🐭 👩🏻‍🤝‍👨🏽 💏 Satz von Proth 🔭 🙎 👩‍🎨

Geschichte

François Prot (1852-1879) war ein autodidaktischer Bauer, der im französischen Dorf Vaudevan-Damloux in der Nähe von Verdun lebte. Der hier betrachtete Satz ist eines von vier Ergebnissen, die er erhalten hat, um die Einfachheit von Zahlen zu testen. Es wurde 1878 in der französischen Fachzeitschrift Comptes rendus de l'Académie des Sciences (Abb. 1) veröffentlicht. Protus hatte wahrscheinlich Beweise für seine Ergebnisse, aber er präsentierte sie nicht.

Definition

– . , , , . , , – .

– $k \ cdot2 ^ n + 1$ , – . , k <2 ^ n , . , 448 , $7 \ cdot2 ^ 6 + 1$ , 2 ^ 6> 7 .

: 3, 5, 9,13,17, 25, 33… - A080075.

, , : 3, 5, 13, 17, 41, 97, 113… - A080076.

$10223 \ cdot2 ^ {31172165} +1$ , 9,383,761 . , , 2 ^ n-1 . 31 2016 Seventeen or Bust $k \ cdot2 ^ n + 1$ .

, . , ( $n \ cdot2 ^ n + 1$ ) k = n , ( $2 ^ {2 ^ n} +1$ ) – k = 1 .

– , , ein :

$a ^ {\ frac {p-1} {2}} \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ p)$

. ein , $x ^ 2 \ equiv a ~ (\ text {mod} ~ m)$ . , , ein .

, , . , .

m> 2 – . ein , , $a ^ {(p-1) / 2} \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ p)$ , $a ^ {(p-1) / 2} \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ p)$ .

, – elf , : $2 ^ 5 = 32 \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ 11)$ . – elf $3 ^ 5 = 243 \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ 11)$ .

. , . , .

– n-1 , $q> \ sqrt {n} -1$ . ein , $a ^ {n-1} \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ n)$ $a ^ {(n-1) / q} -1$ , – .

. n = 7 . , . n-1 , . , . q = 3 . $3> \ sqrt {7} -1 \ ca. 1,65$ . ein , . a = 2 , $2 ^ {6} \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ 7)$ $2 ^ {(7-1) / 3} -1 = 3$ . , .

, einer . , , k> 1 . : $q ^ k> \ sqrt {n} -1$ .

, n = 17 . n-1 = 16 q = 2 . , $2> \ sqrt {17} -1 \ ca.3,12$ . q = 2 k = 4 . : $2 ^ 4> \ sqrt {17} -1 \ ca.3,12$ . , , , , : n = 17 – .

. , $a ^ {(p-1) / 2} \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ p)$ .

– . ein $a ^ {(p-1) / 2} \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ p)$ . .

, , $a ^ {(p-1) / 2} \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ p)$ .

$a ^ {(p-1) / 2} \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ p)$ ein .

n = p = 2 ^ k + 1 . q = 2 n-1 .

, :

$a ^ {n-1} = \ left (a ^ {(n-1) / 2} \ right) ^ 2 \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ n)$ –
$a ^ {(n-1) / q} -1$ –

$2 ^ k> \ sqrt {n} -1$ . n = p . .

. , , . , , , . .

, . ein , $a \ not \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ . $b = a ^ {(n-1) / 2}$ .

$b \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ . , – .
$b \ not \ equiv \ pm1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ $b ^ 2 \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ . , , – , ( $b \ pm1, N.$ ) .
$b ^ 2 \ not \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ . – .
$b \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ . .

, . , 1/2 .

, . , ein . , 1,2, ..., N-1 (N-1) / 2 . ein , 1/2 . , – .

. N = 17 . ein . , a = 2 , b = 256 . . , $256 \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ 17)$ . . , ein .

a = 3 . b = 6561 $6561 \ equiv-1 ~ (\ text {mod} ~ 17)$ . , , N = 17 .

, – , ein , . , . «» . .

N = 9 , . ein . b = 16 . N = 9 . , $16 \ equiv7 \ neq \ pm1 ~ (\ text {mod} ~ 9)$ . . , N = 9 .

-. , . , « », « ». , , . .

2008 , , $O ((k \ log k + \ log N) (\ log N) ^ 2)$ . "Proth.exe", .

N = r ^ et + 1 , – , – , $e, t \ geq1$ . r ^ e> t . , $a ^ {N-1} \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ $a ^ {(N-1) / r} \ not \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ N)$ ein , – .

. , N = 17 . $N = 17 = 2 ^ 4 \ cdot1 + 1$ . r = 2, ~ e = 4, ~ t = 1 . , . ein . a = 3 . :

$3 ^ {16} \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ 17)$ –
$3 ^ {8} \ not \ equiv1 ~ (\ text {mod} ~ 17)$ –

, , N = 17 .

Natürlich ist Proths verallgemeinerter Satz für eine große Anzahl von Zahlengruppen anwendbar, aber die Auswahl der erforderlichen Variablen ist zu zeitaufwändig. In der Praxis wird daher der klassische Satz viel häufiger verwendet.

Satz von Proth

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