💅🏿 🏹 🖐🏽 Wie zeichnet man einen Stern (und mehr) in Polarkoordinaten 🅿️ 🧒 👌

Die Frage nach der Formel für ein Polygon in Polarkoordinaten stellt sich regelmäßig nach thematischen Ressourcen - und bleibt ebenso regelmäßig ohne klare Antwort. Im besten Fall stößt man durch die Funktion des Restes der Division auf eine Lösung - die aus mathematischer Sicht nicht "sauber" ist, da keine analytischen Transformationen für die Funktion möglich sind. Anscheinend sind echte Mathematiker zu beschäftigt, Probleme des Jahrtausends zu lösen und nach einem einfachen Beweis für Fermats Theorem zu suchen, um auf solche banalen Probleme zu achten. Glücklicherweise ist in dieser Angelegenheit die Vorstellungskraft wichtiger als das Wissen, und um dieses Problem zu lösen, müssen Sie kein Professor für topologische Wissenschaften sein - Wissen auf Schulebene reicht aus.

Die Formel für ein gleichseitiges Polygon in Polarkoordinaten sieht sehr einfach aus

ρ = \frac{\cos (\frac{2 \sin^{- 1} (k) + π m}{2 n})}{\cos (\frac{2 \sin^{- 1} (k \cos (n ϕ)) + π m}{2 n})}

$\rho = \frac{\cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}(k)+\pi m}{2 n}\right)}{\cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}(k \cos (n \phi ))+\pi m}{2 n}\right)}$

und hat folgende Parameter:

ϕ

$\phi$ ist der Winkel;

n

$n$ ist die Anzahl der konvexen Eckpunkte;

m

$m$ - bestimmt, wie viele Eckpunkte die Seiten auf einer geraden Linie liegen. Negative Werte sind ebenfalls zulässig - das Vorzeichen bestimmt, in welche Richtung sich der Stern biegt;

k

$k$ - Steifheit - bei

k = 0

$k=0$ Wir erhalten einen Kreis unabhängig von anderen Parametern, z

k = 1

$k=1$ - Polygon mit geraden Linien bei Zwischenwerten von

0

$0$ bis

1

$1$ - Zwischenfiguren zwischen einem Kreis und einem Polygon.

Mit dieser Formel können Sie einen Stern auf zwei Arten zeichnen:

1)

n = 5, m = 3

$n=5, m=3$

n = 5 / 4, m = 0

$n=5/4,m=0$ . In diesem Fall müssen Sie zwei Runden anstelle von einer machen:

Parameter

m

$m$ wirkt sich wie folgt auf das Polygon aus (hier ändert es sich von -1 auf 5):

Parameter

k

$k$ in der Animation:

Komplexe Form und Modifikationen

Sie können die ursprüngliche Formel in einer komplexen Form umschreiben, und trotz des Vorhandenseins imaginärer Einheiten bleibt der Wert des Radius weiterhin gültig:

ρ = \frac{4^{1 / n} {(\sqrt{1 - k^{2}} + i k)}^{- 1 / n} (1 + {(\sqrt{1 - k^{2}} + i k)}^{2 / n} e^{\frac{i π m}{n}}) {(\sqrt{1 - k^{2} \cos^{2} (n ϕ)} + i k \cos (n ϕ))}^{1 / n}}{4^{1 / n} + e^{\frac{i π m}{n}} {(2 \sqrt{1 - k^{2} \cos^{2} (n ϕ)} + 2 i k \cos (n ϕ))}^{2 / n}}

$\small\rho = \frac{4^{1/n} \left(\sqrt{1-k^2}+i k\right)^{-1/n} \left(1+\left(\sqrt{1-k^2}+i k\right)^{2/n} e^{\frac{i \pi m}{n}}\right) \left(\sqrt{1-k^2 \cos ^2(n \phi )}+i k \cos (n \phi )\right)^{1/n}}{4^{1/n}+e^{\frac{i \pi m}{n}} \left(2 \sqrt{1-k^2 \cos ^2(n \phi )}+2 i k \cos (n \phi )\right)^{2/n}}$

Auf den ersten Blick mag dies sinnlos erscheinen, da die Formel etwas umständlicher geworden ist - aber keine Schlussfolgerungen ziehen. Erstens enthält es keinen Arkussinus, der die mathematische Bedeutung der Formel vollständig ändert und es Ihnen ermöglicht, die Konstruktion eines sternförmigen Polygons anders zu betrachten. Zweitens können damit auch kompakte Formeln für Sonderfälle erhalten werden

