„Ich habe kürzlich angefangen, mit Gnuplot zu experimentieren und schnell eine interessante Entdeckung gemacht. Ich habe alle Primzahlen unter 1 Million in Polarkoordinaten aufgetragen, also für jede Primzahl p (r, θ) = (p, p). Ich habe nichts Besonderes erwartet, ich habe es einfach versucht. Die Ergebnisse sind beeindruckend. "
Wenn Sie sich die Primzahlen unter 30.000 ansehen, sehen Sie ein Spiralmuster.
Zum Vergleich - das gleiche Diagramm mit überlagerten Zahlen in Vielfachen von 3 und 7. Primzahlen werden in Gelb, Vielfache von 3 und 7 in Grün bzw. Rot hervorgehoben.
Was wirklich interessant ist, ist das Verhalten beim Erhöhen der Reichweite. Vielfache dieser Zahl scheinen sich im gleichen Muster bis ins Unendliche zu drehen, aber die Primzahlen beginnen, Strahlen in Gruppen von 3 oder 4 zu bilden.
Im Vergleich zu Vielfachen von 3 und 7:
? , ?
. , , .
(, θ) = (n, n), n∈N
Erstens können Sie mit Polarkoordinaten spielen und alle Punkte mit ganzzahligen Koordinaten betrachten: (1,1) (2,2) ...
Wir
erhalten die archimedische Spirale: Wenn wir alle Zahlen außer Primzahlen ausschließen, erhalten wir eine Spiralgalaxie mit Leerzeichen:
„Wegbewegen“ können wir siehe Strahlen in alle Richtungen gerichtet, meist in 4er-Gruppen:
Spiralen können gezählt werden, es gibt 20 davon:
A Strahlen 280:
Wenn wir alle Zahlen nehmen, nicht nur einfache, dann sind die Spiralen noch gleichmäßiger und es gibt 44:
Bei näherer Betrachtung, Wir haben 6 Spiralen:
Alle Zahlen, die Vielfache von 6 sind, bilden einen Zweig:
Der Rest der Spiralarme ist 6k + 1, 6k + 2 usw. Warum so? Weil 6 ungefähr gleich (volle Umdrehung) 2ℼ (6.28318530718) ist. Dieser kleine Unterschied erzeugt die Illusion einer einzelnen Kurve.
Wenn Sie nur die Primzahlen belassen, gibt es nur zwei Spiralen (6k + 1 und 6k + 5):
6 - fast ein voller Kreis, 44 - eine noch genauere Annäherung (44 / 2ℼ ≈ 7 volle Kreise)
Nur für Primzahlen gibt es 20 Ärmel (44k) +1, 44k + 3, 44k + 5 ...). Eulers Funktion φ (44) = 20.
710 / 2ℼ ≈ 113. (113.00000959)
Bei Primzahlen gibt es Lücken:
Je weiter wir uns entfernen, desto deutlicher wird die Krümmung der gesamten Struktur sichtbar.
710 = 71 * 5 * 2. Dies erklärt die Gruppierung von 4 Strahlen (5) und den "gebrochenen Zähnen des Kamms" (71):
Eulers Funktion φ (710) = 280.
Nach dem Satz von Dirichlet sind die Primzahlen gleichmäßig über die Ärmel verteilt.
Fazit
Wenn Sie mit der Visualisierung spielen, können Sie auf a) das Dirichlet-Prinzip stoßen, b) die Zahl ℼ (und die fortgesetzten Brüche) approximieren, c) die Euler-Funktion erreichen.
Die Spiralform ist ein Artefakt, das mit einer geraden Anzahl von übereinstimmenden Bogenmaß verbunden ist.
Film mit russischer Sprachausgabe:
PS
Weitere Arbeiten zu Primzahlen:
- Begrenzte Lücken zwischen Primzahlen . (Von Yitang Zhang, 2014)
- Primzahlen in Tupeln I (Von DANIEL A. GOLDSTON, JÁNOS PINTZ und CEM Y. YILDIRIM, 2009)
Fortsetzung der Fraktionen von Savvateev:
Alexey Savvateev "Alles über das Schreiben von Zahlen":