Seit Tausenden von Jahren interessieren sich Mathematiker für die Frage nach der Existenz ungerader perfekter Zahlen. Während des Studiums haben sie eine unglaubliche Liste von Einschränkungen für diese hypothetischen Objekte zusammengestellt. Neue Ideen in dieser Hinsicht können jedoch aufgrund der Untersuchung anderer Objekte in ihrer Nähe auftauchen.
Wenn es ungerade perfekte Zahlen gibt, müssen sie eine absurd lange Liste von Einschränkungen erfüllen.
Als Schüler stand Pace Nielsen Mitte der neunziger Jahre vor einer mathematischen Frage, mit der er bis heute zu kämpfen hat. Aber er ist nicht verärgert: Das Problem, das ihn faszinierte, die Hypothese ungerader perfekter Zahlen, ist seit mehr als 2.000 Jahren offen und macht es zu einem der ältesten ungelösten Probleme in der Mathematik.
Ein Teil dieses langlebigen Charmes beruht auf der Einfachheit des Wortlauts. Eine Zahl heißt perfekt, wenn es sich um eine positive ganze Zahl n handelt, deren Teiler das Doppelte der Zahl 2n addieren. Das erste und einfachste Beispiel ist 6, dessen Teiler 1, 2, 3 und 6 12 oder 2 * 6 ergeben. Dann kommt 28 mit Teilern von 1, 2, 4, 7, 14 und 28, was insgesamt 56 ergibt. Die nächsten Beispiele sind 496 und 8128.
Leonard Euler formalisierte diese Definition im 18. Jahrhundert und führte seine Sigma-Funktion ein, die die Summe der Teiler einer Zahl bezeichnet. Somit ist für perfekte Zahlen σ (n) = 2n.
Leonard Euler formulierte viele formale Regeln für das Arbeiten mit perfekten Zahlen
. Pythagoras wusste jedoch bereits 500 v. Chr. Über perfekte Zahlen Bescheid, und zwei Jahrhunderte später leitete Euklid eine Formel ab, um selbst perfekte Zahlen zu erhalten. Er zeigte, dass wenn p und 2 p - 1 Primzahlen sind (deren Teiler nur 1 und diese Zahl selbst sind), 2 p - 1 * (2 p - 1) eine perfekte Zahl sind. Wenn beispielsweise p = 2 ist, ergibt die Formel 2 1 * (2 2 - 1) oder 6. Wenn p = 3, ergibt die Formel 2 2 * (2)3 - 1) oder 28 - die ersten beiden perfekten Zahlen. 2000 Jahre später bewies Euler, dass diese Formel alle geraden perfekten Zahlen erzeugt, obwohl noch unbekannt ist, ob die Menge der perfekten Zahlen endlich oder unendlich ist.
Nielsen, jetzt Professor an der Brigham Young University, wurde von einer ähnlichen Frage mitgerissen: Gibt es ungerade perfekte Zahlen? Griechischer Mathematiker Nicomachus von Gerasa um 100 n. Chr erklärte, dass alle perfekten Zahlen gerade sein müssen, aber niemand hat diese Aussage bewiesen.
Wie viele seiner Kollegen aus dem 21. Jahrhundert glaubt Nielsen, dass es nicht sehr viele perfekte Zahlen gibt. Und zusammen mit ihnen glaubt er, dass der Beweis dieser Hypothese nicht bald erhalten wird. Im Juni stieß er jedoch aufzu einem neuen Ansatz für diese Aufgabe, der möglicherweise in der Lage ist, sie weiterzuentwickeln. Und es ist mit dem Objekt verbunden, das ungeraden perfekten Zahlen von allen bisher entdeckten am nächsten kommt.
Schrumpfendes Web
Nielsen lernte die perfekten Zahlen zum ersten Mal in einem Mathematikwettbewerb in der Schule. Er vertiefte sich tiefer in die Literatur und stieß 1974 auf die Arbeit von Karl Pomeranz , einem Mathematiker, der jetzt am Dartmouth College arbeitet. Er bewies , dass jede ungerade vollkommene Zahl haben muss mindestens sieben verschiedene Primfaktoren.
"Ich habe in meiner Naivität entschieden, dass ich in diesem Bereich etwas tun kann, wenn überhaupt Fortschritte möglich sind", sagte Nielsen. "Es hat mich inspiriert, im College Zahlentheorie zu studieren und zu versuchen, Fortschritte zu machen." Seine erste Arbeit über ungerade perfekte Zahlen, die 2003 veröffentlicht wurde, stellte diese hypothetischen Zahlen zusätzlich in Frage. Er zeigtedass nicht nur die Anzahl der ungeraden perfekten Zahlen mit k verschiedenen Primteilern endlich ist, wie Leonard Dixon 1913 bewiesen hat, sondern auch, dass die Größe dieser Zahl 2 4 k nicht überschreiten sollte .
