👌 ◾️ 🐠 Komplizierte Geometrie der Hin- und Rückfahrt 🌗 🥊 🤚🏿

Stellen Sie sich vor, die Erde hätte die Form eines Würfels. Wie finde ich dann den kürzesten Weg um die Welt?

Haben Sie sich jemals gefragt, wie das Leben aussehen würde, wenn die Erde keine Kugel wäre, sondern eine andere Form hätte? Wir halten den reibungslosen Ablauf unseres Planeten durch das Sonnensystem und die langsamen Sonnenuntergänge, die wir dank der Rotationssymmetrie der Erde genießen können, für selbstverständlich. Darüber hinaus können Sie anhand der sphärischen Erde den schnellsten Weg von Punkt A nach Punkt B bestimmen: Gehen Sie einfach in einem Kreis, der durch diese beiden Punkte verläuft und die Kugel in zwei Hälften schneidet. Wir verwenden diese kürzesten Pfade, die als geodätische Pfade bezeichnet werden, um Flugzeugrouten zu planen und Satellitenumlaufbahnen zu berechnen.

Aber was würde passieren, wenn wir in Kuba leben würden? Unsere Welt würde mehr rocken, Horizonte sind gekrümmt und der kürzeste Weg von Punkt A nach Punkt B ist schwerer zu finden. Sie verbringen vielleicht nicht viel Zeit damit, sich Ihr Leben auf einem Würfel vorzustellen, aber Mathematiker werden es tun: Sie untersuchen, wie unsere Reisen auf einer Vielzahl von Formen aussehen würden. Und die jüngste Lösung einer der grundlegenden Fragen zum Dodekaeder hat im Allgemeinen die Sicht auf das Objekt verändert, das seit Tausenden von Jahren vor unseren Augen steht.

Das Finden des kürzesten Wegs hin und her (von einem Punkt zurück zum gleichen Punkt um den Würfel) für einen bestimmten geometrischen Körper scheint eine einfache Aufgabe zu sein. Immerhin wirst du definitiv dorthin zurückkehren, wo du angefangen hast, oder?

Tatsächlich hängt es von der Form oder dem Körper ab, auf dem Sie gehen. Wenn dies eine Kugel ist, dann ja. (Und ja, wir lassen die Tatsache aus, dass die Erde keine ideale Kugel ist und ihre Oberfläche nicht ganz glatt ist.) Auf der Kugel wiederholen sich Pfade entlang einer geraden Linie "große Kreise", Geodäten, zum Beispiel der Äquator. Wenn Sie den Äquator umrunden, schließen Sie nach etwa 40.000 km einen vollen Kreis und kehren zu Ihrem Ausgangspunkt zurück.

In einer kubischen Welt sind geodätische Linien nicht so offensichtlich. Es ist einfach, auf einer Seite einen geraden Weg zu finden, da jede Seite flach ist. Aber wenn Sie durch die kubische Welt laufen würden, wie würden Sie weiter geradeaus gehen, wenn Sie den Rand erreichen?

Es gibt ein altes lustiges mathematisches Problem, das die Antwort auf unsere Frage veranschaulicht. Stellen Sie sich eine Ameise in einer Ecke eines Würfels vor, die in die gegenüberliegende Ecke gelangen möchte. Was ist der kürzeste Weg auf der Oberfläche eines Würfels von Punkt A nach Punkt B?

Stellen Sie sich die vielen verschiedenen Wege vor, die eine Ameise einschlagen könnte.

Aber welches ist das kürzeste? Es gibt einen genialen Weg, um das Problem zu lösen. Lassen Sie uns den Würfel platt machen!

Wenn der Würfel aus Papier besteht, können Sie ihn entlang der Kanten schneiden und das Blatt glätten, um dieses ungefaltete Muster zu erhalten.

In einer so flachen Welt ist es einfach, den kürzesten Weg von A nach B zu finden: Zeichnen Sie einfach eine gerade Linie zwischen ihnen.

Um zu sehen, wie die geodätische Linie in der Würfelwelt aussehen wird, setzen Sie den Würfel einfach zurück. Hier ist unsere Abkürzung.

Das „Ausrichten“ des Würfels funktioniert, weil jede Seite des Würfels flach ist, sodass nichts verzerrt wird, wenn wir den Körper entlang der Kanten entfalten. (Dieser Versuch, die Kugel zu "entfalten", funktioniert nicht, da wir die Kugel nicht abflachen können, ohne sie zu verzerren.)

