David Hilberts Frage nach Polynomen siebten Grades, die lange Zeit als gelöst galt, eröffnete Forschern ein neues Netzwerk mathematischer Verbindungen
Erfolg in der Mathematik ist selten. Fragen Sie einfach Benson Farb .
"Das Problem mit der Mathematik ist, dass Sie in 90 Prozent der Fälle versagen und die Person sein müssen, die das akzeptieren kann", sagte Farb einmal beim Abendessen mit Freunden. Als einer der Gäste, ebenfalls Mathematiker, überrascht war, dass Farb in 10% der Fälle erfolgreich war, gab Farb zu: "Nein, nein, ich habe meine Erfolgsquote stark übertrieben."
Farb, ein Topologe an der Universität von Chicago, traf glücklich seinen letzten Rückschlag - obwohl es fairerweise nicht ganz seine Ehre war. Die Frage ist mit einem Problem verbunden, paradoxerweise gelöst und ungelöst, offen und geschlossen.
Das Problem ist das 13. von 23 mathematischen Problemen, die zu Beginn des 20. Jahrhunderts nicht gelöst wurden. Dann wird der deutsche Mathematiker David Hilbert aus dieser Liste , die seiner Meinung nach die Zukunft der Mathematik bestimmt. Das Problem hängt mit der Lösung von Polynomgleichungen siebten Grades zusammen. Ein Polynom ist eine Folge von Begriffen einer Gleichung, von denen jeder aus einem numerischen Koeffizienten und Variablen besteht, die zu einer Potenz erhoben werden. Terme sind durch Addition und Subtraktion miteinander verbunden. Der siebte Grad bedeutet den größten Exponenten aller Variablen.
Mathematiker haben bereits gelernt, Gleichungen zweiter, dritter und in einigen Fällen vierter Ordnung geschickt und schnell zu lösen. Diese Formeln - einschließlich der bekannten quadratischen Formel für den zweiten Grad - umfassen algebraische Operationen, dh Arithmetik und Wurzelextraktion. Aber je größer der Exponent ist, desto verwirrender ist die Gleichung und es wird immer schwieriger, sie zu lösen. Hilberts 13. Problem ist die Frage, ob die Lösung einer Gleichung siebter Ordnung in Form von Additionen, Subtraktionen, Multiplikationen, Divisionen und algebraischen Funktionen in höchstens zwei Variablen ausgedrückt werden kann.
Im Jahr 1900 stellte David Gilbert eine Liste von 23 kritischen offenen Problemen zusammen.
Antwort: wahrscheinlich nicht. Für Farb geht es jedoch nicht nur darum, eine komplexe algebraische Gleichung zu lösen. Er sagte, dass Problem 13 eines der grundlegendsten Probleme in der Mathematik ist, da es tiefe Fragen aufwirft: Wie komplex sind Polynome und wie können sie gemessen werden? "Eine ganze Schicht moderner Mathematik wurde erfunden, um die Wurzeln von Polynomen besser zu verstehen", sagte Farb.
Dieses Problem zog ihn und den Mathematiker Jesse Wolfson von der University of California in Irvine in das mathematische Kaninchenloch, dessen Bewegungen sie noch studieren. Sie brachte auch Mark Kissin , einen Harvard-Zahlentheoretiker und alten Freund von Farb , zu ihrer Ausgrabung .
Farb räumte ein, dass sie Hilberts 13. Problem noch nicht oder gar nicht gelöst haben. Sie entdeckten jedoch nahezu ausgestorbene mathematische Strategien und untersuchten die Verbindungen des Problems zu verschiedenen Wissensgebieten, einschließlich komplexer Analyse, Topologie, Zahlentheorie, Darstellungstheorie und algebraischer Geometrie. Sie wendeten insbesondere ihre eigenen Ansätze an, indem sie Polynome mit Geometrie kombinierten und den Bereich möglicher Antworten auf Hilberts Frage einschränkten. Ihre Arbeit schlägt auch eine Möglichkeit vor, Polynome anhand von Komplexitätsmetriken zu klassifizieren - ein Analogon von Komplexitätsklassen, die mit dem ungelösten Problem der Gleichheit der Klassen P und NP zusammenhängen .
"Sie waren tatsächlich in der Lage, eine interessantere Version des Interesses aus dem Interesse zu extrahieren", sagte Daniel Litt, Mathematiker an der University of Georgia, im Vergleich zu den zuvor untersuchten. "Sie zeigen der mathematischen Gemeinschaft viele natürliche und interessante Fragen."