Und dies war weder die erste noch die letzte Einschränkung, die hypothetischen ungeraden perfekten Zahlen auferlegt wurde. Zum Beispiel bewies James Sylvester 1888, dass eine ungerade perfekte Zahl nicht durch 105 teilbar sein kann. 1960 bewies Carl K. Norton, dass eine ungerade perfekte Zahl, wenn sie nicht durch 3, 5 oder 7 teilbar ist, mindestens haben muss 27 Hauptfaktoren. Paul Jenkins im Jahr 2003 bewiesenDass der größte Primteiler einer ungeraden perfekten Zahl größer als 10 000 000 sein muss. Pascal ochem und Mihaol Rao stellten dann fest, dass die ungerade perfekte Zahl größer als 10 1500 sein muss , und drückten dann die Grenze auf 10 2000 . Nielsen zeigte im Jahr 2015 , dass eine ungerade Anzahl perfekter mindestens 10 verschiedenen Primfaktoren haben müssen.
Pace Nielsen, Mathematiker an der Brigham Young University
Schon im 19. Jahrhundert war die Anzahl der Einschränkungen so hoch, dass Sylvester zu dem Schluss kam, dass "die Entstehung einer ungeraden perfekten Zahl - eine Art Flucht aus dem komplexen Netzwerk von Bedingungen, die sie auf allen Seiten umgeben - fast ein Wunder wäre". Nach mehr als hundert Jahren einer solchen Entwicklung der Ereignisse wirft die Existenz solcher Zahlen noch mehr Zweifel auf.
"Die Existenz von etwas zu beweisen ist einfach, wenn man nur ein Beispiel findet", sagte Jon Voight , Mathematikprofessor in Dartmouth. "Aber zu beweisen, dass etwas nicht existiert, kann sehr schwierig sein."
Bisher bestand der Hauptansatz darin, alle Bedingungen zu vergleichen, die ungerade perfekte Zahlen begrenzen, um herauszufinden, ob ein Paar von ihnen nicht kompatibel ist - das heißt, dass keine Zahl beide Einschränkungen gleichzeitig erfüllen kann. "Das Flickenteppich der Bedingungen, die wir bisher erhalten haben, macht die ungeraden perfekten Zahlen äußerst unwahrscheinlich", sagte Voight und wiederholte Sylvester. "Und Pace fügt dieser Liste seit vielen Jahren neue Elemente hinzu."
Leider wurden noch keine inkompatiblen Eigenschaften gefunden. Daher werden Mathematiker neben zusätzlichen Einschränkungen für ungerade perfekte Zahlen wahrscheinlich neue Strategien benötigen.
Zu diesem Zweck erwägt Nielsen bereits einen neuen Angriffsplan, der auf einer gemeinsamen Taktik der Mathematiker basiert: das Studium vieler Zahlen durch das Studium ihrer nahen Verwandten. In Ermangelung ungerader perfekter Zahlen, die für das direkte Studium geeignet sind, untersuchen er und das Team "Imitationen" ungerader perfekter Zahlen, die den realen Zahlen sehr ähnlich sind, aber einige interessante Unterschiede aufweisen.
Perfekte Zahlen verstehen
- . σ(n) = 2n, .
:
σ(20) = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 42; 2 * 20 ≠ 42, 20 – .
σ(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56; 2 * 28 = 56, 28 – .
1. σ(a × b) = σ(a) × σ (b) , , a b – .
2. σ(pa) = 1 + p + p2 + … + pa p a.
:
σ(20) = σ(22 × 5) = σ(22) × σ(5) [ ] = (1 + 2 + 22)(1+5) [ ] = 42
σ (28) = σ (2 2 × 7) = σ (2 2 ) × σ (7) [nach der ersten Regel] = (1 + 2 + 2 2 ) (1 + 7) [nach der zweiten Regel] = 56
Neue verführerische Fehler
Die erste Nachahmung einer ungeraden perfekten Zahl wurde 1638 von Rene Descartes gefunden - und er war einer der ersten herausragenden Mathematiker, die die Existenz ungerader perfekter Zahlen für möglich hielten. "Ich glaube, Descartes hat versucht, ungerade perfekte Zahlen zu finden, und seine Berechnungen führten ihn zur ersten Nachahmung", sagte William Banks , ein Zahlentheoretiker an der Universität von Missouri. Anscheinend hoffte Descartes, dass die von ihm erstellte Zahl geändert werden könnte, um eine wirklich ungerade perfekte Zahl zu erhalten.
