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Was für ein Tier sind affine Transformationen?

Höchstwahrscheinlich hat jeder von Ihnen mindestens einmal in Ihrem Leben den Begriff „affine Transformationen“ gehört. In der Tat sprechen alle ständig über sie: "Invarianz gegenüber affinen Transformationen", "Augmentation durch affine Transformationen", "affine Transformationen in Computergrafiken" und so weiter. Allerdings kann nicht jeder sofort eine einfache Frage beantworten: "Sagen Sie uns, was affine Transformationen in einfachen Worten sind."





Sie können? Wie auch immer, lassen Sie uns dieses Problem ein wenig diskutieren.





Was ist affine Transformation?

Beginnen wir mit den Klassikern - Definition aus Wikipedia.





Affine Transformation (aus dem Lateinischen affinis "berühren, schließen, benachbart") ist eine Abbildung einer Ebene oder eines Raums in sich selbst, in der parallele Linien in parallele Linien übergehen, Linien in Schnittlinien schneiden, Linien in Schnittlinien kreuzen.





Lassen Sie uns ein wenig klären.





Was bedeutet "Self-Mapping" ? Das heißt, wenn wir im Weltraum wären R ^ n, müssten wir nach der Ausbildung im Weltraum bleiben. Zum Beispiel: Wenn wir eine Art von Transformation zu einem Rechteck und bekamen einen quader aufgetragen, dann verließen wir R ^ 2in R ^ 3. Aber wenn wir ein anderes Rechteck aus dem Rechteck haben, dann ist alles in Ordnung, wir haben den ursprünglichen Raum in uns selbst abgebildet. Formal wird es wie folgt beschrieben: "Transformation fordnet Raum R ^ nzu R ^ n". Wenn mit Formeln geschrieben f: R ^ n \ rightarrow R ^ n.





-, « »? , , . , . , . , . - .





, - . , : 2D . , 2 . , . , - , .





, - .





( ).





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. - x y. x ' y ' :





\ begin {Fälle} x '= \ alpha x + \ beta y + \ lambda \\ y' = \ gamma x + \ delta y + \ mu \ end {Fälle}

, \ alpha, \ beta, \ gamma, \ mu :





\ begin {pmatrix} \ alpha & \ beta \\ \ gamma & \ delta \ end {pmatrix}

: , , ..





\ begin {vmatrix} \ alpha & \ beta \\ \ gamma & \ delta \ end {vmatrix} \ neq 0

.





f: R ^ n \ rightarrow R ^ n- f (x) = Mx + v, M.- , v \ in R ^ n. x, , n- .





, . .





- \ alpha, \ beta, \ gamma, \ mu, \ delta, \ lambda? .





\ alpha = cos (\ alpha), \ beta = sin (\ alpha), \ gamma = -sin (\ alpha), \ delta = cos (\ alpha), \ lambda = \ mu = 0.





, M. :





\ begin {pmatrix} cos (\ alpha) & sin (\ alpha) \\ -sin (\ alpha) & cos (\ alpha) \ end {pmatrix}





:





\ begin {Fälle} x '= xcos \ alpha + y sin \ alpha \\ y' = -xsin \ alpha + y cos \ alpha \ end {Fälle}

? , - \ alpha. .. . .





-

M. :





\ begin {pmatrix} 1 / k_x & 0 \\ 0 & 1 / k_y \ end {pmatrix}

:





\ begin {Fälle} x '= x / k_x \\ y' = y / k_y \ end {Fälle}

, , , 1 , 1. .





, k_x -1, k_y 1. ? , OY.





.





M. (.. \ alpha = \ delta = 1, beta = \ gamma = 0). \ lambda -dx, \ mu = -dy.





, :





\ begin {Fälle} x '= x - dx \\ y' = y - dy \ end {Fälle}

, (dx, dy). , , .





In diesem kurzen Artikel können Sie das "Innere" affiner Transformationen etwas stärker spüren (wir hoffen es). Versuchen Sie nach dem Lesen, die Frage zu beantworten, die wir ganz am Anfang gestellt haben: "Sagen Sie uns, was affine Transformationen in einfachen Worten sind." Kannst du jetzt?





PS Übrigens wäre es schön, nicht unser Wort dafür zu nehmen und es selbst zu überprüfen - und die Matrizen M., die wir verwendet haben, sind definitiv nicht entartet? Vielleicht haben wir überhaupt etwas Illegales getan? ...







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