. Drittens (und am interessantesten) kann es kreativ modifiziert und andere, unerwartete Formen erhalten werden. Damit das Auftreten einer möglichen imaginären Komponente im Radius keine Mehrdeutigkeit bei der Berechnung verursacht, kann sie durch Multiplikation mit sofort auf kartesische Koordinaten reduziert werden

\frac{i^{t} {(i^{n t})}^{1 / n}}{1 + {(i^{n t})}^{2 / n}}

$\frac{i^t \left(i^{n t}\right)^{1/n}}{1+\left(i^{n t}\right)^{2/n}}$

. Hier sind Beispiele für einige der Modifikationen:

e^{i ϕ}

$e^{i \phi }$

\frac{(- 1)^{2 / 3} e^{i ϕ} {(i \cos (3 ϕ) + \sqrt{\sin^{2} (3 ϕ)})}^{1 / 3}}{(- 1)^{2 / 3} + 2^{2 / 3} {(i \cos (3 ϕ) + \sqrt{\sin^{2} (3 ϕ)})}^{2 / 3}}

$\frac{(-1)^{2/3} e^{i \phi } \left(i \cos (3 \phi )+\sqrt{\sin ^2(3 \phi )}\right)^{1/3}} {(-1)^{2/3}+2^{2/3} \left(i \cos (3 \phi )+\sqrt{\sin ^2(3 \phi )}\right)^{2/3}}$

\frac{e^{i ϕ} \sqrt{i \cos (2 ϕ) + \sqrt{\sin^{2} (2 ϕ)}}}{e^{i / 2} + \sqrt{2} {(i \cos (2 ϕ) + \sqrt{\sin^{2} (2 ϕ)})}^{3 / 2}}

$\frac{e^{i \phi } \sqrt{i \cos (2 \phi )+\sqrt{\sin ^2(2 \phi )}}}{e^{i/2}+\sqrt{2} \left(i \cos (2 \phi )+\sqrt{\sin ^2(2 \phi )}\right)^{3/2}}$

\frac{e^{\frac{1}{4} i (4 ϕ + π)}}{2 \sqrt{(- 1)^{1 / 4} \cos (2 ϕ) + \sqrt{\sin^{2} (2 ϕ)}} - 1 - i}

$\frac{e^{\frac{1}{4} i (4 \phi +\pi )}}{2 \sqrt{(-1)^{1/4} \cos (2 \phi )+\sqrt{\sin ^2(2 \phi )}}-1-i}$

Wie Sie wahrscheinlich bemerkt haben, ist die Rotation des Vektors nicht mehr gleichmäßig - und zwar genau aufgrund des Auftretens der imaginären Komponente im Radius.

Quads und so

Unsere Formel hat einen wunderbaren Sonderfall - ein Quadrat, für das die Formel geschrieben werden kann

ρ = \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2 + 2 \cos (4 ϕ)}}}

$\rho = \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+2 \cos (4 \phi )}}}$

oder

ρ = \sqrt{\frac{2}{1 + \sqrt{1 - \sin^{2} (2 ϕ)}}}

$\rho = \sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{1-\sin ^2(2 \phi )}}}$

(Wählen Sie aus, welche Ihnen am besten gefällt).

In einem etwas weiter entwickelten Fall können Sie Zwischenfiguren zwischen einem Kreis und einem Quadrat durch einen Punkt definieren

(k, k)

$(k,k)$ auf der Oberfläche

ρ = \sqrt{\frac{2}{1 + \sqrt{1 - \frac{(2 k^{2} - 1) \sin^{2} (2 ϕ)}{k^{4}}}}}

$\rho = \sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{1-\frac{\left(2 k^2-1\right) \sin ^2(2 \phi )}{k^4}}}}$

Sie können diesen Formen auch Variationen hinzufügen, während Sie den Zustand beibehalten, in dem sie den Punkt durchlaufen

(k, k)

$(k,k)$ - den Parameter selbst direkt modulieren

k

$k$ abhängig vom Winkel, so dass beim Durchlaufen der Diagonale sein Multiplikator gleich eins ist. Zum Beispiel stattdessen ersetzen

k

$k$ Funktion

\frac{k}{1 - z \cos^{2} (2 ϕ)}

$\frac{k}{1-z \cos ^2(2 \phi )}$ erhalten wir einen zusätzlichen Parameter

z

$z$ mit denen zusätzliche Biegungen eingestellt werden können. Insbesondere für

z = 1 / 4

$z=1/4$ Sie erhalten Folgendes:

In einem noch erweiterten Fall können Sie nicht nur ein Quadrat, sondern auch ein Rechteck und immer noch in Polarkoordinaten definieren:

ρ = \sqrt{\frac{4 a^{2} b^{2}}{((b^{2} - a^{2}) \cos (2 ϕ) + a^{2} + b^{2}) (\sqrt{1 - \frac{4 a^{2} b^{2} k \sin^{2} (2 ϕ)}{{((b^{2} - a^{2}) \cos (2 ϕ) + a^{2} + b^{2})}^{2}}} + 1)}}

$\rho = \sqrt{\frac{4 a^2 b^2}{\left(\left(b^2-a^2\right) \cos (2 \phi )+a^2+b^2\right) \left(\sqrt{1-\frac{4 a^2 b^2 k \sin ^2(2 \phi )}{\left(\left(b^2-a^2\right) \cos (2 \phi )+a^2+b^2\right)^2}}+1\right)}}$

Und berechnen Sie sogar seine Fläche (über elliptische Integrale):

S = 4 a b \frac{(k - 1) K (k) + E (k)}{k}

$S=4 a b\frac{(k-1) K(k)+E(k)}{k}$

Hinweis

k

$k$ (

0

$0$

1

$1$ ) ,

π a b

$\pi a b$

4 a b

$4 a b$ .

Auf diese Weise können Profile mit einem Übergang von einem Kreis zu einem Rechteck mit einer kontrollierten Schnittfläche erstellt werden. Hier ist die Fläche konstant:

Und hier erweitert sich der Bereich exponentiell:

Gehen Sie zu den kartesischen Koordinaten

Jede Formel in Polarkoordinaten kann durch eine Gleichung in kartesischen Koordinaten und auf mindestens zwei Arten ausgedrückt werden - je nachdem, welche Form des Gradienten am Rand der Figur sich ändert. Dazu reicht es aus, den Winkel durch den Arkustangens der Koordinaten zu berechnen und die Formel durch Subtrahieren durch den Radiusvektor auf eine Konstante zu bringen

0 = \sqrt{x^{2} + y^{2}} - \frac{\cos (\frac{2 \sin^{- 1} (k) + π m}{2 n})}{\cos (\frac{2 \sin^{- 1} (k \cos (n \tan^{- 1} (x, y))) + π m}{2 n})}

$0=\sqrt{x^2+y^2}-\frac{\cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}(k)+\pi m}{2 n}\right)}{\cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}\left(k \cos \left(n \tan ^{-1}(x,y)\right)\right)+\pi m}{2 n}\right)}$

oder Teilung

1 = \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \cos (\frac{2 \sin^{- 1} (k \cos (n \tan^{- 1} (x, y))) + π m}{2 n})}{\cos (\frac{2 \sin^{- 1} (k) + π m}{2 n})}

$1=\frac{\sqrt{x^2+y^2} \cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}\left(k \cos \left(n \tan ^{-1}(x,y)\right)\right)+\pi m}{2 n}\right)}{\cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}(k)+\pi m}{2 n}\right)}$

Die zweite Option ist vorzuziehen, da sie gerade Verläufe entlang der Seiten des Polygons ergibt.

Hinweis

, (0,0) - — , , (

- \cos (\frac{2 \sin^{- 1} (k) + π m}{2 n}) \sec (\frac{2 \sin^{- 1} (k \cos (\frac{π n}{2})) + π m}{2 n})

$-\cos \left(\frac{2 \sin ^{-1}(k)+\pi m}{2 n}\right) \sec \left(\frac{2 \sin ^{-1}\left(k \cos \left(\frac{\pi n}{2}\right)\right)+\pi m}{2 n}\right)$ ).

\cos (n \tan^{- 1} (x, y))

$\cos \left(n \tan ^{-1}(x,y)\right)$

\frac{(x + i y)^{n} + (x - i y)^{n}}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{n / 2}}

$\frac{(x+i y)^n+(x-i y)^n}{2 \left(x^2+y^2\right)^{n/2}}$ , A034839.

Der Wert der Formel von der rechten Seite der Gleichung (im 2. Fall) ändert sich von

0

$0$ Vor

1

$1$ wenn Punkt

(x, y)

$(x,y)$ kommt in die Figur und von

1

$1$ ad infinitum - wenn nicht. Durch Auswahl verschiedener Funktionen zum Konvertieren in Helligkeit erhalten Sie verschiedene Rasteroptionen. Für den Exponenten (

e^{- x - 1}

$e^{-x-1}$ für die erste und

e^{- x}

$e^{-x}$ für die zweite Option) bekommen wir

oder wenn mit Sättigung

Es kann ein klassischer Tiefpassfilter verwendet werden

\frac{1}{1 + x^{p}}

$\frac{1}{1+x^p}$ , indem

p

$p$ - die Reihenfolge des Filters, die den Dämpfungsgrad bestimmt.