Bevor Sie sich jedoch mit kartesischer Nachahmung befassen, ist es hilfreich, ein wenig darüber zu verstehen, wie Mathematiker perfekte Zahlen beschreiben. Der Zeitsatz von Euklid besagt, dass jede ganze Zahl größer als 1 als Produkt von Primzahlen ausgedrückt werden kann, die auf bestimmte Potenzen angehoben werden. Zum Beispiel kann 1260 wie folgt faktorisiert werden: 1260 = 2 2 × 3 2 × 5 1 × 7 1 , und nicht alle 36 Faktoren separat auflisten.
Sobald eine Zahl diese Form annimmt, wird es dank zweier Formeln, die Euler ebenfalls bewiesen hat, viel einfacher, die Euler-Sigma-Funktion zu berechnen, die ihre Teiler summiert. Zunächst zeigte er, dass σ (a × b) = σ (a) × σ (b) genau dann ist, wenn a und b Koprime sind - das heißt, sie haben keine gemeinsamen Primteiler. Zum Beispiel sind die Zahlen 14 (2 × 7) und 15 (3 × 5) relativ prim. Zweitens zeigte er, dass für jede Primzahl p in einem positiven ganzzahligen Grad a σ (p a ) = 1 + p + p 2 +… + p a ist .
Zurück zu unserem vorherigen Beispiel: σ (1 260) = σ (2 2 × 3 2 × 5 1 × 7 1 ) = σ (2 2 ) × σ (3 2)) × σ (5 1 ) × σ (7 1 ) = (1 + 2 + 2 2 ) (1 + 3 + 3 2 ) (1 + 5) (1 + 7) = 4 368. Beachten Sie, dass in diesem Fall σ (n) ist nicht gleich 2n, was bedeutet, dass 1260 keine perfekte Zahl ist.
René Descartes hat die erste Nachahmung einer perfekten Zahl gefunden.
Jetzt können wir die kartesische Nachahmung analysieren - die Zahl 198 585 576 189 oder 3 2 × 7 2 × 11 2 × 13 2 × 22 021 1 . Wenn wir die obigen Berechnungen wiederholen, stellen wir fest, dass σ (198 585 576 189) = σ (3 2 × 7 2 × 11 2 × 13 2 × 22,021 1 ) = (1 + 3 + 3)2 ) (1 + 7 + 7 2 ) (1 + 11 + 11 2 ) (1 + 13 + 13 2 ) (1 + 22.021 1 ) = 397 171 152 378. Und dies entspricht dem doppelten der ursprünglichen Zahl, was bedeutet, dass es sollte eine wirklich perfekte Zahl sein - nur die Zahl 22.021 ist keine Primzahl.
Daher ist diese Anzahl von Descartes eine Nachahmung. Wenn wir so tun, als wäre 22.021 eine Primzahl, und Eulers Regeln auf die Sigma-Funktion anwenden, verhält sich Descartes 'Zahl wie eine perfekte Zahl. 22 021 ist jedoch tatsächlich das Produkt von 19 2 und 61. Wenn wir Descartes 'Nummer korrekt als 3 2 × 7 2 × 11 2 × 13 2 × 19 2 × 61 1 schreiben könntendann wäre σ (n) nicht gleich 2n. Wenn wir einige der Regeln schwächen, erhalten wir eine Zahl, die unseren Anforderungen zu entsprechen scheint - dies ist die Essenz der Nachahmung.
Es dauerte 361 Jahre, um die zweite Imitationszahl einer ungeraden perfekten Zahl zu entdecken. Voight tat dies 1999 und veröffentlichte die Entdeckung vier Jahre später. Warum so lange? „Das Finden einer Nachahmungszahl ist wie das Finden einer ungeraden perfekten Zahl. Beide sind ähnlich arithmetisch komplex “, sagte Banks. Und ihre Suche hatte für Mathematiker keine Priorität. Voight wurde jedoch von einem Auszug aus Richard Guys ungelösten Problemen in der Zahlentheorie inspiriert, der über die Suche nach neuen Imitationen schrieb. Voight versuchte es und fand schließlich eine neue Nachahmung, 3 4 × 7 2 × 11 2 × 19 2× (−127) 1 oder −22 017 975 903.
Im Gegensatz zu Descartes 'Beispiel sind hier alle Teiler Primzahlen, aber einer von ihnen ist negativ - daher ist diese Zahl eine Nachahmung, keine echte ungerade perfekte Zahl.
