Angenommen, wir haben eine Kette mit der Länge l und der Masse M, die an einem Ende aufgehängt ist, wie in der Abbildung gezeigt. Hier nehmen wir an, dass die Kette homogen ist und Reibungskräfte vernachlässigt werden können. Konstruieren wir ein Koordinatensystem so, dass der Ursprung der Koordinaten mit dem Aufhängepunkt übereinstimmt, die X-Achse nach unten gerichtet ist und die Y-Achse senkrecht zur X-Achse für die Kettenabweichung von der Koordinate verantwortlich ist vertikal. Tatsächlich ist es notwendig, die Funktion Y (x, t) zu definieren.
Um Y (x, t) zu finden, schreiben wir die Kräfte auf, die auf einen kleinen Abschnitt der Kette wirken, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.
Aus der Figur ist ersichtlich, dass die Zugkraft T die Kette tangiert. Daher ist die Tangente des Winkels T zur X-Achse gleich der Ableitung dY (X) / dX. Es ist bekannt, dass bei kleinen Schwankungen die Tangente ungefähr dem Winkel selbst im Bogenmaß entspricht. Die Zugkraft T kann unter Verwendung der Formel berechnet werden,
wobei l die Länge der Kette, g die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft und die
Masse pro Längeneinheit der Kette ist.
Schreiben wir die Gleichung nach dem zweiten Newtonschen Gesetz. Ersetzen
Sie auf der rechten Seite der Gleichung den Wert der Spannung T ohne den entsprechenden Koeffizienten.
Ersetzen Sie den Wert der Ableitung am Punkt x + dx durch die zweite Ableitung.
Erweitern Sie die Klammern
und die entsprechenden Begriffe stornieren, wobei auch der Begriff der zweiten Ordnung der Kleinheit entfernt wird.
Setzen Sie die resultierende Formel in die Bewegungsgleichung ein.
Reduzieren Sie sie um dx und das spezifische Gewicht.
Beachten Sie, dass diese Gleichung nicht vom spezifischen Gewicht abhängt. Daher schwingen alle Seile und Ketten gleicher Länge unabhängig von der Masse auf dieselbe Weise. Um diese Gleichung zu lösen, werden wir nach einer Lösung in der Form suchen.
Wenn wir sie in die Bewegungsgleichung einsetzen, erhalten wir die
Division durch g und die Funktion selbst. Wir erhalten, dass ein Teil nur von der Zeit abhängt und der andere nur von X. Daher können sie mit einer Konstanten gleichgesetzt werden.
Betrachten wir zunächst den Teil, der nur von X abhängt
Um diese Gleichung zu lösen, nehmen wir die Änderung der Variablen vor.
Dann nimmt die erste Ableitung die folgende Form an
und die zweite Ableitung davon
und die Gleichung kann in Form von
leicht erkennbar umgeschrieben werden, dass diese Gleichung in der Form umgeschrieben werden kann,
da es unklar ist Was für eine Gleichung, versuchen Sie, sie auf eine bekannte Differentialgleichung zu bringen.
Dazu nehmen wir die Änderung vor.
In diesem Fall nimmt die erste Ableitung die folgende Form an
und die Gleichung selbst
sieht folgendermaßen aus. Bewegen Sie n im Quadrat unter der Ableitung hervor
und heben Sie sie auf.
Machen Sie eine Differenzierung und erhalten Sie die folgende Gleichung
Wir wählen n so, dass es bei der höchsten Ableitung keine freie Variable gibt.
Wir
erhalten die folgende Gleichung. Multiplizieren Sie mit 4 und z im Quadrat und wir erhalten.
Dies ist bereits ähnlich der bekannten Bessel-Gleichung, es ist nur notwendig zu erhalten den Faktor aus der Funktion selbst entfernen. Dazu machen wir eine weitere Transformation der Variablen.
In diesem Fall wird die erste Ableitung gleich
und die zweite Ableitung wird durch
Einsetzen in die Gleichung erhalten.
Wenn wir nehmen , erhalten wir die
Bessel-Gleichung nullter Ordnung.
Die Lösung einer solchen Gleichung hat die Form
wobei A und B Konstanten sind und J und Y Bessel-Funktionen nullter Ordnung sind. Wenn wir die Variable z zurücksetzen, erhalten wir
Nach dem Einsetzen der Variablen u haben wir die folgende Lösung
und kehren schließlich zur Variablen x zurück. Wir
verwenden die Tatsache, dass unsere Funktion am Punkt x = l endlich sein muss. Da die Funktion Y (x) bei Null unendlich ist, muss B gleich Null sein und unsere Lösung wird die folgende Form haben.
Nun werden wir die Bedingung verwenden, dass am Aufhängepunkt der Wert unserer Funktion gleich Null sein muss, dh y (0) ) = 0.
Daraus folgt, dass
wobei j die Nullen der Bessel-Funktion nullter Ordnung sind. Von hier aus können Sie den Wert des
Lambda bestimmen. Durch Ersetzen des Labda erhalten wir
Was nach der Reduktion seine eigenen Funktionen ergibt.
Geben wir Diagramme für die ersten fünf an.
Kehren wir nun zu dem Teil der Anfangsgleichung zurück, der für die Abhängigkeit von der Zeit verantwortlich ist. Wenn Sie die Lambda-Werte kennen, können Sie die Eigenfrequenzen berechnen.
Durch Extrahieren der Wurzel erhalten wir, dass die
entsprechenden Perioden gleich sind.
Vergleichen Sie diesen Ausdruck mit der Schwingungsperiode eines mathematischen Pendels.
Damit ist unsere Untersuchung der Schwingungen einer frei hängenden Kette abgeschlossen. Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit.