Es gibt eine so mysteriöse Tatsache bei linearen Transformationen: Einige von ihnen, nämlich ungleichmäßige Skalierung und Translation, unterscheiden aus irgendeinem Grund zwischen "gewöhnlichen" Vektoren und Normalen. Wenn wir einen "normalen" Vektor durch eine Matrix transformieren, müssen die Normalen aus irgendeinem Grund durch eine invers transponierte Matrix transformiert werden. Wie kann man das verstehen?

Mit Hilfe einfacher Berechnungen können Sie sicherstellen, dass die invers transponierte Matrix die Rechtwinkligkeit der Normalen zu ihren Tangentialebenen beibehält. Bis zu einem gewissen Grad ist dieser Beweis ausreichend, aber es fehlt eine tiefere und interessantere Geschichte über die Geometrie dahinter. Dies ist die Geschichte, die ich in den nächsten Artikeln erzählen möchte.

Einheiten und Skalierung

Hier ist ein kurzer Überblick, bevor wir uns mit dem Herzen des Artikels befassen. Betrachten Sie eine gute alte einheitliche Skalierung (ein Faktor über alle Achsen). Es ist schwierig, sich eine harmlosere Transformation vorzustellen - es ist nur die Multiplikation aller Vektoren mit derselben Zahl.

Bei näherer Betrachtung geschieht hier jedoch etwas nicht ganz Triviales. Einige Größen enthalten physikalische "Abmessungen" oder "Einheiten" wie Längen, Flächen und Volumen. Bei der Skalierung ändern sich diese Werte entsprechend ihren Einheiten. Einige Werte sind im Allgemeinen "dimensionslos" und ändern sich bei Skalierung nicht.

Lassen Sie uns als Beispiel alle möglichen Verhaltensweisen von Einheiten beim Skalieren im 3D-Raum auflisten. Wir bezeichnen den Skalierungsfaktor als $a>0$ . Dann:

Dimensionslose Zahlen ändern sich nicht, dh sie werden mit multipliziert $a^0$ .
Die Längen werden mit multipliziert $a$ .
Bereiche werden mit multipliziert $a^2$ .
$a^3$ .

: , :
$1\over{a}$ .
$1\over{a^2}$ .
$1\over{a^3}$ .

, , . 3D- , , , .

, ( ) , : , ( ), , - . , -3 3. , $k$ - , $a^k$ .

( $\pm 4$ , . , 3D.)

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, . , . , Geometric Algebra for Computer Science. .

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Bild

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$k$ -

, . $v=(x, y, z)$ , , $v$ :

v = x e_{x} + y e_{y} + z e_{z}

$v=x{\bf e_x}+y{\bf e_y}+z{\bf e_z}$

${\bf e_x}$ , ${\bf e_y}$ , ${\bf e_z}$ , $y$ , $z$ . $B$ :

B = p e_{y z} + q e_{z x} + r e_{x y}

$B=p{\bf e_{yz}}+q{\bf e_{zx}}+r{\bf e_{xy}}$

${\bf e_{xy}}$ — , $xy$ . ${\bf e_{yz}}$ ${\bf e_{zx}}$ . , , . " " $(p, q, r)$ , .

Bild

:

T = t e_{x y z}

$T=t{\bf e_{xyz}}$

, 3D , : "" $(xyz)$ . — ${\bf e_{xyz}}$ .

, : ( 1), ( 2) ( 3). 0. , , , $\wedge$ . , , :

e_{x} \land e_{y} = e_{x y}

${\bf e_x}\wedge{\bf e_y} = {\bf e_{xy}}$

, , . , ( ).

, "" . , , . , .

, , .

e_{x} \land e_{y} \land e_{z} = e_{x y} \land e_{z} = e_{x y z}

${\bf e_x}\wedge{\bf e_y}\wedge{\bf e_z} = {\bf e_{xy}}\wedge{\bf e_z}={\bf e_{xyz}}$

" ", , , .

, . . $a$ :

(a u) \land v = u \land (a v) = a (u \land v)

$(au)\wedge v=u\wedge (av) = a(u\wedge v)$

, . $u, v$ :

u \land v = - (v \land u)

$u\wedge v=-(v\wedge u)$

. -, : $v\wedge v=0$ . , . , $u\wedge v=0$ $u$ $v$ . , $u\wedge v\wedge w=0$ $u, v, w$ .

3 . , .

$k$ -

, , — , — . ?

, , - . $a>0$ , $a, a^2, a^3$ . , , .

, :

v \mapsto M v

$v\mapsto Mv$

[\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] \mapsto [\begin{matrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} a x \\ a y \\ . a z \end{matrix}] = a v

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax \\ ay \\. az \end{bmatrix} = av$

$v$ , $x, y, z$ , , $a$ , , .

? ( ), . . , , :

\begin{aligned} B & = u \land v \\ (u \land v) & \mapsto (M u) \land (M v) \\ = (a u) \land (a v) \\ = a^{2} (u \land v) \\ = a^{2} B \end{aligned}

$\begin{aligned} B &= u \wedge v \\ (u \wedge v) &\mapsto (Mu) \wedge (Mv) \\ &= (au) \wedge (av) \\ &= a^2 (u \wedge v) \\ &= a^2 B \end{aligned}$

! , $a$ , $a^2$ , .

, . , - $a^3$ . :

\begin{aligned} T & = (u \land v \land w) \\ (u \land v \land w) & \mapsto (M u) \land (M v) \land (M w) \\ = (a u) \land (a v) \land (a w) \\ = a^{3} (u \land v \land w) \\ = a^{3} T \end{aligned}

$\begin{aligned} T &= (u \wedge v \wedge w) \\ (u \wedge v \wedge w) &\mapsto (Mu) \wedge (Mv) \wedge (Mw) \\ &= (au) \wedge (av) \wedge (aw) \\ &= a^3 (u \wedge v \wedge w) \\ &= a^3 T \end{aligned}$

. , ?

