Mathematiker haben lange versucht, sich daran zu gewöhnen, dass einige Probleme im Prinzip nicht gelöst werden können.
Wir möchten sagen, dass alles möglich ist. In Jaster Nortons Buch "Cute and the Magic Booth" weigert sich der König, Milo zu sagen, dass sein Ziel unerreichbar ist, weil "viel möglich wird, wenn man nicht weiß, dass es unmöglich ist" [ obwohl dies die Worte anderer Charaktere im Buch sind / ca. übers. ]. Aber in der realen Welt sind einige Dinge wirklich unmöglich, und wir können es mit Mathematik beweisen.
Menschen verwenden den Begriff "unmöglich" auf viele verschiedene Arten. Er kann nur die unwahrscheinlichen Dinge beschreiben, wie das Auffinden von zwei identischen Kartenspielen. Es kann Aufgaben beschreiben, die aufgrund von Zeit-, Raum- oder Ressourcenmangel nahezu unmöglich sind, z. B. das manuelle Umschreiben der gesamten Kongressbibliothek. Geräte wie Perpetual Motion Machines sind physikalisch unmöglich, da ihre Existenz unserem Verständnis der Physik widersprechen würde.
Die mathematische Unmöglichkeit ist anders. Wir beginnen mit eindeutigen Annahmen und schließen aus mathematischen Überlegungen und Logik, dass einige Ergebnisse unmöglich sind. Keine Menge Glück, Ausdauer, Zeit oder Geschick machen die Aufgabe machbar. Die Geschichte der Mathematik ist voll von Beweisen der Unmöglichkeit. Viele davon gelten als die bemerkenswertesten Ergebnisse der Mathematik. Das war aber nicht immer so.
Die Strafe für den vielleicht allerersten Beweis der Unmöglichkeit war streng. Historiker glauben, dass im 5. Jahrhundert vor Christus. Hippasus von Metapont, ein Anhänger von Pythagoras, entdeckte, dass es unmöglich war, ein Liniensegment zu finden, das sowohl die Seitenlänge als auch die diagonale Länge eines regulären Fünfecks messen konnte. Heute sagen wir, dass die Länge der Diagonale eines regulären Fünfecks mit der Seitenlänge 1 der goldene Schnitt ist, ϕ = 1/2 (1 + √5) - ist eine irrationale Zahl. Die Entdeckung von Hippasus war eine Herausforderung für das pythagoreische Credo: "Alles ist Zahl". Legenden besagen daher, dass Hippasus entweder im Meer ertrunken oder einfach aus den Reihen der Pythagoräer vertrieben wurde.
Mehr als ein Jahrhundert später erhöhte Euklid die Linie und den Kreis als grundlegende Kurven der Geometrie. In der Folge zeichneten viele Generationen von Geometern alle möglichen Dinge - Winkel teilen, Senkrechte zeichnen usw. - nur mit Hilfe von Kompassen und einem Lineal. Bestimmte Strukturen, die einfach erschienen, verwirrten griechische Geometer, erlangten dadurch einen mythischen Status und verärgerten Mathematiker über 2000 Jahre lang. Dies sind die Probleme, einen beliebigen Winkel in drei Teile zu teilen, die Seite eines Würfels zu konstruieren, dessen Volumen doppelt so groß ist wie das Volumen des gegebenen Würfels, alle regulären Polygone zu konstruieren und auch ein Quadrat mit einer Fläche zu konstruieren, die der Fläche eines gegebenen Kreises entspricht.
Obwohl diese Probleme geometrischer Natur sind, ist der Beweis, dass sie nicht gelöst werden können, nicht. Neue Mathematik war erforderlich, um die Unmöglichkeit ihrer Lösung zu demonstrieren.
Im 17. Jahrhundert machte René Descartes eine grundlegende Entdeckung: Wenn wir uns nur auf Kompasse und ein Lineal beschränken, können wir keine Segmente beliebiger Länge zeichnen. Wenn wir mit einer Linie der Länge 1 beginnen, können wir nur Linien konstruieren, deren Länge durch ganze Zahlen, Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Quadratwurzel (wie der goldene Schnitt) ausgedrückt werden kann.
