Nach jahrhundertelanger Suche wurde eine genaue Lösung für das Problem einer gebundenen Ziege gefunden

Seit langem versuchen Mathematiker, das Problem einer an einen Zaun gebundenen Weideziege zu lösen. Bisher konnten sie jedoch nur grobe Lösungen anbieten.

Hier ist eine einfache Aufgabe für Sie . Stellen Sie sich eine Hecke in Form eines Kreises vor, in der sich ein genau bekanntes Weidegebiet befindet. Sie legen eine Ziege hinein und binden sie mit einem Seil an den Zaun. Wie lange brauchen Sie das Seil, damit die Ziege genau die Hälfte dieses Gebiets erreichen kann?



Es sieht aus wie eine High-School-Geometrie-Aufgabe - professionelle Mathematiker und Amateure haben jedoch über 270 Jahre lang in verschiedenen Formulierungen darüber nachgedacht. Einige Varianten dieses Problems wurden erfolgreich gelöst, aber das Rätsel um die Ziege innerhalb des Kreises hat uns nur vage und unvollständige Antworten gegeben.



Bis heute "wusste niemand die genaue Antwort auf die Grundfrage", sagte Mark Meyerson., ein Mathematiker der US Navy Academy. "Die Lösung war schon immer rau."



Im Jahr 2020 machte der deutsche Mathematiker Ingo Ullisch jedoch endlich Fortschritte . Er fand, wie man glaubt, die erste exakte Lösung für dieses Problem - obwohl es ziemlich umständlich und unverständlich aussieht.



"Dies ist der erste genaue Ausdruck der Seillänge, den ich kenne", sagte Michael Harrison , Mathematiker an der Carnegie Mellon University. "Dies ist definitiv ein Durchbruch."



Ullisch räumt ein, dass seine Entscheidung keine Lehrbücher streichen oder mathematische Revolutionen vorantreiben wird. Diese Aufgabe ist isoliert. "Es hängt nicht mit anderen Problemen zusammen und ist in keiner mathematischen Theorie enthalten." Es besteht jedoch immer die Möglichkeit, dass ein solches Rätsel neue mathematische Ideen hervorbringt oder Forschern hilft, andere Ansätze für andere Probleme zu finden.

In und um den Hof

Das erste Problem dieser Art wurde 1748 in der Londoner Zeitschrift The Ladies Diary veröffentlicht: Oder The Woman's Almanack (Lady's Diary oder Women's Almanac). Das Magazin versprach "neue Verbesserungen in den Künsten und Wissenschaften und viele lustige kleine Dinge".



Das ursprüngliche Szenario zeigt ein Pferd, das an einer Leine in einem Park weidet. Bei der Aufgabe wurde das Pferd außerhalb des Zauns gefesselt. Wenn die Länge des Seils dem Umfang des Zauns entspricht, auf welcher Fläche kann das Pferd grasen? Später wurde diese Aufgabe „draußen“ genannt, weil sich die Weide darin nicht innerhalb des Kreises befand, sondern draußen.







Die Antwort auf das Rätsel erschien in der Ausgabe von 1749. Die Antwort wurde von einem "Mr. Heath" zusammengestellt, der sich unter anderem auf das Nachschlagewerk "Research and Logarithm Tables" stützte. Er gab die Antwort: 76.257,86 Quadratmeter auf 160 Meter Seil. Und dies war eine grobe Antwort, keine genaue Berechnung. Lassen Sie uns anhand eines Beispiels erklären: Sie können eine ungefähre numerische Antwort auf die Gleichung x ² - 2 = 0, x = 1,4142 schreiben, aber dies ist nicht so genau oder zufriedenstellend wie x = √2.



Das Problem tauchte 1894 in der ersten Ausgabe des American Mathematical Monthly erneut auf, die für den Fall überarbeitet wurde, dass das Tier im Zaun weidet. Diese Art von Aufgabe nennt man "intern" und im Durchschnitt sind sie schwieriger als extern, erklärte Ullisch. Im externen Problem können Sie vom Radius des Kreises und der Länge des Seils ausgehen und dann die Fläche berechnen. Es kann durch Integrale gelöst werden.



"Es ist viel schwieriger, es in die entgegengesetzte Richtung zu lösen, beginnend mit einem bestimmten Bereich und zu fragen, welche Eingaben dazu führen", sagte Ullisch.



In den folgenden Jahrzehnten veröffentlichte der Monat verschiedene Versionen des internen Problems, wobei hauptsächlich Pferde (und in mindestens einem Fall ein Maultier) anstelle von Ziegen beteiligt waren. Es gab runde, quadratische und elliptische Zäune. In den 1960er Jahren verdrängten Ziegen aus mysteriösen Gründen allmählich Pferde in der Literatur. Trotz der Tatsache, dass Ziegen laut dem Mathematiker Marshall Fraser "zu unabhängig sind, um an der Leine zu leben".

