142857, 40 .

#2: 10 . 571428571428571. 40 1D8TJS2CYBH5SMYB₄₀. , YBH5SMYB , .

,

, . . , .

, . , .

, full reptend prime .

. , , github. .

, full reptend prime. .

, , , .

, 2019 , \ .

, , arxiv.org – . , . – :

, arxiv ? ? 6- , .

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Ich hoffe, mein erster Artikel war nicht anstrengend, es liegen noch einige vor uns und nicht alle werden sich mit Mathematik befassen.

Eine neue Klasse von Primzahlen, die ich zufällig entdeckt habe

. Full reptend prime

full reptend

-

,

,

,

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