Nachdem wir eine Vorstellung davon haben, wie Pfade in einer geraden Linie auf einem Würfel aussehen, kehren wir zu der Frage zurück, ob wir einem geraden Pfad folgen und wieder dort landen können, wo wir begonnen haben. Im Gegensatz zu einer Kugel auf einem Würfel führt uns nicht jeder gerade Weg zurück zum Anfang.

Solche Rundreisen sind aber möglich. Mit einem Trick! Bitte beachten Sie, dass die Ameise den oben angegebenen Pfad fortsetzen und dorthin zurückkehren kann, wo sie begonnen hat. Auf einem Würfel erzeugt ein voller Kreis einen Pfad, der eher wie ein Diamant aussieht.

Auf diesem Weg (hin und her) muss die Ameise einen anderen Scheitelpunkt (Punkt B) passieren, bevor sie zu ihrem Ausgangspunkt zurückkehrt. Dies ist der Haken: Jeder gerade Pfad, der am selben Scheitelpunkt beginnt und endet, muss durch einen anderen Scheitelpunkt des Würfels verlaufen.

Es stellt sich heraus, dass dies für vier der fünf platonischen Körper gilt. In einem Würfel, Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder muss jeder gerade Pfad, der am selben Scheitelpunkt beginnt und endet, durch einen anderen Scheitelpunkt entlang des Pfades verlaufen. Mathematiker haben dies vor fünf Jahren bewiesen, aber das Dodekaeder war nicht auf ihrer Liste. Wir werden etwas später darauf zurückkommen.

Um zu verstehen, warum diese Tatsache über die Geodäten für vier der fünf platonischen Körper gilt, werden wir die Tumbling-Methode verwenden und zur tetraedrischen Welt wechseln, wo diese Methode besser demonstriert werden kann.

Stellen Sie sich vor, Sie beginnen oben am Tetraeder und gehen in einer geraden Linie am Rand entlang. Platzieren Sie den Tetraeder so, dass der Pfad am unteren Rand beginnt.

Wenn wir auf eine Kante stoßen, drehen wir den Tetraeder so, dass unser Weg entlang der Fläche weitergeht, die sich als unten herausstellt:

Solche Rotationen ermöglichen es, unseren Weg auf die gleiche Weise zu verfolgen, wie wir es beim Entfalten eines Würfels tun würden:

Die Flugbahn von Rotationen oben repräsentieren diesen Pfad auf der Oberfläche des Tetraeders:

Die fünf Windungen des Tetraeders entsprechen den zusätzlichen fünf Flächen, die unsere Route kreuzt.

Jetzt können wir uns jeden Pfad auf der Oberfläche des Tetraeders als Pfad in diesem "rotierenden" Raum vorstellen. Definieren wir unseren Startpunkt A und sehen, wo er nach einigen Runden endet.

Wenn unser Weg Punkt A verlässt, fällt der Tetraeder auf die gegenüberliegende Seite. Dies hebt Punkt A vom Boden ab.

Scheitelpunkt A steigt vorübergehend in unserer rotierenden Welt auf. Wir geben normalerweise nicht die Position von Punkt A an, wenn wir unseren rotierenden Raum erstellen, aber hier könnte er erscheinen, wenn wir nach unten schauen.

Während unser Weg weitergeht, fällt der Tetraeder wieder. Er kann es in eine von zwei möglichen Richtungen tun, aber auf jeden Fall ist A wieder ganz unten.

Wenn wir den Tetraeder in alle möglichen Richtungen fallen lassen, erhalten wir einen Salto, der so aussieht:

Es stellt sich eine Art Gitter heraus, weil die gleichseitigen Dreiecksflächen des Tetraeders miteinander übereinstimmen.

Dieses Dreiecksgitter erzählt uns zwei interessante Dinge über unsere sich drehende Welt. Erstens sind alle Punkte, an denen die Eckpunkte des Tetraeders landen können, "Gitterpunkte" (im Diagramm gezeigt) oder Punkte mit ganzzahligen Koordinaten. Dies liegt daran, dass eine Einheit in unserem Koordinatensystem gleich der Länge einer Kante des Tetraeders ist.

Zweitens schauen Sie, wo A landen könnte. Die

Koordinaten von A sind immer gerade. Immer wenn A unten ist, kommt es nach zwei Drehungen dorthin zurück, sodass alle möglichen Landeplätze für A in Abständen von zwei Rippenlängen in jeder Drehrichtung platziert werden.