Simulieren Sie ungerade perfekte Zahlen
:
198 585 576 189, 32 × 72 × 112 × 132 × 22 0211.
-: σ(198 585 576 189) = σ(32 × 72 × 112 × 132 × 22,0211) = (1 + 3 + 32)(1 + 7 + 72)(1 + 11 + 112)(1 + 13 + 132)(1 + 22,0211) = 397 171 152 378 = 2 × 198 585 576 189.
22 021 , 192 × 61. .
:
−22 017 975 903, 34 × 72 × 112 × 192 × (−127)1.
-: σ(−22 017 975 903) = σ(34 × 74 × 112 × 192 × (-127)1) = (1 + 3 + 32 + 33 + 34)(1 + 7 + 72)(1 + 11 + 112)(1 + 19 + 192)(1 + (-127)1) = -44 035 951 806 = 2 × −22 017 975 903
-127 – , – .
Nachdem Voight im Dezember 2016 ein Seminar an der Brigham Young University abgehalten hatte, diskutierte er diese Nummer mit Nielsen, Jenkins und anderen. Kurz darauf machte sich das Universitäts-Team auf den Weg zu einer systematischen rechnerischen Suche nach anderen Imitationen. Sie würden die kleinsten Basen und Exponenten wie 3 2 auswählen und dann Computer durch Varianten zusätzlicher Basen und Exponenten kämmen , die eine perfekte Zahl simulieren würden. Nielsen entschied, dass dieses Projekt für seine Studenten einfach eine anregende Forschungserfahrung sein würde, aber die Ergebnisse der Analyse übertrafen seine Erwartungen.
Die Möglichkeiten durchforsten
Nachdem das Team drei Jahre lang 20 Prozessoren ununterbrochen betrieben hatte, entdeckte es jede mögliche Nachahmung einer perfekten Zahl, die mit sechs oder weniger Basen geschrieben werden konnte - insgesamt 21, einschließlich Beispielen von Descartes und Voight - und zwei weiteren Simulationen mit sieben Teilern. Die Suche nach Simulationen mit einer großen Anzahl von Teilern auf Computern war unpraktisch und zeitaufwändig. Die Gruppe hat jedoch genügend Beispiele gesammelt, um bisher unbekannte Eigenschaften von Imitationen zu entdecken.
Die Gruppe fand heraus, dass es für jede gegebene Anzahl von Basen k eine endliche Anzahl von Simulationen gibt, was mit Dixons Ergebnis von 1913 für echte ungerade perfekte Zahlen übereinstimmt. "Wenn jedoch k gegen unendlich geht, wird auch die Anzahl der Imitationen unendlich", sagte Nielsen. Dies sei unerwartet, fügte er hinzu, da er zu Beginn dieses Projekts nicht sicher war, auch nur eine neue seltsame Nachahmung zu entdecken, geschweige denn zu zeigen, dass ihre Anzahl unendlich ist.
Eine weitere Überraschung, die sich aus einem Ergebnis ergibt, das Euler erstmals bewiesen hat: Alle Primzahlen einer ungeraden perfekten Zahl, mit Ausnahme einer, müssen gerade Grade haben. Man muss einen ungeraden Grad haben - dies nennt man den Euler-Grad. Die meisten Mathematiker glauben, dass der Euler-Grad für ungerade perfekte Zahlen immer 1 ist, aber das Team hat gezeigt, dass Simulationen so groß sein können, wie sie möchten.
Das Team fand einige der Ergebnisse, indem es die Anforderungen in der Definition der Nachahmung schwächte, da es keine klaren mathematischen Regeln für ihre Beschreibung gibt - nur, dass sie die Gleichheit σ (n) = 2n erfüllen müssen. Die Forscher erlaubten die Existenz von Nicht-Prim-Basen (wie in Descartes 'Beispiel) und negativen Basen (wie in Voights Beispiel). Sie gingen jedoch noch weiter, indem sie Imitationen erlaubten, mehrere der gleichen Basen zu haben. Ein Radix könnte beispielsweise 7 2 und der andere 7 3 sein , und sie werden separat geschrieben und nicht als 7 5 . Oder sie lassen die Gründe sich wiederholen, wie in der Nachahmung 3 2 × 7 2 × 7 2 × 13 1 × (−19) 2... Der Term 7 2 × 7 2 kann als 7 4 geschrieben werden , aber dann schlägt die Simulation fehl, da die Erweiterung der Klammern in der modifizierten Sigma-Funktion unterschiedlich wäre.
Angesichts des signifikanten Unterschieds zwischen Imitationen und echten ungeraden perfekten Zahlen könnte man sich die Frage stellen: Wie helfen erstere, letztere zu finden?
