Wie vier Mathematiker die Frage nach geometrischen Grundformen lösten, indem sie mithilfe zahlentheoretischer Methoden eine vollständige Liste von Tetraedern mit rationalen Winkeln erstellten.
Alle 59 Tetraeder mit rationalen Diederwinkeln können von verschiedenen Seiten als Referenz betrachtet werden .
Der Tetraeder ist die einfachste dreidimensionale Form mit flachen Seiten. Seine Haupteigenschaften haben neugierige Köpfe schon in den Tagen von Platon und Aristoteles verwirrt. Und im November 2020 wurde der endgültige Beweis veröffentlicht , der alle vorhandenen speziellen Tetraeder zuverlässig identifizierte. In dieser Arbeit beantworten Mathematiker die Frage einer alten Figur dank fortschrittlicher Technologien, die es ermöglichen, mit einer neuen Methode Lösungen für bestimmte Gleichungen zu finden.
„Dies sind idealisierte mathematische Objekte, die immer bei uns sein werden, und jetzt kennen wir sie alle“, sagt Martin Weissman von der University of California in Santa Cruz.
Das Tetraeder hat eine dreieckige Basis und drei dreieckige Seiten, die eine Pyramide bilden. Gesichtspaare berühren sich entlang der Kanten und bilden sechs Diederecken.
Der neue Beweis definiert alle Varianten der Konfiguration des Tetraeders, wobei jeder der sechs Diederwinkel rationale Werte hat, was bedeutet, dass jeder von ihnen als Bruch geschrieben werden kann. Es heißt, dass es genau 59 separate Beispiele sowie 2 unendliche Familien von Tetraedern gibt, die diese Bedingung erfüllen.
Tatsächlich wurden diese Tetraeder vor Jahrzehnten von Mathematikern mithilfe von Computersuchmethoden entdeckt, aber sie wussten nicht, ob es noch andere gab. Im weiteren Sinne verstanden sie nicht zu beweisen, dass es keine anderen ähnlichen Tetraeder gab.
"Sie wurden bereits in den 1990er Jahren gefunden, aber erst 2020 konnten wir nachweisen, dass die Liste umfassend ist", sagte Kiran Kedlaya , Mathematiker an der University of California in San Diego. Kedlaya ist Co-Autor des Beweises mit Alexander Kolpakov von der Universität Neuenburg in der Schweiz, Björn Punen vom Massachusetts Institute of Technology und Michael Rubinsteinvon der University of Waterloo.
Samuel Velasco / Quanta Magazine
Das Problem der Klassifizierung von Tetraedern mit rationalen Diederwinkeln mag einfach erscheinen, aber es dauerte Jahre akkumulierten mathematischen Wissens, um es zu lösen, sowie Rechenleistung, die noch vor zehn Jahren nicht verfügbar war.
„Ein solches Ergebnis kann man nicht erzielen, wenn man nur mit Stift und Papier spielt. Sie haben sehr ausgefeilte Methoden entwickelt “, sagt Marjorie Seneschal vom Smith College.
Der 30-seitige Proof enthält fast keine Zeichnungen. Stattdessen basiert die Logik auf der Lösung einer Polynomgleichung, bei der die Koeffizienten und Variablen auf eine Potenz angehoben werden, beispielsweise y = 3x 2+ 6. Natürlich ist die im Beweis berücksichtigte Gleichung viel komplizierter.
"Der größte Teil der Arbeit basiert auf der Zahlentheorie, aber die Geometrie liegt auf der Oberfläche", sagt Kedlaya.
Die Verbindung zwischen Geometrie und Zahlentheorie gab Mathematikern einen Hinweis, aber sie mussten hart arbeiten, um diese Idee zu entwickeln, da es sehr schwierig ist, spezielle Lösungen für komplexe Gleichungen zu finden und zu beweisen, dass Sie sie alle gefunden haben. Mathematiker wissen für die meisten Gleichungen nicht, wie das geht.
„Es gibt keine Einheitsmethode, die immer funktioniert. Man kann fast nie eine Gleichung lösen “, sagt Peter Sarnak vom Institute for Advanced Study.