Ziegen in den höheren Dimensionen

Im Jahr 1984 wurde Fraser kreativ, indem er das Problem von einem flachen pastoralen Thema in eine komplexere Landschaft übertrug. Er berechnete, wie lange ein Seil benötigt würde, damit eine Ziege in genau der Hälfte des Volumens einer n-dimensionalen Kugel weidet, wenn n gegen unendlich geht. Meyerson fand einen logischen Fehler in seiner Argumentation und korrigierte ihn später im selben Jahr , kam jedoch zu dem gleichen Ergebnis. Wenn n gegen unendlich geht, tendiert das Verhältnis der Länge des Seils zum Radius der Kugel zu √2.



Meyerson bemerkte, dass diese scheinbar komplexere Art der Beschreibung des Problems in einem mehrdimensionalen Raum anstelle eines Feldes mit Gras es tatsächlich einfacher machte, eine Lösung zu finden. "In einer unendlichen Anzahl von Dimensionen haben wir eine genaue Antwort, und in zwei Dimensionen gibt es keine so klare Lösung."





Es gibt zwei Arten von Problemen für eine grasende Ziege. Beide sind mit einer Ziege verbunden, die an einen runden Zaun gebunden ist. In der internen Version wird nach der Länge des Seils gefragt, durch das genau die Hälfte des umschlossenen Bereichs zugänglich ist. Draußen wird gefragt, zu welchem ​​Bereich die Ziege Zugang hat, wenn man die Länge des Seils und den Radius des Zauns berücksichtigt (auf dem Bild entspricht die Länge des Seils dem Umfang des Zauns).



1998 erweiterte Michael Hoffman, ein weiterer Mathematiker an der US Naval Academy, das Problem in eine andere Richtung, als er in einer Newsgroup auf ein Beispiel für ein äußeres Problem stieß. In dieser Version war es notwendig, die Fläche zu schätzen, die einem Bullen zur Verfügung steht, der an der Außenseite eines kreisförmigen Silos befestigt ist. Das Problem interessierte Hoffman und er beschloss, es nicht nur auf einen Kreis zu verallgemeinern, sondern auf jede glatte konvexe Kurve, einschließlich Ellipsen und sogar nicht geschlossener Kurven.



"Wenn ein Mathematiker mit einer Problemstellung für einen einfachen Fall konfrontiert wird, wird er versuchen, herauszufinden, wie sie verallgemeinert werden kann", sagte Hoffman.



Hoffman betrachtete den Fall, in dem ein Kabelbaum der Länge L kleiner oder gleich der halben Länge der Kurve ist. Zuerst zeichnete er eine Tangente, an der das Seil gebunden ist. Ein Bulle kann im Halbkreis mit einer Fläche von πL ² grasen / 2 durch eine Tangente begrenzt. Hoffman berechnete dann die genaue Fläche zwischen der Tangente und der Kurve durch ein Integral.



Später entwickelten Graham Jameson , Mathematiker an der University of Lancaster, und sein Sohn Nicholas eine detaillierte Lösung für ein internes Problem in drei Dimensionen. Sie wählten diesen Anlass, weil er weniger beliebt war. Da sich Ziegen nicht so leicht in drei Dimensionen bewegen können, nannte der Jameson diese Aufgabe in einer Zeitung von 2017 das „Vogelproblem“ . Es klingt so: Wenn Sie einen Vogel an einen kugelförmigen Käfig binden, wie lang sollte das Seil sein, um seine Bewegung auf genau die Hälfte seines Volumens zu beschränken?



"Das Problem in drei Dimensionen ist tatsächlich einfacher zu lösen als in zwei", sagte Jameson Sr. Infolgedessen fand das Paar die genaue Lösung. Da die mathematische Form der Antwort nach Jamesons Worten "genau, aber schrecklich" war und unerfahrene Forscher abschrecken konnte, entwickelten sie auch eine grobe Berechnungsmethode, die die Länge des Seils quantifiziert, das "Vogelliebhaber genießen werden".

Hol die Ziege

Die genaue Lösung des zweidimensionalen Problems in der Formulierung von 1894 entging jedoch den Mathematikern - bis zum Erscheinen von Ullischs Werk im Jahr 2020. Ullish hörte von dieser Aufgabe zum ersten Mal 2001 von einem Verwandten, als er noch ein Kind war. Seit 2017 arbeitet er daran und promovierte an der Wilhelm-Universität Westfalen in Münster. Er beschloss, einen neuen Ansatz zu versuchen.