Daher besteht eine der Strategien, um einen Beweis für die Unmöglichkeit der Lösung eines geometrischen Problems zu finden - das heißt, dass ein bestimmtes Objekt nicht konstruiert werden kann - darin, zu zeigen, dass die Länge eines bestimmten Segments der endgültigen Figur nicht auf diese Weise ausgedrückt werden kann. Um dies konsequent zu zeigen, war jedoch die damals aufkommende Algebra erforderlich.
Zwei Jahrhunderte später benutzte Descartes 'Landsmann Pierre Laurent Vanzel Polynome (Summen von Koeffizienten und Variablen, die zu einer Potenz erhoben wurden) und ihre Wurzeln (Variablen, die das Polynom gleich Null machen), um diese klassischen Probleme anzugreifen. Bei dem Problem der Verdoppelung eines Würfels muss beispielsweise die Seite eines Würfels mit einem Volumen, das doppelt so groß ist wie das eines Einheitswürfels, gleich sein . Dies ist die Wurzel des Polynoms x3-2, weil. 1837 bewies Wanzel, dass für die Konstruktion eines Segments mit einem Kompass und einem Lineal seine Länge die Wurzel eines Polynoms sein muss, das nicht faktorisiert werden kann und dessen Potenz (die höchste Potenz der Variablen) eine Potenz von zwei ist. Zum Beispiel ist der goldene Schnitt die Wurzel des Polynoms zweiten Grades x2- x - 1. Aber x3-2ist also ein Polynom dritten Grades
kann nicht gebaut werden. Also kam Wanzel zu dem Schluss, dass es unmöglich ist, den Würfel zu verdoppeln. In ähnlicher Weise bewies er, dass es unmöglich ist, mit klassischen Werkzeugen einen Winkel zu schneiden oder bestimmte reguläre Polygone zu konstruieren - zum Beispiel ein siebenseitiges. Interessanterweise wurden alle drei Beweise für Unmöglichkeiten auf derselben Seite veröffentlicht. Da Isaac Newton und Albert Einstein ihreAnnus Mirabilis(Jahre der Wunder) hatten, kann diese Situation Pagina Mirabilis genannt werden - eine Seite der Wunder. Um die Unmöglichkeit des verbleibenden Problems zu beweisen und den Kreis zu quadrieren, war etwas Neues erforderlich. 1882Ferdinand von Lindemann
bewies den entscheidenden Punkt - dass die Zahl π nicht konstruiert werden kann - durch den Beweis ihrer Transzendenz, das heißt, dass sie keine Wurzel eines Polynoms ist.
Diese klassischen Probleme können auf einen schlechten Ruf zurückgeführt werden und gelten als Sirenen, die Mathematiker dazu verleiteten, auf den scharfen Felsen der Unmöglichkeit zusammenzustoßen. Aber ich denke, es sind Musen, die Generationen kreativer Denker inspiriert haben.
Gleiches gilt für die neuere unmögliche Aufgabe, die sich aus einer so einfachen Handlung wie dem Überqueren einer Brücke ergibt. Stellen Sie sich vor, Sie leben in Pittsburgh, der „Stadt der Brücken“, wie viele meiner Schüler. Jeder abenteuerlustige Radfahrer könnte sich fragen, ob eine Fahrt von zu Hause aus jede der 22 Brücken, die Pittsburghs Hauptflüsse überqueren, genau einmal überqueren und nach Hause zurückkehren kann.
1735 stellte der preußische Bürgermeister Leonard Euler eine ähnliche Aufgabe, nur für Königsberg (heute Kaliningrad). Sieben Brücken dieser Stadt verbinden die drei Ufer des Flusses und die Insel. Zunächst wies Euler dieses Problem als nicht mathematisch ab: "Lösungen dieser Art haben wenig mit Mathematik zu tun, und ich verstehe nicht, warum Sie erwarten, dass ein Mathematiker es Ihnen und nicht jemand anderem gibt."