Nur in diesem Fall gelang es den Mathematikern! Durch die Entdeckung einer neuen Methode zum Finden von Lösungen für Polynomgleichungen beantworteten sie die grundlegende Frage nach geometrischen Formen und haben es möglicherweise einfacher gemacht, in Zukunft Lösungen für andere Gleichungen zu finden.
Tetraeder testen
Die Frage der Definition aller Tetraeder mit rationalen Diederwinkeln (rationale Tetraeder) wurde erstmals 1976 von John Conway und Antonia Jones in einer Arbeit formell formuliert .
Sie wollten Tetraeder finden, die geschnitten und zu einem Würfel mit demselben Volumen zusammengesetzt werden konnten, eine Eigenschaft, die als Scherenkongruenz bekannt ist. In ihrer Arbeit entwickelten sie Argumente, die bis ins Jahr 1900 zurückreichen, als David Hilbert 23 Probleme vorschlug, die die mathematische Forschung im 20. Jahrhundert leiteten. Sein drittes Problem hängt mit der folgenden Frage zusammen: sind Paare dreidimensionaler Figuren mit gleichvolumiger Schere. Es wurde bald bewiesen, dass dies nicht der Fall war, aber es stellte sich heraus, dass alle rationalen Tetraeder zum Würfel kongruent sind.
"Conway und Jones stellten die Frage nach rationalen Tetraedern als Sonderfall einer viel komplexeren Frage der Klassifizierung von Tetraedern", sagte Kedlaya.
Dies sind idealisierte mathematische Objekte, die immer bei uns sein werden.
Martin Weissman, Universität von Kalifornien, Santa Cruz.
Sie konnten eine Methode zum Auffinden dieser Tetraeder skizzieren: Lösen einer bestimmten Polynomgleichung. Ihre Gleichung enthält sechs Variablen, die den sechs Diederwinkeln des Tetraeders entsprechen, und hat 105 Terme, die die komplexe Beziehung der Diederwinkel des Tetraeders zueinander widerspiegeln. Stellen Sie sich zum Vergleich ein Dreieck vor, dessen drei Innenwinkel in einem einfachen Polynom verbunden sind, das nur aus drei Elementen besteht: a + b + c = 180 Grad.
Die von Conway und Jones identifizierte Polynomgleichung hat auch unendlich viele Lösungen, die unendlichen Konfigurationen möglicher Tetraeder entsprechen. Conway und Jones sagten, dass, um Tetraeder mit allen rationalen Diederwinkeln zu definieren, Mathematiker eine spezielle Klasse von Lösungen für die Gleichung finden müssen, die genau rationalen Tetraedern entsprechen.
Sie selbst wussten nicht, wie sie eine Lösung finden sollten, aber sie waren sich sicher, dass dies möglich war: "Es ist wahrscheinlich, dass ein gewöhnlicher Tetraeder ... dessen Diederwinkel rational sind, mit unseren Methoden gefunden werden kann."
Mehr als 40 Jahre später haben vier Mathematiker ihre Annahme bestätigt.
Wurzeln aus einem
Die Strategie von Conway und Jones ist unter Mathematikern weit verbreitet, die beim Studium von Polynomgleichungen häufig nach speziellen Arten von Lösungen suchen. Dies können Lösungen in Form von ganzen Zahlen oder rationalen Zahlen sein. Oder wie in diesem Fall können es Lösungen mit dem eleganten Namen „Roots from One“ sein.
Die meisten Wurzeln von einem erscheinen nicht auf der normalen Zahlenlinie. Stattdessen gehören sie zu komplexen Zahlen wie 3 + 4i, die einen Realteil (3) und einen Imaginärteil (4) haben. Die Wurzeln der Einheit dienen als Lösung für Polynomgleichungen und haben eine spezielle algebraische Eigenschaft: Wenn man sie auf eine bestimmte Potenz erhöht, ergibt sich 1. Außerdem haben sie eine elegante geometrische Darstellung: Sie liegen alle auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene.