Zu diesem Zeitpunkt war bekannt, dass das Ziegenproblem auf eine einzige transzendentale Gleichung reduziert werden konnte , die per Definition trigonometrische Begriffe wie Sinus und Cosinus enthält. Dies könnte zu einem Problem führen, da viele transzendentale Gleichungen nicht gelöst werden können. Zum Beispiel hat die Gleichung x = cos (x) keine exakten Lösungen.





Ingo Ullish



Ullish formulierte das Problem jedoch so, dass er sich eine konformere transzendentale Gleichung lieferte: sin (β) - β cos (β) - π / 2 = 0. Und obwohl es auch unzugänglich erscheinen mag, erkannte er, dass es mit einem Komplex angegangen werden kann Analyse - ein Zweig der Mathematik, der Analysewerkzeuge auf Gleichungen mit komplexen Zahlen anwendet. Umfassende Analysen gibt es schon seit Jahrhunderten, aber Ullish war, soweit er weiß, der erste, der diesen Ansatz für hungrige Ziegen verfolgte.



Mit dieser Strategie war er in der Lage, seine transzendentale Gleichung in einen äquivalenten Ausdruck für die Länge des Seils umzuwandeln, der es der Ziege ermöglichen würde, auf der Hälfte der begrenzten Fläche zu grasen. Das heißt, er beantwortete die Frage schließlich mit präzisen mathematischen Formeln.





Die Lösung des Problems wird in Form des Kosinus des Verhältnisses zweier krummliniger Integrale angegeben (Formel aus Wikipedia).



Leider gibt es einen Haken. Ullischs Lösung ist kein einfacher Ausdruck wie die Quadratwurzel von 2. Sie ist so komplex wie das Verhältnis zweier krummliniger Integrale, gemischt mit verschiedenen trigonometrischen Funktionen. Aus praktischer Sicht sagt es Ihnen nicht genau, wie lang eine Ziegenleine sein sollte. Um eine Antwort zu erhalten, die für die Landwirtschaft gilt, müssen Sie noch einige grobe Berechnungen durchführen.



Aber Ullish hält die genaue Lösung immer noch für wertvoll, auch wenn sie nicht so schön und einfach ist. "Wenn wir nur numerische Werte oder Näherungen verwenden, werden wir das Wesen der Art der Lösung nicht verstehen", sagte er. "Die Formel gibt uns ein Verständnis dafür, wie die Lösung abgeleitet wird."

Gib die Ziege nicht auf

Ullisch hat die grasende Ziege vorerst beiseite gelegt, da er nicht sicher ist, wohin er als nächstes gehen soll. Aber andere Mathematiker entwickeln bereits ihre eigenen Ideen. Harrison bereitet beispielsweise ein Papier für die Veröffentlichung im Mathematics Magazine vor, in dem er die Eigenschaften einer Kugel untersucht, um sich einer dreidimensionalen Verallgemeinerung des Ziegenproblems zu nähern.



"In der Mathematik ist es oft nützlich, neue Wege zu finden, um eine Antwort zu erhalten - selbst für Probleme, die bereits gelöst wurden", bemerkte Meyerson, "da es möglicherweise möglich ist, all dies für die Verwendung in anderen Problemen zu verallgemeinern."



Deshalb haben Mathematiker so viel Tinte für imaginäre Tiere ausgegeben. "Mein Instinkt sagt uns, dass die Arbeit an dem Problem der grasenden Ziegen uns keine Durchbrüche bringen wird", sagte Harrison, "aber Sie können es nicht sicher wissen. Neue Mathematik kann von überall her kommen. "



Hoffman ist optimistischer. Ullischs transzendentale Gleichung hängt mit den transzendentalen Gleichungen zusammen, die Hoffman in einer Arbeit von 2017 untersucht hat. Er wiederum interessierte sich für sie dank der Arbeit von 1953, die konventionelle Methoden in einem neuen Licht zeigte. Dieser Ansatz erinnert ihn daran, wie Ullisch bekannte Methoden in der komplexen Analyse auf transzendentale Gleichungen unter neuen Bedingungen anwendete - in diesem Fall auf das Problem der Progosen.



"Die Menschen, die grundlegende Durchbrüche in der Mathematik erzielen, sind nicht für alle Fortschritte verantwortlich", sagte Hoffman. "Manchmal liegt es daran, dass jemand klassische Ansätze studiert und in ihnen neue Methoden zur Lösung des Puzzles findet, die letztendlich zu neuen Ergebnissen führen können."