Einige mathematische Probleme sind unlösbar, und das ist keine schlechte Sache

Konstruieren Sie ein konvexes Achteck mit vier rechten Winkeln.



Wahrscheinlich sagt die Tatsache, dass ich solche Aufgaben gebe, viel über mich als Lehrer aus. Ich beobachte, wie Schüler versuchen, die rechten Winkel gleichmäßig auszurichten. Wenn sie versagen, versuchen sie, rechte Winkel zu verteilen. Andernfalls schlagen sie sie zufällig in das Polygon ein. Das Rasseln ihres Gehirns während der Gedankenanstrengung ist Musik für die Ohren des Lehrers.



Dann werden sie misstrauisch und stellen Fragen. „Du hast rechte Winkel erwähnt. Vielleicht meinten Sie wirklich drei Ecken? “,„ Sie meinten definitiv ein konvexes Polygon? “,„ Vier rechte Winkel bilden tatsächlich ein Rechteck. Wie können wir vier weitere Seiten im Achteck bekommen? " Ich höre aufmerksam zu, nicke und bestätige ihre Vermutungen.



Schließlich stellt jemand eine Frage, die niemand zu stellen wagte, die Frage, auf die ich gewartet habe: "Hey, ist das überhaupt möglich?"



Diese Frage kann Ihre Denkweise in der Mathematik verändern. Diejenigen, die eng über bestimmte Bedingungen nachgedacht haben, müssen jetzt breiter darüber nachdenken, wie diese Bedingungen zusammenpassen. Diejenigen, die innerhalb des Systems arbeiten, müssen einen Schritt zurücktreten und das System selbst studieren. Im Laufe der Geschichte der Mathematik wurde diese Frage oft gestellt. Sie hat diejenigen verwirrt, die das Problem der Quadratur eines Kreises gelöst haben , um die Stadt Königsberg zu umgehen . Und diese Frage ermöglicht es uns zu formulieren, was Mathematik ist und wie wir sie verstehen.



Das Finden eines Achtecks ​​mit bestimmten Eigenschaften unterscheidet sich beispielsweise stark von der Aufgabe, zu demonstrieren, dass ein solches Achteck nicht existieren kann. Wenn wir mit verschiedenen Achtecken experimentieren, stoßen wir möglicherweise auf eines mit vier rechten Winkeln.









Dies ist kein Beispiel. Tatsächlich hat dieses Achteck keine vier rechten Winkel.



Glück spielt jedoch keine Rolle, um zu beweisen, dass ein solches Achteck nicht existieren kann. Es erfordert tiefes Wissen nicht nur über Polygone, sondern auch über die Mathematik selbst. Um die Unmöglichkeit zu erklären, müssen wir verstehen, dass die bloße Annahme der Existenz eines Objekts seine Existenz nicht beweist. Mathematische Definitionen, Eigenschaften und Theoreme stehen unter dem Druck ihrer Vernetzung. Beim Versuch, ein Achteck mit vier rechten Winkeln darzustellen, befinden wir uns innerhalb dieser miteinander verbundenen Regeln.



Aber um zu erkennen, dass ein Achteck unmöglich ist, müssen wir zurücktreten und das Gesamtbild betrachten. Welche mathematischen und geometrischen Prinzipien kann ein Achteck mit vier rechten Winkeln verletzen? Ein guter Anfang ist hier die Summe der Winkel eines Polygonsatzes.



Die Summe der Innenwinkel eines n- seitigen Polygons wird durch die Formel bestimmt:

S = ( n - 2) × 180º

Dies geschah, weil jedes n- seitige Polygon in ( n - 2) Dreiecke geschnitten werden kann , deren Summe der Innenwinkel jeweils 180 ° beträgt.



Im Fall eines Achtecks ​​bedeutet dies, dass die Summe seiner Innenwinkel (8 - 2) × 180º = 6 × 180º = 1080º ist. Wenn dann vier seiner Winkel gerade sind, dh jeder 90º, dann ist dies 4 × 90º = 360º der Gesamtwinkel. Dies bedeutet, dass für die verbleibenden vier Ecken des Achtecks ​​1080º - 360º = 720º verbleiben.



Dies bedeutet, dass der Durchschnitt für die vier verbleibenden Ecken sein sollte:

$$

$$\frac{720º}{4} = 180º$$

Die Innenwinkel eines konvexen Polygons müssen jedoch kleiner als 180 ° sein, was unmöglich ist. Ein konvexes Achteck mit vier rechten Winkeln kann nicht existieren.