Bald jedoch bewies Euler, dass es unmöglich ist, dieses Problem zu lösen, und schuf dabei einen neuen Bereich der Mathematik, den er Geometrie der Anordnungen nannte - was wir heute Topologie nennen. Er erkannte, dass die spezifischen Details - die genauen Positionen der Brücken, die Form der Parzellen usw. - waren nicht wichtig. Nur ihre Verbindungen waren wichtig. Später verfeinerten Mathematiker Eulers Formulierung anhand der heutigen Graphen. Die Idee der Konnektivität steht im Mittelpunkt des Lernens über soziale Medien, Internet, Epidemiologie, Linguistik, Routenplanung und mehr.
Königsbergbrücken: Leonard Euler hat bewiesen, dass es unmöglich ist, eine Route entlang Königsberg zu bauen, die alle Brücken der Stadt nur einmal überquert. Er tat dies, indem er unnötige Details beseitigte und die Aufgabe auf die notwendigsten Elemente reduzierte, die später mit einer abstrakteren Struktur bezeichnet wurden - dem Diagramm.
Eulers Beweis war überraschend einfach. Er argumentierte, dass wir jedes Mal, wenn wir ein bestimmtes Stück Land betreten und verlassen, zwei Brücken beseitigen müssen. Daher muss es für jedes Stück Land eine gerade Anzahl von Brücken geben. Da jedoch eine ungerade Anzahl von Brücken zu jedem Abschnitt von Königsberg führte, war es unmöglich, eine solche Route zu bauen. Ebenso machen es die drei Brücken, die nach Gers Island am Allegheny River in Pittsburgh führen, unmöglich, den gewünschten Radweg zu bauen.
Wie dieses Problem zeigt, sind Unmöglichkeiten nicht auf abstrakte Mathematik beschränkt. Sie können reale Konsequenzen haben - manchmal sogar politische.
In letzter Zeit haben sich Mathematiker dem Konzept des Gerrymendering zugewandt . In den Vereinigten Staaten müssen die Staaten nach jeder Volkszählung die Wahlkreise wiederholen. Aber manchmal schreibt die Regierungspartei ihre Grenzen auf lächerliche Weise neu, um ihre politische Macht zu maximieren.
Viele Staaten haben Anforderungen an „kompakte“ Bezirke, für die es keine strenge mathematische Definition gibt. 1991 Daniel Paulsby und Robert Popper vorgeschlagen 4πA / P 2Diese Werte reichen von 1 für eine runde Gemeinde bis fast Null für deformierte Landkreise mit einem langen Umfang, um die Kompaktheit des Gebiets A und des Umfangs P zu messen.
In der Zwischenzeit haben Nicholas Stephanopoulos und Eric McGee 2014 die „Leistungslücke“ eingeführt, um die politische Integrität eines Distriktänderungsplans zu messen. Zwei verschiedene Gerrymandering-Strategien sehen vor, dass die Opposition weniger als 50% der Stimmen oder etwa 100% der Stimmen hat. Jede dieser Taktiken führt dazu, dass die Opposition Stimmen verliert, indem sie die richtigen Kandidaten verliert oder Stimmen an diejenigen verschwendet, die dies nicht tun. Die Effizienzlücke beschreibt die relative Anzahl verlorener Stimmen.
Beide Maßnahmen sind nützlich, um Gerrymandering zu erkennen. Aber im Jahr 2018 Boris Alekseev und Dustin Mixonbewiesen, dass "manchmal kleine Effizienzlücken mit seltsam geformten Landkreisen erreicht werden können". Das heißt, es ist mathematisch unmöglich, Landkreise immer so zu zeichnen, dass sie sowohl den Anforderungen von Paulsby-Popper als auch der Ehrlichkeit in Bezug auf die Effizienzlücke entsprechen.
Das Erkennen und Verhindern von Schleichwerbungstechniken ist jedoch ein schnell wachsendes Gebiet, das viele talentierte Forschungsanstrengungen anzieht. Wie bei den Problemen der Antike oder dem Problem der Königsbergbrücken bin ich sicher, dass das Gerrymandering-Problem die Kreativität anregen und zur Entwicklung der Mathematik beitragen wird.