Es gibt verschiedene Methoden, um die Wurzeln einer Polynomgleichung 4. Grades zu finden.
Sie sind jedoch nicht sehr praktisch zum Lösen von Gleichungen mit Koeffizienten, die Ausdrücke mit Parametern sind.
1. Formel zur Lösung einer Gleichung vom Grad 4
Betrachten Sie eine Gleichung 4. Grades, deren Wurzelsumme gleich Null ist. Koeffizienten können real oder komplex sein.
Das Produkt der nächsten beiden Quadrate ist identisch mit der betrachteten Gleichung 4. Grades.
Der R-Wert ist die Lösung der folgenden kubischen Gleichung.
Fast dieselbe Gleichung tritt auf, wenn eine Gleichung 4. Grades durch Zerlegung in die Differenz perfekter Quadrate gelöst wird. Wir werden diese kubische Gleichung als Hilfsgleichung bezeichnen.
Berechnen wir das Produkt aus zwei neuen Quadraten.
Das gleiche, jedoch in Form von Koeffizienten bei Potenzen von x (in absteigender Reihenfolge der Potenzen).
Vereinfachen wir die Ausdrücke für die Koeffizienten bei der zweiten und ersten Potenz von x.
Der obige Ausdruck gilt für den ersten Grad von x.
Als Ergebnis erhalten wir k1.
Der obige Ausdruck gilt für die zweite Potenz von x.
Oder
wenn wir den Ausdruck für R ^ 3 einsetzen, erhalten wir
Or k2.
Neu ist also identisch mit der Gleichung 4. Grades, deren Wurzelsumme gleich Null ist.
Das Problem mit der kubischen Hilfsgleichung bleibt bestehen.
Natürlich können traditionelle Lösungsmethoden verwendet werden. Dann ist es jedoch notwendig, die Gleichung in eine kanonische Form umzuwandeln und drei Lösungen in Abhängigkeit von den Werten der Koeffizienten getrennt zu betrachten. Dies ist nicht immer praktisch für Koeffizienten, die Ausdrücke mit Parametern sind.
2. Lösung der kubischen Gleichung nach der Chirnhausen-Transformationsmethode
Betrachten Sie die Lösung der kubischen Gleichung durch die nicht sehr verbreitete Chirnhausen-Transformationsmethode.
Also lösen wir die ursprüngliche Gleichung
nach der Chirnhausen-Methode.
Das Wesentliche der Methode besteht in den folgenden Transformationen.
1. Die Gleichung für y wird eingeführt.
2. Beide Seiten der Gleichheit von Punkt 1 werden mit x multipliziert.
Dann wird der Ausdruck für x ^ 3 durch den
Ausdruck ersetzt
Im Allgemeinen sind die in Abschnitt 2 beschriebenen Transformationen nicht identisch. Wenn wir jedoch nur die Werte von x als interessant betrachten, die die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind, können diese Transformationen als quasi identisch angesehen werden. Und dann wird y durch einen Ausdruck dargestellt, der den Wurzeln der ursprünglichen Gleichung entspricht.
3. Für eine kubische Gleichung wird die Operation in Punkt 2 noch einmal ausgeführt. Als Ergebnis wird ein System von 3 Gleichungen in x erhalten, das drei Lösungen ungleich Null aufweist, die den Wurzeln der ursprünglichen Gleichung entsprechen. Aus den Koeffizienten x bilden wir die Matrix
4. Finden Sie die Determinante der Matrix, die durch einen kubischen Ausdruck in y dargestellt wird.
Wir berechnen die Werte, die die Gleichheit der Determinante mit Null gewährleisten.
5. In der Gleichung für y gibt es zwei Parameter P und Q. Berechnen wir sie so, dass die Koeffizienten beim zweiten und ersten Grad von y gleich Null sind.
Jedes P
, wobei
6. Als Ergebnis haben wir eine Gleichung mit drei Mehrfachwurzeln für y
7. Es bleibt eine quadratische Gleichung mit bekanntem y, P, Q zu lösen.
Eine der Lösungen ist eine Lösung für die ursprüngliche Gleichung.
3. Parameter zur Lösung der kubischen Hilfsgleichung
Für bestimmte Werte der Koeffizienten sieht nicht alles so beängstigend aus.
Beachten Sie, dass für die Formel zum Lösen der Gleichung 4. Grades nur eine Wurzel R der kubischen Hilfsgleichung erforderlich ist.
Für spezifische Koeffizienten der Hilfsgleichung gilt:
Wenn wir die Formel zum Lösen einer Gleichung 4. Grades verwenden, muss auf "Methode ftvmetrics" verwiesen werden.
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