Nun wollen wir sehen, was dies über geodätische Linien aussagt. Denken Sie daran, dass ein Pfad in einem Tetraeder, der am Punkt A beginnt und endet, ein gerades Liniensegment im rotierenden Raum ist, das am Punkt A (0,0) beginnt und an einem anderen Punkt A endet. Und wenn der Start- und Endpunkt des Pfades fallen bei Single A zusammen, was wird in der Mitte des Pfades sein?

Selbst in unserem verwirrenden Koordinatensystem funktioniert die Standardformel zur Berechnung des Mittelpunkts eines Liniensegments immer noch, sodass wir seine Koordinaten basierend auf den Koordinaten der Endpunkte finden können.

Da beide Koordinaten des Startpunkts 0 und beide Koordinaten des Endpunkts gerade sind, sind die Koordinaten der Mitte ganze Zahlen. Das heißt, die Mitte ist einer der Punkte des Gitters, und wie oben erwähnt, bedeutet dies, dass sie dem Scheitelpunkt des Dreiecks im rotierenden Raum entspricht.

Zum Beispiel hat der Pfad von (0,0) nach (4,2) einen Mittelpunkt (2,1), dies ist der markierte Gitterpunkt in unserem Gitter.

Es stellt sich heraus, dass auf der Oberfläche des Tetraeders der Weg von A und zurück durch einen anderen Scheitelpunkt verlaufen muss.

Da jede mögliche „Landung“ für A gerade Koordinaten hat, entspricht der Mittelpunkt jedes geodätischen Pfades, der bei A beginnt und endet, einem Gitterpunkt. Dies beweist, dass jede geodätische Linie von A nach A auf der Oberfläche des Tetraeders durch einen anderen Scheitelpunkt verlaufen muss.

Diese einfache Argumentation wurde 2015 von den Mathematikern Diana Davis, Victor Dods, Cynthia Traub und Jed Young ausgearbeitet.

Sie verwendeten eine ähnliche, aber viel komplexere Methode, um dasselbe für einen Würfel zu beweisen. Im folgenden Jahr bestätigte Dmitry Fuks Ergebnisse für Oktaeder und Ikosaeder. Aus diesem Grund wissen wir, dass es für ein Tetraeder, einen Würfel, ein Oktaeder und ein Ikosaeder keine geraden Pfade gibt, die von einem Scheitelpunkt zurück zu sich selbst führen und nicht durch einen anderen Scheitelpunkt verlaufen würden.

Die Frage nach der Existenz solcher Pfade auf der Oberfläche des Dodekaeders blieb jedoch bis 2019 offen, als die Mathematiker Jayadev Atreya, David Avlikino und Patrick Hooper bewiesen, dass dies tatsächlich möglich war. Tatsächlich fanden sie unendlich viele gerade Pfade auf der Oberfläche des Dodekaeders, die am gleichen Scheitelpunkt beginnen und enden, ohne durch andere zu gehen.

Hier ist einer von ihnen, der auf einem Scan des Dodekaeders abgebildet ist und sich in Sichtweite versteckt.

Platonische Körper werden seit Tausenden von Jahren gemeinsam untersucht, weil sie so viel gemeinsam haben. Aber jetzt wissen wir etwas Neues über das Dodekaeder, und dies unterscheidet es deutlich von anderen Körpern.

Diese mysteriöse Entdeckung zeigt, dass es immer etwas zu lernen gibt, egal wie gut wir mathematische Objekte verstehen. Es ist wichtig zu bedenken, dass der Weg vom Problem zur Lösung nicht immer einfach sein wird!

Aufgaben

1. Wenn die Kantenlänge eines Würfels 1 ist, was ist der kürzeste Weg für eine Ameise von einem Scheitelpunkt zum anderen?

2. Erklären Sie, warum das folgende Diagramm kein Rotationspfad auf einem Würfel sein kann.

3. Eine der Schwierigkeiten beim "Drehen" eines Würfels besteht darin, dass Punkt A keine eindeutige Endposition aufweist, die der Endposition des Würfels zugeordnet ist. Selbst wenn sich der Würfel an derselben Stelle befindet und sich entlang eines roten oder blauen Pfades dreht, befindet sich Punkt A an verschiedenen Positionen. Bestimmen Sie, wo A nach den Kurven entlang der roten und blauen Flugbahn sein wird.