Zweiter Platz bei der Internationalen Mathematikolympiade 2020

Hurra!

Das Team russischer Schulkinder belegte den zweiten Platz!



Die Goldmedaillen gewannen Danila Demin aus Sotschi (36 Punkte) und Alexey Lvov aus Nowosibirsk (36 Punkte). Silber wurde von Ivan Gaidai-Turlov (25), Anton Sadovnichy (29) aus Moskau, Danil Sibgatullin (29) aus Moskau und Kasan und Maxim Turevsky (30) aus St. Petersburg geholt.



Der absolute Gewinner der Olympiade im Einzelwettbewerb war ein Schüler aus China, Jinmin Li, der die maximal möglichen 42 Punkte erzielte.



Ich habe kürzlich die Texte von Problemen veröffentlicht und einige davon wurden von den Lesern von Habr in den Kommentaren gelöst.



Unter dem Schnitt sind einige interessante Statistiken über die Ergebnisse der Olympiade .







Unsere Leute!

Teamergebnisse

China liegt an der Spitze. Der Abstand zwischen Russland und den Vereinigten Staaten beträgt 2 Punkte.







Es ist interessant, dass die Vereinigten Staaten einen Führer mit einem ausgesprochenen asiatischen Nachnamen und den Stellvertreter haben. Führer - mit einem ausgesprochenen ukrainischen Vor- und Nachnamen.

Einzelergebnisse

Chinesische Teilnehmer (1, 2, 3) mit großem Abstand. Vertreter vieler Länder erzielten 36 Punkte (4. Platz).







Der absolute Champion Jinmin Li aus Chongqing. Respekt.

Aufgaben

• PDF mit Aufgaben in Englisch
• PDF mit Aufgaben in Russisch

Problem 1

Innerhalb des konvexen viereckigen ABCD gibt es einen Punkt P, so dass die Gleichungen



∠PAD: ∠PBA: ∠DPA = 1: 2: 3 = ∠CBP: ∠BAP: ∠BPC gelten.



Man beweise, dass sich die folgenden drei geraden Linien an einem Punkt schneiden: die inneren Winkelhalbierenden der Winkel ∠ADP und ∠PCB und der Mittelpunkt senkrecht zum Segment AB.

Problem 2

Gegeben sind reelle Zahlen a, b, c, d, so dass a> b> c> d> 0 und a + b + c + d = 1.



Man beweise, dass



(a + 2b + 3c + 4d) a ^a b ^b c ^c d ^d <1.



Lösung ausnovoselov Hier

Problem 3

Es gibt 4n Kieselsteine ​​mit den Massen 1, 2, 3, ..., 4n . Jeder der Kieselsteine ​​ist in einer von n Farben gefärbt, und es gibt 4 Kieselsteine ​​jeder Farbe.



Beweisen Sie, dass Kieselsteine ​​in zwei Stapel mit gleichem Gesamtgewicht unterteilt werden können, sodass jeder Stapel zwei Kieselsteine ​​jeder Farbe enthält.



Entscheidung voncelen hier

Entscheidung vonnovoselov Hier

Problem 4

Eine ganze Zahl n> 1 ist gegeben . Es gibt n ² Standseilbahnen am Hang in unterschiedlichen Höhen. Jede der beiden Standseilbahnen A und B besitzt k Aufzüge. Jeder Aufzug führt regelmäßig einen direkten Transfer von einer der Stationen zu einer anderen höheren Station durch. Die k Übertragungen von Firma A beginnen an k verschiedenen Stationen, sie enden auch an k verschiedenen Stationen, mit einer Übertragung, die oben beginnt und oben endet. Die gleichen Bedingungen sind für Unternehmen B erfüllt. Wir werden sagen, dass zwei Stationen verbunden sindStandseilbahn, wenn Sie mit einem oder mehreren Transfers dieser Firma von der unteren zur oberen Station gelangen können (andere Bewegungen zwischen Stationen sind verboten). Finden Sie das kleinste k, für das bekanntermaßen zwei Stationen von beiden Unternehmen verbunden sind.

Problem 5

Es gibt n> 1 Karten, von denen jede eine positive ganze Zahl enthält.

Es stellte sich heraus, dass für zwei beliebige Karten das arithmetische Mittel der darauf geschriebenen Zahlen gleich dem geometrischen Mittel der auf die Karten eines bestimmten Satzes geschriebenen Zahlen eines bestimmten Satzes ist, der aus einer oder mehreren Karten besteht. Für welches n folgt, dass alle auf den Karten geschriebenen Zahlen gleich sind?



Entscheidung vonnovoselov Hier

Problem 6

Man beweise, dass es eine positive Konstante c gibt, für die die folgende Aussage gilt:

Sei S eine Menge von n> 1 Punkten der Ebene, in der der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten mindestens 1 beträgt. Dann gibt es eine Linie ℓ, die die Menge S so trennt, dass der Abstand von jedem Die Punkte S bis ℓ sind mindestens cn ^−1/3 .

(Die gerade Linie ℓ trennt die Menge der Punkte S, wenn sie ein Segment schneidet, dessen Enden zu S gehören.)



Bemerkung. Schwächere Ergebnisse mit cn ^-1/3 ersetzt durch cn ^-α können in Abhängigkeit von dem Wert der Konstanten geschätzt werden α> 1/3 .







Statistiken zur Lösung des 6. Problems. Die Chinesen zeigten sich hervorragend. Auch der Franzose Vladimir Ivanov erzielte gute Ergebnisse.