Um die Unmöglichkeit auf diese Weise zu beweisen, muss man einen Schritt zurücktreten und sehen, wie verschiedene mathematische Regeln, beispielsweise die Formel für die Summe der Winkel eines Polygons und die Definition eines konvexen Polygons, unter gegenseitigem Druck existieren. Und da Unmöglichkeitsbeweise auf einer breiteren Argumentation über ein Regelwerk beruhen, gibt es oft mehrere Möglichkeiten, einen solchen Beweis zu konstruieren.



Kehren wir zu unserer vorherigen Beobachtung zurück, dass vier rechte Winkel ein Rechteck bilden.









Außenecken des Polygons.



Wenn das Achteck vier rechte Winkel hätte und nur um diese Ecken gegangen wäre, hätten wir einen vollen Kreis gebildet, als wären wir vollständig um das Rechteck herumgegangen. Dieser Gedanke führt uns zu einer Regel, die einen weiteren Beweis für die Unmöglichkeit liefert. Es ist bekannt, dass die Summe der Außenwinkel eines konvexen Polygons immer 360º beträgt. Da die äußere Ecke eines rechten Winkels auch ein rechter Winkel ist, machen unsere vier rechten Winkel die gesamten 360º der Summe der äußeren Winkel des Achtecks ​​aus. Das heißt, der Rest der vier Ecken hat nichts mehr übrig, und wir haben erneut festgestellt, dass ein solches Achteck unmöglich ist.



Etwas zu beweisen ist unmöglich ist ein mächtiges mathematisches Ereignis. Es verschiebt unsere Sichtweise, wir gehen von der Befolgung von Regeln zur Kontrolle von Regeln über. Und um die Regeln zu kontrollieren, müssen wir sie zuerst verstehen. Wir müssen nicht nur wissen, wie man sie anwendet, sondern auch Situationen, in denen sie nicht anwendbar sind. Und finden Sie auch Situationen, in denen Regeln miteinander in Konflikt stehen können. Bei der Untersuchung des Achtecks ​​haben wir die Beziehung zwischen Polygonen, Konvexität, rechten Winkeln und Winkelsummen identifiziert. Und dies unterstreicht, dass S = ( n - 2) × 180º nicht nur eine Formel ist: Es ist eine der Bedingungen in der Welt der widersprüchlichen Bedingungen.



Unmöglichkeitsbeweise können uns helfen, alle Bereiche der Mathematik besser zu verstehen. In der Schule beginnt der Unterricht in Wahrscheinlichkeitstheorie oft damit, viele imaginäre Münzen zu werfen. Ich lade die Schüler ein, eine Betrugsmünze zu erstellen, die dazu neigt, Kopf oder Zahl zu bilden. Diese hat die folgende Eigenschaft: Wenn Sie eine Münze zweimal werfen, sind die Ergebnisse der beiden Würfe eher unterschiedlich als gleich. Mit anderen Worten, Sie werfen eher Kopf und Schwanz als Kopf und Schwanz oder Schwanz und Schwanz.



Nach Experimenten und geistigen Fehlern stellen die Schüler eine interessante Hypothese auf: Unterschiedliche Ergebnisse sind niemals wahrscheinlicher als dieselben. Die Algebra zeigt dies und weist auf die zugrunde liegende Symmetrie hin.



Angenommen, die Münze wird in Richtung der Köpfe verschoben. Wir werden die Wahrscheinlichkeit nennen, Köpfe zu bekommen$$$\frac{1}{2} + k$wo $$$0 < k ≤ \frac{1}{2}$... Die Tatsache, dass$$$k > 0$stellt sicher, dass Köpfe mit größerer Wahrscheinlichkeit als Schwänze sind $$$\frac{1}{2} – k$da die Summe der beiden Wahrscheinlichkeiten 1 sein muss.



Wenn wir eine Münze zweimal werfen, ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Köpfe oder zwei Schwänze zu bekommen, gleich

$$

$$\left(\frac{1}{2}+k\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}-k\right)^{2}$$

Hier addieren wir die Wahrscheinlichkeit, zwei Köpfe zu bekommen (linke Seite), mit der Wahrscheinlichkeit, zwei Schwänze zu bekommen (rechte Seite). Mit Algebra können wir die Wahrscheinlichkeit vereinfachen, dass auf beiden Rollen das gleiche Ergebnis erzielt wird:

$$

$$\left(\frac{1}{2}+k\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}-k\right)^{2} = \frac{1}{4} + k + k^{2} + \frac{1}{4} – k + k^{2} = \frac{1}{2} + 2k^{2}$$

...