Um die Conway-Jones-Polynomgleichung zu lösen, müssen Sie allen sechs Variablen komplexe Zahlen zuweisen, damit die 105-Term-Gleichung wahr wird. Die Variablen stellen nicht buchstäblich die tatsächlichen Winkelmessungen dar, sondern ersetzen die komplexen Zahlen, die den Kosinus der Winkel zugeordnet sind. Conway und Jones stellten fest, dass rationale Tetraeder Lösungen eines Polynoms entsprechen, in denen alle Variablen Wurzeln der Einheit sind.
"Sechs Winkel werden zu sechs Punkten auf dem Einheitskreis, und diese komplexen Zahlen werden benötigt, um die Polynomgleichung zu erfüllen", sagte Weissman.
Samuel Velasco / Quanta Magazine
Es ist jedoch nicht so nützlich, diese Korrespondenz zu kennen, wie es scheint. Lösungen zu finden ist eine Sache. Und zu beweisen, dass Sie alle gefunden haben, ist eine völlig andere und viel schwierigere Aufgabe.
1995 fanden zwei Autoren einer neuen Arbeit, Punen und Rubinstein, tatsächlich alle Tetraeder mit rationalen Diederwinkeln, wie sich am Ende herausstellte. Tatsächlich erraten sie den Weg, sie zu finden, indem sie Kombinationen von sechs rationalen Zahlen in die Gleichung einfügten.
"Sie können einfach versuchen, sechs rationale Zahlen zu nehmen und sie in die Gleichung einzufügen", sagte Poonen. „Das Problem ist, dass nur Lösungen auf diese Weise gefunden werden können. Aber er macht nicht klar, ob alle möglichen Optionen gefunden wurden. "
Suche nach jeder Lösung
In ihrer neuen Arbeit haben vier Mathematiker bewiesen, dass die Liste der Tetraeder mit rationalen Winkeln, die Punen und Rubinstein vor 25 Jahren gefunden haben, vollständig ist und keine anderen Beispiele entdeckt werden können.
Ihre Zusammenarbeit begann im März 2020, nachdem Poonen in einem Vortrag über die verwandte Arbeit von Kedlai gehört hatte, der von einem anderen Mathematiker mitverfasst wurde. Sie suchten nach Wurzeln aus der Einheit eines anderen Polynoms, um ein anderes Klassifizierungsproblem zu lösen. Poonen erkannte sofort, dass dies etwas mit seiner früheren unvollendeten Untersuchung von Tetraedern zu tun hatte.
"Björn war sehr interessiert an meiner Arbeit", sagte Kedlay. "Er sagte: 'Warte, genau das brauchte ich in den neunziger Jahren.'
Björn Punen schrieb einen Brief an Kiran Kedlae, in dem er das Problem der Suche nach rationalen Tetraedern beschrieb. Sein kurzer Brief endete optimistisch. „Ich bin in den neunziger Jahren [mit Michael Rubinstein] in dieser Frage ziemlich weit gekommen, und ich denke, dass sie mit viel menschlichem und computerischem Aufwand abgeschlossen werden kann.
Im Jahr 2020 erfanden Kiran Kedlaya, Michael Rubinstein, Björn Punen und Alexander Kolpakov einen neuen Weg, um Gleichungen zu lösen, und fanden dabei alle rationalen Tetraeder.
Nach diesem Brief wandte sich Kedlai an Kolpakov, der auch Wurzeln aus der Einheit verwendete, um die Arten geometrischer Formen zu klassifizieren. Gleichzeitig kontaktierte Poonen seinen damaligen Co-Autor Rubinstein. Nachdem sie ein Team zusammengestellt hatten, machten sie sich schnell an die Arbeit.
"Wir haben ziemlich regelmäßige Treffen organisiert, wahrscheinlich mehrere Monate lang zwei Stunden pro Woche", sagte Kedlaya. Und als sie anfingen, eine vollständige Liste der Wurzeln der Einheit für das Conway-Jones-Polynom zusammenzustellen, hatten sie eine sehr breite Vorstellung davon, wo sie suchen sollten.
Sie wussten, dass Lösungen unterhalb einer sehr großen Anzahl, einer Obergrenze, liegen mussten. Aber die Grenze war so groß, dass es keine Frage gab, alle Möglichkeiten darunter zu erkunden.