Der Weg nach vorn?
Nielsen sagte, dass Imitationen Verallgemeinerungen von ungeraden perfekten Zahlen sind. Ungerade perfekte Zahlen sind eine Teilmenge innerhalb einer größeren Familie, die Imitationen enthält. Daher müssen ungerade perfekte Zahlen alle Eigenschaften von Imitationen sowie zusätzliche, noch strengere Einschränkungen aufweisen (wie zum Beispiel die Bedingung, dass alle Gründe einfach sein müssen). ...
"Jedes Verhalten der größeren Menge muss für die kleinere Teilmenge befolgt werden", sagte Nielsen. "Wenn wir also Nachahmungsverhalten finden, das nicht für eine begrenzte Klasse gilt, können wir die Möglichkeit ungerader perfekter Zahlen automatisch verwerfen." Wenn zum Beispiel gezeigt werden kann, dass alle Simulationen durch 105 teilbar sind - was für ungerade perfekte Zahlen unmöglich ist, wie Sylvester 1888 gezeigt hat -, ist das Problem gelöst.
Bisher ist es ihnen jedoch nicht gelungen. "Wir haben neue Fakten über Imitationen entdeckt, aber keine von ihnen bestreitet die Existenz ungerader perfekter Zahlen", sagte Nielsen, "obwohl diese Möglichkeit immer noch besteht." Durch die weitere Analyse der derzeit bekannten Imitationen und möglicherweise die Ergänzung ihrer Liste in der Zukunft können Nielsen (und beide Richtungen entwickeln sich dank ihm) und andere Mathematiker neue Eigenschaften von Imitationen entdecken.
Banken finden diesen Ansatz lohnenswert. "Das Erforschen von ungeraden Imitationen kann hilfreich sein, um die Struktur von ungeraden perfekten Zahlen zu verstehen, falls vorhanden", sagte er. "Und wenn es keine ungeraden perfekten Zahlen gibt, kann das Studium ungerader Imitationen zum Beweis dafür führen."
Andere Experten für ungerade perfekte Zahlen sind nicht so optimistisch. Das Team der Brigham Young University „hat großartige Arbeit geleistet“, sagte Voight, „aber ich bin nicht sicher, ob wir dem Problem der ungeraden perfekten Zahlen nahe kommen. Dies ist wirklich eine Aufgabe für die Ewigkeit, und es ist wahrscheinlich, dass es so bleiben wird. "
Paul Pollack , Mathematiker an der University of Georgia, ist ebenfalls vorsichtig: „Es wäre cool, wenn wir uns die Liste der Imitationen ansehen und einige ihrer Eigenschaften sehen und irgendwie beweisen könnten, dass es mit dieser Eigenschaft keine ungeraden perfekten Zahlen gibt. Es wäre nur ein Traum, aber es scheint zu schön, um wahr zu sein. "
Nielsen stimmte zu, dass es hier kaum Erfolgschancen gab, aber um dieses alte Problem zu lösen, müssen Mathematiker alles versuchen. Darüber hinaus steht das Studium der Nachahmungen erst am Anfang. Seine Gruppe hat einige frühe Schritte unternommen und bereits unerwartete Eigenschaften dieser Zahlen entdeckt. Daher ist er optimistisch über die Möglichkeit, zusätzliche "versteckte Strukturen" innerhalb der Imitationen zu entdecken.
Nielsen hat bereits eine plausible Taktik identifiziert, die darauf beruht, dass alle bisher gefundenen Imitationen mit Ausnahme von Descartes 'ursprünglichem Beispiel mindestens eine negative Grundlage haben. Wenn Sie beweisen, dass alle anderen Imitationen eine negative Basis haben müssen, wird dies beweisen, dass ungerade perfekte Zahlen nicht existieren, da ihre Basen per Definition einfach und positiv sein müssen.
"Dies scheint eine schwierigere Aufgabe zu sein", sagte Nielsen, der eine größere und allgemeinere Kategorie von Zahlen berührt. "Aber manchmal, wenn Sie ein Problem in ein scheinbar schwierigeres verwandeln, können Sie den Weg zur Lösung erkennen."
In der Zahlentheorie ist Geduld erforderlich - manchmal ist die Frage leicht zu stellen, aber schwer zu beantworten. "Man muss manchmal lange über die Aufgabe nachdenken und ihr besondere Aufmerksamkeit schenken", sagte Nielsen. - Wir bewegen uns vorwärts. Wir graben eine Mine. Wir hoffen, dass wir einen Diamanten finden können, wenn wir lange genug graben. "