Internationale Mathematikolympiade 2020 (wir entscheiden in den Kommentaren)

Diese Woche (16.-26. September) in St. Petersburg (virtuell) startete die 61. Internationale Mathematikolympiade , an der 622 Schüler aus 114 Ländern teilnahmen.



Die erste derartige Olympiade fand 1959 in Rumänien statt, an der nur Vertreter von nur sieben Ländern teilnahmen.



Russland wird von einem Team von sechs Schülern vertreten.



Schulkinder erhalten 2 Tage à 4,5 Stunden Zeit, um 6 Probleme zu lösen. Während die Ergebnisse ausgewertet werden, schlage ich vor, dass Sie versuchen, die Probleme zu lösen und in den Kommentaren zu diskutieren.







Ergebnisse der vergangenen Jahre.

• PDF mit Aufgaben in Englisch
• PDF mit Aufgaben in Russisch

Problem 1

Innerhalb des konvexen viereckigen ABCD gibt es einen Punkt P, so dass die Gleichungen



∠PAD: ∠PBA: ∠DPA = 1: 2: 3 = ∠CBP: ∠BAP: ∠BPC gelten.



Man beweise, dass sich die folgenden drei geraden Linien an einem Punkt schneiden: die inneren Winkelhalbierenden der Winkel ∠ADP und ∠PCB und der Mittelpunkt senkrecht zum Segment AB.

Problem 2

Gegeben sind reelle Zahlen a, b, c, d, so dass a> b> c> d> 0 und a + b + c + d = 1.



Man beweise, dass



(a + 2b + 3c + 4d) a ^a b ^b c ^c d ^d <1.

Problem 3

Es gibt 4n Kieselsteine ​​mit den Massen 1, 2, 3, ..., 4n . Jeder der Kieselsteine ​​ist in einer von n Farben gefärbt, und es gibt 4 Kieselsteine ​​jeder Farbe.



Beweisen Sie, dass Kieselsteine ​​in zwei Stapel mit gleichem Gesamtgewicht unterteilt werden können, sodass jeder Stapel zwei Kieselsteine ​​jeder Farbe enthält.

Problem 4

Eine ganze Zahl n> 1 ist gegeben . Es gibt n ² Standseilbahnen am Hang in unterschiedlichen Höhen. Jede der beiden Standseilbahnen A und B besitzt k Aufzüge. Jeder Aufzug führt regelmäßig einen direkten Transfer von einer der Stationen zu einer anderen höheren Station durch. Die k Übertragungen von Firma A beginnen an k verschiedenen Stationen, sie enden auch an k verschiedenen Stationen, mit einer Übertragung, die oben beginnt und oben endet. Die gleichen Bedingungen sind für Unternehmen B erfüllt. Wir werden sagen, dass zwei Stationen verbunden sindStandseilbahn, wenn Sie mit einem oder mehreren Transfers dieser Firma von der unteren zur oberen Station gelangen können (andere Bewegungen zwischen Stationen sind verboten). Finden Sie das kleinste k, für das bekanntermaßen zwei Stationen von beiden Unternehmen verbunden sind.

Problem 5

Es gibt n> 1 Karten, von denen jede eine positive ganze Zahl enthält.

Es stellte sich heraus, dass für zwei beliebige Karten das arithmetische Mittel der darauf geschriebenen Zahlen gleich dem geometrischen Mittel der auf die Karten eines bestimmten Satzes geschriebenen Zahlen eines bestimmten Satzes ist, der aus einer oder mehreren Karten besteht. Für welches n folgt, dass alle auf den Karten geschriebenen Zahlen gleich sind?

Problem 6

Man beweise, dass es eine positive Konstante c gibt, für die die folgende Aussage gilt:

Sei S eine Menge von n> 1 Punkten der Ebene, in der der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten mindestens 1 beträgt. Dann gibt es eine Linie ℓ, die die Menge S so trennt, dass der Abstand von jedem Die Punkte S bis ℓ sind mindestens cn ^−1/3 .

(Die gerade Linie ℓ trennt die Menge der Punkte S, wenn sie ein Segment schneidet, dessen Enden zu S gehören.)



Bemerkung. Schwächere Ergebnisse mit cn ^-1/3 ersetzt durch cn ^-α können in Abhängigkeit von dem Wert der Konstanten geschätzt werden α> 1/3 .

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• 100 Lektionen Mathematik von Alexey Savvateev