Normalen und umgekehrte Transponierte, Teil 2: Konjugierte Räume

Im ersten Teil haben wir uns mit der externen Algebra befasst und festgestellt, dass normale Vektoren in 3D als Bivektoren interpretiert werden können. Um Bivektoren zu transformieren, benötigen Sie im allgemeinen Fall eine Matrix, die sich von der Matrix unterscheidet, die gewöhnliche Vektoren transformiert. Unter Verwendung der kanonischen Basis für Bivektoren haben wir herausgefunden, dass dies die adjungierte Matrix ist , die proportional zur inversen Transponierten ist. Diese Argumentation erklärte zumindest teilweise, warum die Normalen durch die invers transponierte Matrix transformiert werden.

Aber einige Probleme wurden unter den Teppich gekehrt.

Wir haben adjungierte Matrizen betrachtet, aber nicht gezeigt, wie sie sich auf den algebraischen Beweis beziehen, dass zur Transformation der Ebenengleichung$$$N\cdot x + d = 0$Eine invers transponierte Matrix wird benötigt. Die Proportionalität zwischen den Matrizen war gewissermaßen weit hergeholt.

Außerdem haben wir das gesehen $$$k$-Vektoren aus der externen Algebra liefern vektorgeometrische Objekte mit einer natürlichen Interpretation, in der sie Einheiten von Länge, Fläche und Volumen enthalten, die sich bei der Skalierung entsprechend ändern. Für Dichten - Einheiten in Länge, Fläche und Volumen - haben wir so etwas jedoch nicht gefunden.

In diesem Artikel werden wir uns ein anderes geometrisches Konzept ansehen, das zur Vervollständigung des Gemäldes benötigt wird. Durch die Zusammenführung dieses neuen Konzepts mit der bereits untersuchten äußeren Algebra werden die verbleibenden Fragen geklärt und gelöst.

Funktioniert als Vektoren

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! $$$f$ $$$g$ $$$h(x) = f(x) + g(x)$ $$$x$ . , : $$$g(x) = a\cdot f(x)$. , , .

: $$$X$ ( , ) $$$V$ — . $$$f: X \to V$ . , , "". .

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$$$V$, $$$\Bbb R^3$, $$$V$ $$$f: V \to \Bbb R$. , .

( : $$$\Bbb R$, . !)

(3D) (2D), / , . :



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— $$$V$ — , : ( ) . $$$V^*$. ( ) .

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, $$$\Bbb R^n$ $$$n$ . . , $$$f$ — $$$\Bbb R^3$ $$$v=(x, y, z)$ — , :

$$

$$\begin{aligned} f(v) &= f(x {\bf e_x} + y {\bf e_y} + z {\bf e_z}) \\ &= x \, f({\bf e_x}) + y \, f({\bf e_y}) + z \, f({\bf e_z}) \end{aligned}$$

, $$$(x, y, z)$ $$$\bigl(f({\bf e_x}), f({\bf e_y}), f({\bf e_z}) \bigr)$ — !

, : $$$V^*\times V \to \Bbb R$. .

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: $$$\langle w, v \rangle$. $$$w$ — $$$V^*$, $$$v$ — $$$V$. , $$$w$ $$$v$. , — , .

:

$$

$$\begin{aligned} \langle w, v \rangle &= \bigl\langle w, \, x {\bf e_x} + y {\bf e_y} + z {\bf e_z} \bigr\rangle \\ &= x \langle w, {\bf e_x} \rangle + y \langle w, {\bf e_y} \rangle + z \langle w, {\bf e_z} \rangle \end{aligned}$$

, " " , .

$$$V^*$ $$$V$. , $$$\langle w, {\bf e_x} \rangle, \langle w, {\bf e_y} \rangle, \langle w, {\bf e_z} \rangle$ $$$w$ , $$$x, y, z$ $$$V$. $$${\bf e_x^*}, {\bf e_y^*}, {\bf e_z^*}$ :

$$

$$\begin{aligned} \langle {\bf e_x^*}, {\bf e_x} \rangle &= 1 \\ \langle {\bf e_x^*}, {\bf e_y} \rangle &= 0 \\ \langle {\bf e_x^*}, {\bf e_z} \rangle &= 0 \end{aligned}$$

$$${\bf e_y^*}, {\bf e_z^*}$. :

$$

$$\langle {\bf e}_i^*, {\bf e}_j \rangle = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j, \\ 0 & \text{if } i \neq j, \end{cases} \quad i, j \in \{ {\bf x, y, z} \}$$

$$$V$.

, , , . , . , . .

:

$$$w = p {\bf e_x^*} + q {\bf e_y^*}$:

$$$w$ $$$v$ . $$$\langle w, v \rangle$ :

$$

$$\begin{aligned} \langle w, v \rangle &= \bigl\langle p {\bf e_x^*} + q {\bf e_y^*} + r {\bf e_z^*}, \; x {\bf e_x} + y {\bf e_y} + z {\bf e_z} \bigr\rangle \\ &= px + qy + rz \end{aligned}$$

, ( ), , , .

! "" ( ), ( 3D), ( ). !

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: $$$M$, $$$f(v)$, $$$g(v)$. $$$g$ $$$f$ :

$$

$$g(Mv)=f(v)$$

$$

$$g(v)=f(M^{-1}v)$$

, , .

, $$$M$. " " : $$$M$ .

, , . $$$a>0$, $$$v\mapsto av$. $$$f(v)\mapsto f({v\over a})$ .

, . $$$f(v) = \langle w, v \rangle$ $$$w$, $$$a$ ?

$$

$$\begin{aligned} \langle w, v \rangle \mapsto & \left\langle w, \frac{v}{a} \right\rangle \\ = & \left\langle \frac{w}{a}, v \right\rangle \end{aligned}$$

$$$1/a$ , , . , $$$w$ :

$$

$$w \mapsto \frac{w}{a}$$

! $$$a$ , $$$1/a$. "" "" . , , !

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"". , , - , . .

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. , $$$y$ $$$x$:

$$

$$M = \begin{bmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

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, ? $$$\bf e_x^*$. , $$$M$ $$$x$ — . $$$\bf e_x^*$?



$$$\bf e_x^*$ , ! , , $$$x$ , $$$\bf e_x^*$ "" , . , .

, $$$\bf e_x^*$ $$${\bf e_x^*} - \tfrac{1}{2}{\bf e_y^*}$. , , , ,

$$

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\tfrac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}$$

$$$M$!

, , . , , ( ), . $$$M$ :

$$

$$\det M = \text{ } \cdot \text{ }$$

$$

$$\frac{1}{\text{ }} = \frac{1}{\det M} \cdot \text{ }$$

.

$$

$$M^{-T} = \frac{1}{\det M} \cdot \text{}(M)$$

, , .

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, — 2D 3D. , , :

$$

$$\langle w, v \rangle = d$$

$$$w$ .

, $$$\langle w, v \rangle$ , $$$w \cdot v$. :

$$

$$w\cdot v = d$$

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, , .

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, . " " , , . , : , $$$B \wedge v = d$ $$$\langle w, v \rangle = d$ . : , — .

Dies ist alles, was ich über Transformationen normaler Vektoren erzählen wollte, aber ein paar weitere Fragen blieben in der Schwebe. Am Ende des ersten Teils stellte ich eine Frage zu negativen Skalierungsgraden. Jetzt haben wir minus den ersten Grad, aber was ist mit -2 und -3? Um dies zu verstehen, müssen wir äußere Algebra und duale Räume kombinieren, was wir im dritten Teil tun werden.