👩‍👧 👲🏿 🕺🏻 Optionen Mathe oder Black-Scholes-Modell 👨‍👦‍👦 👗 🕑

Das allgemeine Interesse am Black-Scholes-Modell (im Folgenden: BS) beruht auf der Tatsache, dass seine Autoren einst das Feld der Bewertung des beizulegenden Zeitwerts von Optionen und anderen derivativen Finanzinstrumenten revolutionierten. Später erhielten sie den Nobelpreis für ihre Entdeckungen, und die von ihnen abgeleitete Analyseformel wurde vielleicht die grundlegendste und bekannteste in der Finanzwelt.

Das BS-Modell ist unter dem Gesichtspunkt der mathematischen und probabilistisch-theoretischen Analyse auf niedriger Ebene nicht weniger interessant. In dem Artikel wird der Prozess der Begründung der Grund- und Schlüsselprinzipien des BS-Modells ausführlich erörtert und eine analytische Formel abgeleitet, anhand derer der beizulegende Zeitwert von Optionen bewertet wird.

Grundlegendes Konzept

Option - ein Vertrag, durch den der Käufer einer Option das Recht , aber nicht die Verpflichtung erhält , einen bestimmten Vermögenswert zu einem festgelegten Preis zu kaufen oder zu verkaufen, der als Streik oder Basispreis bezeichnet wird.

Für die Zwecke der weiteren Analyse wird ein solches Finanzinstrument am genauesten als eine Funktion dargestellt, die die Optionszahlungen zum Zeitpunkt des Vertragsablaufs beschreibt. Für ein einfacheres und intuitiveres Verständnis betrachten wir eine Option des Anruftyps, deren Auszahlungsfunktion wie folgt lautet.

Wo ist der Preis des Basiswerts, der Preis des Streiks?

Aus praktischer Sicht geht die Funktion davon aus, dass der Optionskäufer davon profitiert, wenn der Preis des Basiswerts den Ausübungspreis übersteigt x_s und mit der Differenz übereinstimmt [x-x_s] . Andernfalls erhält der Inhaber der Option einen Verlust in Höhe der für den Kauf des Optionsvertrags gezahlten Prämie.

, . , . , , ( ).

, C = max (x - x_s; 0) , , , , .

, , , . , .

, C = max (x - x_s; 0) x (t) . , x (t) , : $dx = xrdt + x \ sigma \ delta W.$ *. , .

$dC = \left(\frac{\partial C}{\partial t} + xr\frac{\partial C}{\partial x} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}\right)dt + x\sigma\frac{\partial C}{\partial x} \delta W \qquad (1)$

, . (1) , . - .

$\Pi = \frac{\partial C}{\partial x} \cdot x - C(x, t) \qquad (2)$

, $\Delta = \frac{\partial C}{\partial x}$ - .

, , $\Delta = const$ - : $d \Pi = \Delta \cdot dx - dC$ . , , *, (1) . :

$d \Pi = \Delta(xrdt + x\sigma \delta W) - \left [ \left(\frac{\partial C}{\partial t} + xr\frac{\partial C}{\partial x} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}\right)dt + x\sigma\frac{\partial C}{\partial x} \delta W \right ] \qquad (3)$

, $\Delta = \frac{\partial C}{\partial x}$ , $x\sigma\frac{\partial C}{\partial x} \delta W$ :

$d \Pi = - \left [\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}\right]dt \qquad (4)$

, . $\tau$ , $\tau = T-t$ , . , , $\tau$ , . , : $\frac{\partial C}{\partial t } = - \frac{\partial C}{\partial \tau }$ .

B,S - : $d \Pi = \Pi rdt$ , . (4) , $\Pi$ (2) .

$\frac{\partial C}{\partial \tau }dt - \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2}dt =\left( \frac{\partial C}{\partial x} \cdot x - C(x, t) \right ) rdt$

, :

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2 x^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial x^2} + rx\frac{\partial C}{\partial x } \qquad (5)$

, . , , , .

. $y = \ln x$ . x^2 , .