Geöffnet, geschlossen und wieder geöffnet
Viele Mathematiker dachten bereits, das Problem sei gelöst. In den späten 1950er Jahren veröffentlichten der brillante sowjetische Wissenschaftler Vladimir Igorevich Arnold und sein Mentor Andrei Nikolaevich Kolmogorov ihre Beweise. Für die meisten Mathematiker schloss Arnold-Kolmogorovs Arbeit diese Frage. Selbst in Wikipedia - nicht die ultimative Wahrheit, aber ein ziemlich vernünftiger Vermittler bei der Suche nach Wissen - wurde das Problem bis vor kurzem als gelöst markiert.
Vladimir Arnold und sein Mentor Andrei Kolmogorov erwiesen sich in den 1950er Jahren als eine der Versionen von Hilberts 13. Problem - aber vielleicht war Hilbert an einer anderen Version interessiert.
Vor fünf Jahren stieß Farb jedoch in einem Aufsatz von Arnold auf einige faszinierende Zeilen, in denen der berühmte Mathematiker über seine Arbeit und Karriere nachdenkt. Farb war überrascht zu erfahren, dass Arnold Problem 13 als offen beschrieb und seit vierzig Jahren versuchte, ein Problem zu lösen, das er anscheinend bereits gelöst hatte.
„Es gibt wissenschaftliche Arbeiten, in denen die These über die Lösung des Problems einfach wiederholt wird. Sie verstehen das Problem selbst eindeutig nicht “, sagte Farb. Zu dieser Zeit arbeitete er mit Wolfson, damals Postdoc, an einem Topologieprojekt. Als er die Informationen teilte, die er in Arnolds Arbeit gefunden hatte, schloss sich Wolfson dem Projekt an. Während eines Seminars zum 50. Geburtstag von Farb hörte Kissin 2017 Wolsfons Vortrag und stellte überrascht fest, dass ihre Vorstellungen von Polynomen mit Fragen in seiner Arbeit zur Zahlentheorie zusammenhängen. Er schloss sich ihrem Team an.
Der Grund für die Verwechslung mit diesem Problem wurde bald klar: Kolmogorov und Arnold lösten nur eine ihrer Optionen. Ihre Lösung enthielt kontinuierliche Funktionen - solche ohne scharfe Brüche oder Wendepunkte. Diese Funktionen umfassen bekannte Operationen wie Sinus, Cosinus, Exponential sowie exotischere.
Allerdings sind sich nicht alle Forscher einig, dass Hilbert an ihnen interessiert war. "Viele Mathematiker glauben, dass Hilbert sich auf algebraische Funktionen bezieht, nicht auf stetige Funktionen", sagte Zinovy Reichstein , Mathematiker an der University of British Columbia. Farb und Wolfson arbeiten an einem Problem, von dem sie glauben, dass Hilbert es studieren wollte.
Farb sagte, Problem 13 sei ein Kaleidoskop. "Sie decken dieses Ding auf und je mehr Sie studieren, desto mehr Richtungen und Ideen eröffnen sich", sagte er. "Es öffnet die Tür zu einer ganzen Reihe von Problemen und enthüllt das ganze wunderbare Netz der Mathematik."
Die Wurzeln des Problems
Mathematiker spielen seit der Erfindung der Mathematik selbst mit Polynomen. 3.000 Jahre alte Steintafeln zeigen, wie babylonische Mathematiker die Formel verwendeten, um Polynome zweiter Ordnung zu lösen. Es war der keilförmige Vorgänger der sehr quadratischen Formel, die heute im Mathematikunterricht gelehrt wird. Formel zeigt, wie man die Wurzeln eines Polynoms findet - das heißt, die x-Werte, bei denen der Ausdruck ax 2 + bx + c, ein Polynom vom Grad zwei, Null wird.
Im Laufe der Zeit interessierten sich Mathematiker natürlich für die Frage, ob es so klare und klare Formeln für Polynome höherer Ordnung gibt. "Die jahrtausendelange Geschichte dieses Problems besteht darin, zu etwas zu gelangen, das genauso mächtig, einfach und effektiv ist", sagte Wolfson.
Je höher der Grad des Polynoms ist, desto umständlicher werden sie. In dem 1545 erschienenen Buch Ars Magna [Große Kunst] veröffentlichte der italienische Polymath Gerolamo Cardano Formeln, um die Wurzeln von Polynomen dritten und vierten Grades zu finden.
Die Wurzeln des kubischen Polynoms ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 können mit der folgenden Formel gefunden werden: Die
Formel für das Polynom vierten Grades sieht noch schlechter aus.
"Mit zunehmendem Abschluss wächst auch die Komplexität, und der Berg der Komplexität zeichnet sich ab", sagte Kurt McMullen von Harvard. "Wie können wir diesen Berg erobern?"
