Das Gesetz der großen Zahlen und was es nicht ist

Es wurde viel über das Gesetz der großen Zahlen (zbch) geschrieben (zum Beispiel auf Englisch, hier und hier auch [1]). In diesem Text werde ich versuchen, darüber zu sprechen, was das Gesetz der großen Zahlen nicht ist - über die fehlerhafte Wahrnehmung dieses Gesetzes und die möglichen Fallstricke, die in mathematischen Formulierungen verborgen sind.



Beginnen wir mit dem Gesetz der großen Zahlen. Informell ist dies ein mathematischer Satz, dass "die Wahrscheinlichkeit von Abweichungen des Stichprobenmittelwerts von der mathematischen Erwartung gering ist" und dass "diese Wahrscheinlichkeit gegen Null tendiert, wenn die Stichprobe wächst". Ganz informellDer Satz besagt, dass wir mit einigermaßen sicher sein können, dass der Mittelwert unserer Stichprobe nahe genug am "realen" Mittelwert liegt, und beschreibt ihn daher gut. Natürlich wird angenommen, dass es ein traditionelles statistisches "Gepäck" gibt - unsere Beobachtungen aus der Stichprobe sollten das gleiche Phänomen beschreiben, sie sollten unabhängig sein, und der Gedanke, dass es eine "echte" Verteilung mit einem "echten" Mittelwert gibt, sollte uns nicht verursachen erhebliche Zweifel.



Wenn wir das Gesetz formulieren, sagen wir „Stichprobenmittelwert“, und alles, was mathematisch als solcher Durchschnitt geschrieben werden kann, fällt unter das Gesetz. Zum Beispiel kann der Anteil von Ereignissen an der Gesamtmasse als Durchschnitt aufgezeichnet werden - wir müssen nur das Vorhandensein eines Ereignisses als "1" und das Fehlen als "0" aufzeichnen. Infolgedessen ist der Durchschnitt gleich der Frequenz und die Frequenz sollte nahe am theoretischen Durchschnitt liegen. Aus diesem Grund erwarten wir, dass der Prozentsatz der Köpfe beim Werfen einer perfekten Münze nahe bei ½ liegt.



Betrachten Sie nun die Fallen und Missverständnisse über dieses Gesetz.



Erstens ist der ZBCH nicht immer korrekt. Dies ist nur ein mathematischer Satz mit "Eingaben" - Annahmen. Wenn die Annahmen falsch sind, muss das Gesetz nicht umgesetzt werden. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn die Beobachtungen abhängig sind oder wenn keine Gewissheit besteht, dass der "reale" Mittelwert existiert, und natürlich, oder wenn sich das untersuchte Phänomen im Laufe der Zeit ändert und wir nicht sagen können, dass wir dieselbe Menge beobachten. In Wahrheit gilt der ZBCH in gewissem Umfang auch in diesen Fällen, beispielsweise für schwach korrelierte Beobachtungen oder sogar wenn sich der beobachtete Wert im Laufe der Zeit ändert. Um dies jedoch korrekt auf die unmittelbare Realität anzuwenden, ist ein gut ausgebildeter Fachmathematiker erforderlich.



Zweitens scheint es wahr zu sein, dass der ZBR behauptet, "der Stichprobenmittelwert liegt nahe am wahren Mittelwert". Eine solche Aussage bleibt jedoch unvollständig: Es ist notwendig, „mit hoher Wahrscheinlichkeit hinzuzufügen; und diese Wahrscheinlichkeit ist immer weniger als 100%. "



Drittens möchte ich den ZBP so formulieren, dass „der Stichprobenmittelwert mit unbegrenztem Stichprobenwachstum gegen den realen Mittelwert konvergiert“. Dies trifft jedoch nicht zu, da der Stichprobenmittelwert überhaupt nicht konvergiert, da er zufällig ist und dies für jede Stichprobengröße bleibt. Selbst wenn Sie beispielsweise eine symmetrische Münze millionenfach werfen, besteht dennoch die Möglichkeit, dass der Anteil der Köpfe weit von ½ oder sogar Null entfernt ist. In gewisser Weise besteht immer die Möglichkeit, etwas Außergewöhnliches zu erreichen. Wir müssen jedoch zugeben, dass unsere Intuition uns immer noch sagt, dass die ZBP eine Art Ähnlichkeit beschreiben sollte, und dies ist tatsächlich der Fall. Nur ist es nicht der Mittelwert, der "konvergiert", sondern die "Wahrscheinlichkeit der Abweichung des Stichprobenmittelwerts von seinem wahren Wert" und konvergiert gegen Null. Da diese Idee intuitiv sehr praktisch ist ("die Chancen, etwas Ungewöhnliches zu sehen, gehen gegen Null"),Mathematiker haben dafür eine spezielle Art der Konvergenz erfunden - "Konvergenz in der Wahrscheinlichkeit".



Viertens sagt der ZBH nichts darüber aus, wann der Stichprobenmittelwert nahe genug am theoretischen liegen kann. Das Gesetz der großen Zahlen postuliert nur die Existenz eines bestimmten Phänomens, es sagt nichts darüber aus, wann es angewendet werden kann. Es stellt sich heraus, dass das Gesetz der großen Zahlen die Schlüsselfrage aus praktischer Sicht nicht beantwortet: "Kann ich ZBN für meine Stichprobe der Größe n verwenden?" Andere Sätze liefern Antworten auf diese Fragen, beispielsweise der zentrale Grenzwertsatz. Es gibt eine Vorstellung davon, inwieweit der Stichprobenmittelwert von seinem wahren Wert abweichen kann.



Abschließend sollte die zentrale Rolle von ZBP in der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie erwähnt werden. Die Geschichte dieses Gesetzes begann, als Wissenschaftler bemerkten, dass sich die Häufigkeit einiger wiederkehrender Phänomene stabilisiert und sich nicht mehr signifikant ändert, wenn sich die Erfahrung oder Beobachtung wiederholt wiederholt. Auffallenderweise wurde diese "Frequenzstabilisierung" für völlig unabhängige Phänomene beobachtet - von Würfeln bis zu landwirtschaftlichen Erträgen, was auf die mögliche Existenz eines "Naturgesetzes" hinweist. Interessanterweise erwies sich dieses Naturgesetz als Teil der Mathematik und nicht als Teil der Mathematik, Chemie oder Biologie, wie dies normalerweise bei den Naturgesetzen der Fall ist.



[1] Veranschaulichung des Gesetzes über große Zahlen (und Konfidenzintervalle) Jeffrey D. Blume und Richard M. Royall