, , x^2 , :

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} + R\frac{\partial C}{\partial y } \qquad (6)$

$R = r - \frac{\sigma^2}{2}$

, $y = \ln x$

$\frac{\partial C}{\partial x} = \frac{\partial C}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{\partial C}{\partial y} \cdot \frac{1}{x}$

, $y = \ln x$

$\frac{\partial ^2 C}{\partial x^2} =\left ( \frac{\partial C}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dx}\right )_x '= (\frac{\partial C}{\partial y})_x '\cdot \frac{dy}{dx} + \frac{\partial C}{\partial y} \cdot (\frac{dy}{dx})_x' = \left( (\frac{\partial C}{\partial y})_y' \cdot y'\right ) \cdot y'+ \frac{\partial C}{\partial y} \cdot y'' =$ $= \left( \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} \frac{1}{x}\right ) \frac{1}{x} - \frac{\partial C}{\partial y} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2}\left ( \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} - \frac{\partial C}{\partial y}\right )$

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2 x^2}{2} \cdot \frac{1}{x^2}\left ( \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} - \frac{\partial C}{\partial y}\right ) + rx \cdot \frac{1}{x} \frac{\partial C}{\partial y} \Leftrightarrow \frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \left( \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} -\frac{\partial C}{\partial y } \right )+ r\frac{\partial C}{\partial y }$

$\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \left( \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} -\frac{\partial C}{\partial y } \right )+ r\frac{\partial C}{\partial y } \Rightarrow_1 \frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} - \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial C}{\partial y } + r\frac{\partial C}{\partial y } \Rightarrow_2$ $\frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} + (r - \frac{\sigma^2}{2}) \frac{\partial C}{\partial y } \Rightarrow_3 \frac{\partial C}{\partial \tau } + rC = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 C}{\partial y^2} + R\frac{\partial C}{\partial y }$

$R = r - \frac{\sigma^2}{2}$

, . : $C(e^y, \tau) = e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot U(y, \tau)$ , $\alpha$ $\beta$ , , :

$\frac{\partial U}{\partial \tau } = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 U}{\partial y^2} \qquad (7)$

$Ue^{\alpha y + \beta \tau}$

$\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_\tau ' + rUe^{\alpha y + \beta \tau} = \frac{\sigma^2}{2} \left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_{yy} '' + R\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y ' \qquad (*)$

$\tau$

$\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_\tau ' = \frac{\partial U}{\partial \tau} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + U \cdot \left ( e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_\tau ' = \frac{\partial U}{\partial \tau} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + \beta U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau}$

$\left (U e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y ' = \frac{\partial U}{\partial y} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + U \cdot \left ( e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y ' = \frac{\partial U}{\partial y} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau}$

$\left( { \frac{\partial U}{\partial y}} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} \right)_y '= \left( { \frac{\partial U}{\partial y}} \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} \right)_y' + \left (\alpha U \cdot e^{\alpha y + \beta \tau} \right )_y' =$ $\left( { \frac{\partial^2 U}{\partial y^2}}e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha \frac{\partial U}{\partial y} e^{\alpha y + \beta \tau} \right) + \left ( \alpha \frac{\partial U}{\partial y} e^{\alpha y + \beta \tau} + \alpha^2 U e^{\alpha y + \beta \tau}\right ) =$ $e^{\alpha y + \beta \tau} \left( \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + 2\alpha \frac{\partial U}{\partial y} + \alpha^2 U \right)$

$e^{\alpha y + \beta \tau}$

$\frac{\partial U}{\partial \tau} + \beta U + rU = \frac{\sigma^2}{2}\left( \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} + 2\alpha \frac{\partial U}{\partial y} + \alpha^2 U \right) + R\left ( \frac{\partial U}{\partial y} + aU \right )$

$\alpha = -\frac{R}{\sigma^2}$ , $\beta = -(r + \frac{R^2}{2 \sigma^2})$ , :

$\frac{\partial U}{\partial \tau} - (r + \frac{1}{2}\frac{R^2}{\sigma^2}) U + rU = \frac{\sigma^2}{2}\left( \frac{\partial^2 U}{\partial y^2} - \frac {2R}{\sigma^2} \frac{\partial U}{\partial y} + \frac{R^2}{\sigma^4} U \right) + R\left ( \frac{\partial U}{\partial y} - \frac{R}{ \sigma^2}U \right )$

$\frac{\partial U}{\partial \tau } = \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial ^2 U}{\partial y^2}$

(7) :

$P(y, \tau, y_0) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \cdot \exp(-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau}) \qquad (8)$

$(P)_\tau '$ , $(P)_{yy} ''$ (7) .