Der italienische Mathematiker Paolo Ruffini argumentierte 1799, dass Polynome 5. und höherer Grade nicht mit arithmetischen Operationen und Wurzelextraktion gelöst werden können. Der norwegische Mathematiker Niels Henrik Abel hat dies 1824 bewiesen. ... Mit anderen Worten, es gibt keine solche Formel für ein Polynom fünften Grades. Glücklicherweise sind andere Ideen aufgetaucht, die Wege vorschlagen, Polynome höheren Grades zu untersuchen, die durch Substitution vereinfacht werden können. Zum Beispiel zeigte der schwedische Anwalt Erland Bring 1786, dass jede Gleichung der Form ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f = 0 als px 5 + qx + 1 = 0 umgeschrieben werden kann , wobei p und q - komplexe Zahlen, deren Wert durch a, b, c, d, e und f bestimmt wird. Diese Tatsache eröffnete neue Ansätze für die verborgenen Eigenschaften von Polynomen. Im 19. Jahrhundert William Rowan Hamilton
setzte die Arbeit von Bring und anderen fort. Unter anderem zeigte er, dass man zum Finden der Wurzeln eines Polynoms sechsten Grades nur die üblichen arithmetischen Operationen, Quadrat- und Kubikwurzeln und eine algebraische Formel benötigt, die nur von zwei Variablen abhängt.
1975 führte der amerikanische Algebraist Richard Brower aus Harvard die Idee des "Resolvent Degree" ein, der die Mindestanzahl von Begriffen beschreibt, die zur Beschreibung eines Polynoms eines bestimmten Grades erforderlich sind. Weniger als ein Jahr später führten Arnold und der japanische Zahlentheoretiker Goro Shimura in einem anderen Artikel die gleiche Definition ein.
In Brouwers Modell, dem ersten Versuch, die Regeln für solche Substitutionen zu systematisieren, ist Hilberts 13. Problem, ob es möglich ist, dass Polynome des siebten Grades einen Auflösungsgrad von weniger als 3 haben. Später machte er ähnliche Vermutungen über Polynome des sechsten und sechsten Grades achte Grad.
Alle diese Fragen basieren jedoch auf einer allgemeineren: Was ist die kleinste Anzahl von Parametern, die erforderlich sind, um die Wurzeln eines Polynoms zu finden? Was ist die Untergrenze, die Sie gehen können?
Visuelles Denken
Ein natürlicher Ansatz für diese Frage besteht darin, sich vorzustellen, wie Polynome aussehen. Das Polynom kann als Funktion geschrieben werden - zum Beispiel f (x) = x 2 - 3x + 1, - und geplottet werden. Dann wird die Suche nach Wurzeln auf die Tatsache reduziert, dass die Funktion gleich Null wird, wenn ihre Kurve die x-Achse schneidet.
Je höher der Grad des Polynoms ist, desto komplexer ist sein Graph. Funktionen dritter Ordnung in drei Variablen erzeugen glatte, aber verdrehte Oberflächen in drei Dimensionen. Wenn Mathematiker wissen, wo sie auf diesen Oberflächen suchen müssen, können sie viel über die zugrunde liegende Polynomstruktur lernen.
Versuche, Polynome zu verstehen, beinhalten daher viele Techniken aus der algebraischen Geometrie und Topologie - Zweige der Mathematik, die sich darauf konzentrieren, was mit Formen geschieht, wenn sie sich ohne Diskontinuität verformen, schrumpfen, dehnen oder auf andere Weise ändern. "Henri Poincaré hat im Wesentlichen die Topologie erfunden und klar gesagt, dass er dies getan hat, um algebraische Funktionen zu verstehen", sagte Farb. "Zu dieser Zeit hatten die Menschen Schwierigkeiten, diese grundlegenden Zusammenhänge zu studieren."
Hilbert selbst zeigte einen besonders interessanten Zusammenhang, indem er Geometrie auf dieses Problem anwendete. Als er 1900 seine Problemliste aufstellte, hatten Mathematiker bereits viele Tricks, um den Grad der Polynome zu senken, aber sie konnten immer noch nicht weiter kommen. Hilbert beschrieb jedoch 1927 einen neuen Trick. Zunächst identifizierte er alle möglichen Möglichkeiten zur Vereinfachung von Polynomen neunten Grades und fand unter ihnen eine Familie spezieller kubischer Oberflächen.
Hilbert wusste bereits, dass auf jeder glatten kubischen Oberfläche - einer komplizierten Figur, die durch ein Polynom dritten Grades beschrieben wird - genau 27 Linien vorhanden sind, egal wie verdreht sie aussieht. Diese geraden Linien verschieben sich, wenn sich die Koeffizienten der Polynome ändern. Er erkannte, dass er, wenn er die Position eines von ihnen kennt, das Polynom neunten Grades vereinfachen und seine Wurzeln finden kann. Die Formel erforderte nur vier Parameter - in modernen Begriffen bedeutete dies, dass der Grad des Lösungsmittels 4 nicht überschritt.
