🗜️ 🙅🏼 🧑🏾‍🤝‍🧑🏽 Warum transformieren wir 3D-Vektoren mit 4x4-Matrizen? 👨🏼‍🎨 👨🏿‍🤝‍👨🏼 👩🏾‍🏫

Warum nicht eine 3x3 Matrix? Warum ist alles in einer 4x4-Matrix genau so angeordnet? Warum ist die letzte Zeile mit Nullen und einer am Ende gefüllt? Ich stellte diese Fragen am Tag zuvor, beschloss, die Frage zu untersuchen und zu erzählen, was ich herausgefunden hatte.

In dem Artikel werden wir uns nur für affine Transformationen interessieren, insbesondere für Rotation, Skalierung und Bewegung, die in der Grafikprogrammierung und der Spieleentwicklung im Allgemeinen aktiv eingesetzt werden.

: . , , , (A⋅x). , , , (+b).

T, x

$T (\ vec {x}) = A \ vec {x} + \ vec {b}$

, b x . x x', :

$\ begin {array} {ll} A \ rightarrow [a] \ rightarrow a, \\ \ vec {b} \ rightarrow (b) \ rightarrow b, \\ \ vec {x} \ rightarrow x, \\ T (x ) \ rightarrow x '\ end {array}$

x ( ), b ( ).

, , . M, :

x' = 3x + 4 (3x +4 ) .

$\ begin {array} {ll} Mx = 3x + 4 \\ M = (3x + 4) / x \\ M = 3 + (\ frac {4} {x}) \ end {array}$

, ( 3x [3]), (x+4) , M x.

:

+4 +4y, y, x ,

$x '= 3x + 4y \\ y' = \ _x + \ _y$

2x2, x' = 3x+4 x, . . , .

$\ begin {bmatrix} x '\\ y' \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \\ \ _ & \ _ \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix }}$

2x2 , , - y, +4y , +4, x :

$\ begin {bmatrix} x '\\ y' \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 3 & 4 \\ \ _ & \ _ \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x \\ 1 \ end {bmatrix } \ rightarrow \ begin {array} {l} x '= 3 \ cdot x + 4 \ cdot 1 \\ y' = \ _ \ cdot x + \ _ \ cdot 1 \ end {array}$

, , , , 3x+4 x' - y' y' ,