$e^{*} = \exp(-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau})$

$\tau$ :

$\frac{\partial P}{\partial \tau} = \left (\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \right )_ \tau ' \cdot e^{*} + \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \cdot \left (\exp(-\frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau}) \right )_\tau ' =$ $- \frac{1}{2\sigma \tau \sqrt{2\pi \tau}} \cdot e^{*} + \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}}\cdot e^{*} \cdot \frac{(y-y_0)^2}{2\sigma^2 \tau^2} = e^{*} \left (\frac{(y-y_0)^2}{2 \sigma^3 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{2\sigma \tau \sqrt{2\pi \tau}} \right )$

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \cdot (e^{*})_y' = - \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \cdot e^{*} \cdot \frac{(y-y_0)}{ \sigma^2 \tau} \Rightarrow$ $\frac{\partial^2 P}{\partial y^2} = \left (- \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi \tau}} \cdot e^{*} \cdot \frac{(y-y_0)}{\sigma^2 \tau} \right )_y' = \left (- \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \cdot \left ( e^{*} \cdot (y-y_0) \right ) \right )_y' =$ $- \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \cdot \left[\left( e^{*} \cdot (-\frac{(y-y_0)}{\sigma^2 \tau}) \cdot (y-y_0) \right ) + e^{*} \cdot 1\right] = e^{*} \cdot \left (\frac{(y-y_0)^2}{\sigma^5 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \right )$

(7) e^* . :

$\frac{(y-y_0)^2}{2 \sigma^3 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{2\sigma \tau \sqrt{2\pi \tau}} = \frac{\sigma^2}{2}\left (\frac{(y-y_0)^2}{\sigma^5 \tau^2 \sqrt{2\pi \tau}} - \frac{1}{\sigma^3 \tau \sqrt{2\pi \tau}} \right )$

, u(s) :

$\int_ {-\infty}^{+\infty} u(s) P(y, \tau, s)ds,$

$\tau$ , (7) , - . , (7) :

$U(y, \tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} u(s) P(y, \tau, s)ds =\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau }} \int_{-\infty}^{+\infty} u(s) \cdot \exp \left(-\frac{(y-s)^2}{2\sigma^2 \tau}\right)ds \qquad (9)$

(9) u(s) . , u(y) = U(y;0) . - , $\tau \mapsto 0$ - $\delta (y-s)$ :

$U(y; 0) = \int _{-\infty}^{+\infty}u(s) \delta (y-s)ds = u(y)$

: f(x) [a;b] , g(x) , $c \in[a,b]$ , :

$\int_{a}^{b} f(x)g(x) dx = f(c) \int_{a}^{b}g(x)dx$

$\varepsilon > 0$ .

$\tau \mapsto 0$ "" $\int_{-\infty}^{y- \varepsilon }, \int_{y-\varepsilon }^{+\infty}$ :

$U(y, \tau) \approx \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} u(s) P(y, \tau, s)ds$

$d \in [y-\varepsilon; y+\varepsilon ]$ ,

$\int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} u(s) P(y, \tau, s)ds = u(d) \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} P(y, \tau, s)ds.$

, $\lim_{\tau \mapsto 0} \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} P(y, \tau, s)ds = 1$ , $u(d) \int_{y- \varepsilon}^{y+ \varepsilon} P(y, \tau, s)ds \approx u(d)$ . , $\varepsilon >0$ , $\tau \mapsto 0$ , $d \mapsto y$ . :

$u(y) = U(y;0) = e^{-\alpha y}\cdot C(e^{y}; 0) = e^{-\alpha y} \cdot \max (e^y -x_s;0)$

, $\max (e^y -x_s;0)=0$ $y < \ln x_s$ , (9) :

$U(y, \tau) = \int_{\ln x_s}^{+\infty} (e^s - x_s)\frac{e^{-\alpha s}}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau}} \exp\left(-\frac{(y-s)^2}{2 \sigma^2 \tau}\right)ds \qquad (10)$

(10) $U(y;\tau)$ , , $C(e^y, \tau) = e^{\alpha y + \beta \tau} \cdot U(y, \tau)$ . , $U(y, \tau)$ $C(e^y, \tau)$ .