, . 3 $x$ , . :

M = [\begin{matrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$M = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

: $x$ 3, $y, z$ . , : , $x$ , $yz$ — .

Bild

? . , "" . $x$ , . : , $yz$ , , , $x$ , .

Bild

, . , , :

B = p e_{y z} + q e_{z x} + r e_{x y}

$B = p \, {\bf e_{yz}} + q \, {\bf e_{zx}} + r \, {\bf e_{xy}}$

$M$ , . $M$ :

\begin{aligned} e_{y z} = e_{y} \land e_{z} & \mapsto (M e_{y}) \land (M e_{z}) = e_{y} \land e_{z} = e_{y z} \\ e_{z x} = e_{z} \land e_{x} & \mapsto (M e_{z}) \land (M e_{x}) = e_{z} \land 3 e_{x} = 3 e_{z x} \\ e_{x y} = e_{x} \land e_{y} & \mapsto (M e_{x}) \land (M e_{y}) = 3 e_{x} \land e_{y} = 3 e_{x y} \end{aligned}

$\begin{aligned} {\bf e_{yz}} = {\bf e_y} \wedge {\bf e_z} \quad &\mapsto \quad (M{\bf e_y}) \wedge (M{\bf e_z}) = {\bf e_y} \wedge {\bf e_z} = {\bf e_{yz}} \\ {\bf e_{zx}} = {\bf e_z} \wedge {\bf e_x} \quad &\mapsto \quad (M{\bf e_z}) \wedge (M{\bf e_x}) = {\bf e_z} \wedge 3{\bf e_x} = 3{\bf e_{zx}} \\ {\bf e_{xy}} = {\bf e_x} \wedge {\bf e_y} \quad &\mapsto \quad (M{\bf e_x}) \wedge (M{\bf e_y}) = 3{\bf e_x} \wedge {\bf e_y} = 3{\bf e_{xy}} \end{aligned}$

: $\bf e_{yz}$ , $\bf e_{zx}$ $\bf e_{xy}$ 3, $x$ .

, $M$ $B$ :

B \mapsto p e_{y z} + 3 q e_{z x} + 3 r e_{x y}

$B \mapsto p \, {\bf e_{yz}} + 3q \, {\bf e_{zx}} + 3r \, {\bf e_{xy}}$

, , $B$ , :

[\begin{matrix} p \\ q \\ r \end{matrix}] \mapsto [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}] [\begin{matrix} p \\ q \\ r \end{matrix}] = [\begin{matrix} p \\ 3 q \\ 3 r \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p \\ q \\ r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} p \\ 3q \\ 3r \end{bmatrix}$

, , . : $M$ .

: $M$ :

M^{- T} = [\begin{matrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$M^{-T} = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

, — $M$ .

$\det M$ . ( $M$ , $\det M$ ). $M$ . , , !

— , . .

$n\times n$ . $i$ - $j$ - :

$n\times n$ $i$ $j$ . $(n-1)\times (n-1)$ .
.
$(-1)^{i+j}$ , $i+j$ . !

$n\times n$ , .

, ? $p \, {\bf e_{yz}}$ . $yz$ , , $M$ $y$ $z$ . $1,1$ $M$ $2\times2$ , $M$ $y$ $z$ . , , $yz$ !

- , ${\bf e_{yz}}, {\bf e_{zx}}, {\bf e_{xy}}$ , , $M$ . , , $M$ . , , .

( , . ${\bf e_{xz}}$ ${\bf e_{zx}}$ . .)

, , $n$ $(n-1)$ - . , $k$ - $(n-k)$ - , $n-k$ .

. . : 3D. , $(p, q, r)$ — $(x, y, z)$ !

. , . , $B$ :

B \land v = 0

$B\wedge v=0$

$v$ , $B$ , . , , , $B$ $v$ .

\begin{matrix} (p e_{y z} + q e_{z x} + r e_{x y}) \land (x e_{x} + y e_{y} + z e_{z}) = 0 \\ (p x e_{y z x} + q y e_{z x y} + r z e_{x y z}) = 0 \\ (p x + q y + r z) e_{x y z} = 0 \\ p x + q y + r z = 0 \end{matrix}

$\begin{gathered} (p \, {\bf e_{yz}} + q \, {\bf e_{zx}} + r \, {\bf e_{xy}}) \wedge (x \, {\bf e_x} + y \, {\bf e_y} + z \, {\bf e_z}) = 0 \\ (px \, {\bf e_{yzx}} + qy \, {\bf e_{zxy}} + rz \, {\bf e_{xyz}}) = 0 \\ (px + qy + rz) {\bf e_{xyz}} = 0 \\ px + qy + rz = 0 \\ \end{gathered}$

. , , (, ${\bf e_{yz}} \wedge {\bf e_y} = 0$ ). $\bf e_{xyz}$ , , . . , $\bf e_{xyz}$ .

$(p, q, r)$ $(x, y, z)$ ! , $n\cdot v = 0$ $n=(p, q, r)$ .

, $(p, q, r)$ ${\bf e_{yz}}, {\bf e_{zx}}, {\bf e_{xy}}$ ${\bf e_x}, {\bf e_y}, {\bf e_z}$ . , . , . .

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: , , -3 3. , $k$ - $k$ 0 bis 3. Aber was ist mit Vektoreinheiten mit negativen Skalierungsgraden? Existieren sie? Wenn ja, was sind sie?

In der nächsten Folge werden wir noch tiefer graben und unsere geometrische Geschichte noch komplizierter machen.

Normalen und umgekehrte Transposition, Teil 1: Äußere Algebra

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