Soweit$$$k > 0$, Wir wissen das $$$\frac{1}{2} + 2k^2 > \frac{1}{2}$$, was bedeutet, dass die Würfe mit größerer Wahrscheinlichkeit die gleichen Ergebnisse erzielen. In der Tat sehen wir das auch wenn$$$k = 0$ (Die Münze ist nicht betrügerisch), ist die Wahrscheinlichkeit der gleichen Ergebnisse $$$\frac{1}{2}$, aufgrund dessen die Wahrscheinlichkeit unterschiedlicher Ergebnisse von Würfen auch ist $$$\frac{1}{2}$... Das gleiche Ergebnis wird niemals weniger wahrscheinlich sein als andere.



Wie im Fall des Polygonproblems sehen wir konkurrierende mathematische Drücke bei der Arbeit: Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit ändern, eine Seite der Münze zu erhalten, ändert sich die Wahrscheinlichkeit, die andere Seite zu erhalten, und diese Verbindung steuert den Raum der Möglichkeiten für das Ergebnis zweier Würfe. Wir haben diesen Druck ausgesetzt, indem wir versucht haben, das Unmögliche zu erreichen.



Jeder Bereich der Mathematik kann solchen Belastungen ausgesetzt werden. Versuchen Sie, sechs aufeinanderfolgende ganze Zahlen zu finden, die sich zu 342 addieren, und Ihre Beharrlichkeit führt Sie zu einem tieferen Verständnis der Parität. (Die Tatsache, dass aufeinanderfolgende ganze Zahlen abwechselnd gerade und ungerade werden, beeinflusst, wie ihre Summen sein können.) Wenn Sie ein kubisches Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten mit drei nicht reellen Wurzeln finden, lernen Sie, wie wichtig es ist, komplexe Zahlen zu konjugieren - Paare komplexer Zahlen, Produkt und Die Summe davon ist immer real. Und wenn Sie versuchen, eine nicht rechteckige Raute in einen Kreis einzuschreiben, werden Sie eine wichtige Eigenschaft zyklischer Vierecke entdecken - die gegenüberliegenden Ecken eines Vierecks, deren Eckpunkte auf einem Kreis liegen, müssen sich zu 180 Grad addieren.



Wenn wir uns dem Unmöglichen stellen, können wir die Grenzen unserer mathematischen Welten erkunden. Das Unmögliche an sich ist eine Art Verallgemeinerung, daher wäre es natürlich, die Verallgemeinerung fortzusetzen: Ein Achteck kann nicht vier rechte Winkel haben, aber was ist mit einem Zehneck? Wie wäre es mit einem konvexen Polygon mit n > 4 Seiten? Fragen wie diese stoßen an die Grenzen unserer mathematischen Welten und vertiefen ihr Verständnis.



Wenn wir die Grenzen weiter verschieben, kann das Unmögliche sogar die Schaffung neuer mathematischer Welten inspirieren. Um die Unmöglichkeit zu beweisen, den Kreis zu quadrieren(Dieses Problem ist mindestens zweitausend Jahre alt), wird eine moderne Theorie der transzendentalen Zahlen benötigt, die nicht die Wurzeln ganzzahliger Polynome sein kann. Um das Problem der sieben Königsberg-Brücken zu lösen, verwandelte Euler Inseln und Brücken in Eckpunkte und Kanten und brachte so große Bereiche der Graphentheorie und Netzwerktheorie sowie viele ihrer Anwendungen hervor. Die Quadratwurzel von -1 führte zur Schaffung eines völlig neuen Arithmetiksystems. Und der Logiker Kurt Gödel hat die Mathematik für immer verändert und bewiesen, dass es unmöglich ist zu beweisen, dass alles, was wahr ist, wahr ist.



Wenn Sie das nächste Mal vor einem mathematischen Problem stehen, fragen Sie sich: "Ist das möglich?" Wenn Sie sich der Unmöglichkeit stellen, können Sie besser verstehen, was möglich ist. Auf diese Weise können Sie sogar neue Bereiche der Mathematik erstellen.

Übungen

1. Finden Sie die Fläche eines Dreiecks mit den Seitenlängen 46, 85 und 38.



2. Lassen Sie$$$f (x) = 2x^3 + bx^2 + cx + d$... Finde so ein Ganzes$$$b$, $$$c$ und $$$d$bei welchem $$$f \left(\frac{1}{4}\right) = 0$...



3. Suchen Sie ein vollständiges Quadrat, in dem alle seine konstituierenden Zahlen zur Menge {2, 3, 7, 8} gehören.

Antworten

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