(10) .

, -:

$C = x_0F \left [ \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} + \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2} \right ] - x_se^{-r\tau}F \left [ \frac{\ln(xe^{r\tau} / x_s)}{\sigma \sqrt{\tau}} - \frac{\sigma \sqrt{\tau}}{2} \right ]$

, , $\sigma -$ .

, :

$z = \frac{(s-y)}{ \sigma \sqrt{\tau}}; \qquad s = z\sigma \sqrt{\tau} + y \qquad$ $z(\ln x_s) = \frac{\ln x_s - y}{\sigma \sqrt{\tau}} =: \gamma \text{ - }$ $dz = \left (\frac{(s-y)}{2 \sigma \sqrt{\tau}} \right )' ds \Rightarrow dz = \frac{ds}{\sigma \sqrt{\tau}} \Rightarrow ds = \sigma \sqrt{\tau}dz$

$U(y, \tau) =\int_{\gamma }^{+\infty}\left (e^{(1-\alpha)(\sqrt{\tau} \sigma z + y)} - x_s e^{-\alpha(y + \sqrt{\tau}\sigma z)} \right ) \frac{e^{-\frac{z^2}{2}}}{\sigma \sqrt{2 \pi \tau}} \sqrt{\tau }\sigma dz =$ $\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int_{\gamma }^{+\infty}\left (e^{(1-\alpha)(\sqrt{\tau} \sigma z + y) -\frac{z^2}{2} } - x_s e^{-\alpha(y + \sqrt{\tau}\sigma z)-\frac{z^2}{2}} \right ) dz$

$U(y, \tau) =\frac{1}{\sqrt{2 \pi }}\left [ \int_{\gamma }^{+\infty}e^{(1-\alpha)(\sqrt{\tau} \sigma z + y)-\frac{z^2}{2}} dz -\int_{\gamma }^{+\infty} x_s e^{-\alpha(y + \sqrt{\tau}\sigma z)-\frac{z^2}{2}} dz \right ]$

, .

, , , , $e^{-\frac{v^2}{2}}$ , .

, $-\infty$ , . , . :

$\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {\ gamma} ^ {+ \ infty} e ^ {- \ frac {z ^ 2} {2}} dz = F (- \ gamma) \ qquad (*)$

, , . , , , . :

, $d_1 = - \ left (\ gamma - \ sigma \ sqrt {\ tau} (1- \ alpha) \ right)$ , $d_2 = - \ left (\ gamma + \ alpha \ sigma \ sqrt {\ tau} \ right)$ , *.

, , . , :

$\ gamma = \ frac {\ ln x_s - y} {\ sigma \ sqrt {\ tau}}; \ qquad \ alpha = - \ frac {R} {\ sigma ^ 2}; \ qquad R = r - \ frac {\ sigma ^ 2} {2}; \ qquad y = \ ln x.$

$d_1 = \ frac {\ ln (xe ^ {r \ tau} / x_s)} {\ sigma \ sqrt {\ tau}} + \ frac {\ sigma \ sqrt {\ tau}} {2}; \ qquad d_2 = \ frac {\ ln (xe ^ {r \ tau} / x_s)} {\ sigma \ sqrt {\ tau}} - \ frac {\ sigma \ sqrt {\ tau}} {2}.$

, . $C (e ^ y, \ tau)$ , , $C (e ^ y, \ tau) = e ^ {\ alpha y + \ beta \ tau} \ cdot U (y, \ tau)$ , , ** $e ^ {\ alpha y + \ beta \ tau}$ .

. , $e ^ {\ alpha y + \ beta \ tau} \ cdot e ^ {y (1- \ alpha) + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ tau (1- \ alpha) ^ 2}$ , $e ^ {\ alpha y + \ beta \ tau} \ cdot e ^ {{\ alpha y + a ^ 2 \ sigma ^ 2 \ tau / 2}}$ $e ^ {- r \ tau}$ . , :

.. " ", 2009 . — 376 .
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