„Diese sechs variablen Grenzen sind erschreckend. Ohne grundlegend neue Ideen ist die Lösung dieses Problems jenseits des Möglichen “, sagte Sarnak.
Vier Mathematiker machten die Gleichung durch zwei wichtige Neuerungen lösbar.
Zuerst senkten sie die Obergrenze. In ihrer neuen Arbeit haben sie bewiesen, dass eine komplexe Polynomgleichung, die Tetraeder darstellt, selbst als mehrere einfachere Polynome dargestellt werden kann.
"Wir wechseln von einer Gleichung mit sechs Variablen zu einer Reihe von Hunderten einfacherer Gleichungen", sagte Kedlaya.
Sie haben bewiesen, dass alle Wurzeln der Einheit dieser einfacheren Polynome unterhalb der Obergrenze liegen, die viel kleiner ist als die große und unerforschte Obergrenze, die mit einem komplexeren Polynom verbunden ist. Die Entsprechung zwischen einfacheren und komplexen Gleichungen bedeutet, dass das Finden der Wurzeln von eins für die ersteren zu Wurzeln von eins für die letzteren führt. Leider war auch dieses kleinere Intervall noch zu lang, um alle möglichen Optionen zu erkunden.
Sie können dieses Ergebnis nicht einfach durch Spielen mit Stift und Papier erzielen.
Marjorie Seneschal, Smith College
Die zweite Neuerung der Autoren bestand in der Entwicklung einer cleveren Suchmethode in diesem kleineren Intervall. Sie wussten, dass Lösungen eine bestimmte symmetrische Struktur haben, was bedeutet, dass wenn es in einem Teil des Intervalls eine Lösung gibt, es im anderen Teil des Intervalls eine Lösung geben muss.
Dies ermöglichte es ihnen, neue Algorithmen zu entwickeln, die diese Struktur verwendeten, um effizienter zu suchen. Außerdem verwendeten sie diese Algorithmen auf viel leistungsstärkeren Computern als Conway und Jones, als sie erstmals vorschlugen, Roots von 1 zur Lösung eines Problems zu verwenden.
"Es stellte sich heraus, dass wir die Strategie von [Conway und Jones] mit 40 Jahren zusätzlichem Wissen und leistungsstärkeren Computern ein wenig neu gestalten mussten", sagte Kedlay.
Die neuen Algorithmen testeten alle möglichen Kombinationen von Lösungen in einem engeren Intervall. Auf der Grundlage dieser erschöpfenden endgültigen Suche haben die Autoren schließlich bewiesen, dass es nur 59 separate Beispiele für Tetraeder mit rationalen Diederwinkeln und zwei unendliche Familien von Tetraedern gibt (genau jene, denen Punen und Rubinstein Jahrzehnte zuvor begegnet waren). Tetraeder in jeder unendlichen Familie unterscheiden sich in einem Parameter und bieten endlose Möglichkeiten, um einige Winkel zu vergrößern und andere zu verringern, während alle Diederwinkel rational bleiben.
Bei dieser Erkundung findet jeder etwas für sich.
Für Mathematiker, die daran interessiert sind, die Wurzeln der Einheit der Polynomgleichungen zu identifizieren, bietet der Artikel eine neue bequeme Möglichkeit, sie zu finden. Insbesondere die von den Autoren verwendeten Methoden zur Reduktion eines komplexen Conway-Jones-Polynoms auf viele einfachere Polynome werden wahrscheinlich auf andere komplexe Polynomgleichungen angewendet, die nicht direkt gelöst werden können.
"Diese Arbeit legt nahe, dass viele andere Probleme, die unüberwindbar schienen, möglicherweise mit solchen Ideen gelöst werden könnten", sagte Sarnak.
Und für jene Mathematiker und alle anderen, die Vollständigkeit mögen, gibt der Artikel eine neue und perfekte Antwort: Hier sind alle Tetraeder, von denen Sie nur träumen können.
"Dies ist eine großartige Leistung", sagte Sarnak.