"Hilberts erstaunliche Erkenntnis war, dass dieses Wunder der Geometrie, das aus einer völlig anderen Welt stammt, verwendet werden konnte, um den Grad von zu verringern die Auflösung auf 4 ", sagte Farb.
Auf dem Weg zu einem Netz von Verbindungen
Als Kissin Farb und Wolfson half, das Problem zu verstehen, stellten sie fest, dass die allgemein akzeptierte Ansicht, dass Hilberts 13. Problem gelöst war, jegliches Interesse an der geometrischen Herangehensweise an den Grad der Auflösung zunichte gemacht hatte. Im Januar 2020 veröffentlichte Wolfson ein Papier , das diesen Ansatz neu belebte. Sie erweiterte Hilberts geometrische Inversion von Polynomen neunten Grades auf eine allgemeinere Theorie.
Hilbert konzentrierte sich auf kubische Oberflächen, um Lösungen für Polynome neunten Grades zu finden, die nur eine Variable enthalten. Aber was ist mit Polynomen höheren Grades? Um dieses Problem auf ähnliche Weise zu lösen, dachte Wolfson, könnte man die kubische Oberfläche durch eine Art „Hyperfläche“ höherer Ordnung ersetzen, die durch diese Polynome höherer Ordnung in vielen Variablen gebildet wird. Die Geometrie solcher Oberflächen ist nicht gut verstanden, aber in den letzten Jahrzehnten haben Mathematiker bewiesen, dass in einigen Fällen immer gerade Linien auf ihnen zu finden sind.
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Hilberts Idee, gerade Linien auf einer kubischen Oberfläche zu verwenden, kann zu geraden Linien auf diesen "Hyperflächen" höheren Grades entwickelt werden. Wolfson verwendete diese Methode, um neue, einfachere Formeln für Polynome bestimmten Grades zu finden. Es stellt sich heraus, dass selbst wenn Sie sich ein Polynom 100. Grades nicht vorstellen können, Sie seine Wurzeln finden können, indem Sie „einfach“ eine Ebene auf einer mehrdimensionalen kubischen Hyperfläche finden (in diesem Fall hat sie 47 Dimensionen).
Mit dieser neuen Methode bestätigte Wolfson den Wert des von Hilbert gefundenen Auflösungsgrades für Polynome neunten Grades. Und für Polynome anderer Grade - insbesondere Grad über 9 - schränkt seine Methode den Bereich möglicher Werte für den Grad des Auflösungsmittels ein.
Dies ist also kein direkter Angriff auf Hilberts 13. Problem, sondern ein Ansatz für Polynome im Allgemeinen. "Sie fanden einige verwandte Fragen und konnten Fortschritte bei ihnen erzielen, in der Hoffnung, dass dies Licht auf die ursprüngliche Frage werfen würde", sagte McMullen. Und ihre Arbeit zeigt neue Wege auf, mit diesen mathematischen Konstrukten zu arbeiten.
Die allgemeine Theorie des Grads der Auflösung zeigt auch, dass Hilberts Vermutungen bezüglich Gleichungen der sechsten, siebten und achten Ordnung anderen Problemen entsprechen, die in scheinbar nicht verwandten Bereichen der Mathematik bekannt sind. Der Grad der Auflösung bietet laut Farb eine Möglichkeit, diese Probleme in Bezug auf die algebraische Komplexität zu organisieren, anstatt sie in Komplexitätsklassen zu gruppieren.
Und obwohl die Theorie aus Hilberts 13. Problem stammt, sind sich Mathematiker nicht sicher, ob sie die offene Frage nach Polynomen siebten Grades lösen kann. Es berührt gigantische, unerforschte mathematische Skalen in unvorstellbaren Dimensionen, stößt jedoch bei kleineren Werten der Grade auf unüberwindbare Hindernisse und ist nicht in der Lage, die Grade der Auflösung für sie zu bestimmen.
Für McMullen ist der mangelnde Fortschritt - trotz Anzeichen von Fortschritt - an sich interessant. Daraus folgt, dass das Problem Geheimnisse enthält, die die moderne Mathematik einfach nicht erfassen kann. "Wir konnten dieses grundlegende Problem nicht lösen - es bedeutet, dass wir keine dunklen Bereiche betreten haben", sagte er.
"Es werden völlig neue Ideen erforderlich sein, um es zu lösen", sagte Reichstein, der seine eigene Idee zur Vereinfachung von Polynomen entwickelte, ein Konzept, das er "grundlegende Dimension" nennt. "Es ist unmöglich vorherzusagen, woher sie kommen werden."
Aber die Dreifaltigkeit gibt nicht auf. "Ich werde nicht aufgeben", sagte Farb. „Diese Aufgabe ist definitiv mein weißer Wal geworden . Sie lässt mich nicht in diesem Netz von Verbindungen und der Mathematik, die es umgibt, stehen bleiben. "