Für die erste Option:

Und zum zweiten:

Sie können auch eine stückweise kontinuierliche Funktion verwenden, indem Sie die Interpolationsgrenzen explizit festlegen.

Zusätzlich zur Rasterung als solche können Sie auch Verformungen festlegen - z. B. ein Schachbrett in einen Kreis drücken:

Oder ziehen Sie es sogar über eine Kugel:

Formel

x = \frac{u}{\sqrt{\frac{2}{1 + | \frac{u^{2} - v^{2}}{u^{2} + v^{2}} |}}}

$x=\frac{u}{\sqrt{\frac{2}{1+ \left| \frac{u^2-v^2}{u^2+v^2} \right|}}}$

y = \frac{v}{\sqrt{1 + \frac{2}{| \frac{u^{2} - v^{2}}{u^{2} + v^{2}} |}}}

$y=\frac{v}{\sqrt{1+\frac{2}{\left| \frac{u^2-v^2}{u^2+v^2}\right| }}}$

z = \sqrt{1 - \frac{1}{2} u^{2} (1 + | \frac{u^{2} - v^{2}}{u^{2} + v^{2}} |) - \frac{1}{2} v^{2} (1 + | \frac{u^{2} - v^{2}}{u^{2} + v^{2}} |)}

$z=\sqrt{1-\frac{1}{2} u^2 \left(1+\left| \frac{u^2-v^2}{u^2+v^2}\right|\right)-\frac{1}{2} v^2 \left(1+\left| \frac{u^2-v^2}{u^2+v^2}\right|\right)}$

Anhang: Wie die Formel abgeleitet wurde

Der klassische Stil des Geschichtenerzählens in mathematischen Texten besteht aus dem Wechsel von Deckspelzen / Theoremen und ihren Beweisen - als ob die nachweisbaren Aussagen in den Köpfen der Autoren durch eine Offenbarung von oben erschienen wären. Und obwohl dies eine gewisse Wahrheit ist, gehen dem Erscheinen von Formeln häufiger einige Forschungsarbeiten voraus, deren Beschreibung ein besseres Verständnis ihrer Bedeutung vermitteln kann als formale Beweise; und die Treue der Aussagen kann wiederum durch die Treue der Schritte verfolgt werden, die zu ihnen geführt haben.

Auch hier - wenn der Artikel mit einer Formel in komplexer Form beginnen würde, wäre sein Erscheinungsbild nicht offensichtlich und nicht intuitiv, und die deklarierten Eigenschaften würden zusätzliche Beweise erfordern. In der trigonometrischen Form der Aufzeichnung ist es jedoch durchaus möglich, die Geschichte ihres Auftretens zu verfolgen.

1) Wir beginnen mit dem einfachsten Fall - der Aufgabe, eine gerade Linie in Polarkoordinaten zu zeichnen. Dazu müssen Sie die Gleichung lösen

r \cos (ϕ) = 1

$r \cos (\phi )=1$ deren Lösung ist offensichtlich

r \to \sec (ϕ)

$r\to \sec (\phi )$ ...

2) Ferner muss das Sekantenargument "geloopt" werden, um Knicke in einer geraden Linie bereitzustellen. In diesem Stadium verwenden andere Lösungen einen "Dirty Hack" in Form eines Divisionsrestes. Es wird auch die sequentielle Aufnahme der direkten und inversen Sinusfunktion verwendet -

\sin^{- 1} (\sin (ϕ))

$\sin ^{-1}(\sin (\phi ))$

Mit diesem Ansatz können Sie mathematische Standardoperationen für die resultierende Formel ausführen.

z.B

\frac{\partial \sin^{- 1} (\sin (ϕ))}{\partial ϕ} = \frac{\cos (ϕ)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (ϕ)}}

$\frac{\partial \sin ^{-1}(\sin (\phi ))}{\partial \phi }=\frac{\cos (\phi )}{\sqrt{1-\sin ^2(\phi )}}$

Dank der gleichen Notation können Sie die Quadratfunktion in Polarkoordinaten mithilfe der komplexen Darstellung trigonometrischer Funktionen zu einem ästhetischeren Erscheinungsbild vereinfachen. In Wolfram Mathematica kann dies mit den Funktionen TrigToExp und ExpToTrig erfolgen:

Der Code

Sec[1/2 ArcSin[k Sin[2 \[Phi]]]]^2//TrigToExp//ExpToTrig//Sqrt[#]&//FullSimplify

↓

\frac{2}{\sqrt{2 + 2 \sqrt{1 - k^{2} \sin^{2} (2 ϕ)}}}

$\frac{2}{\sqrt{2+2 \sqrt{1-k^2 \sin ^2(2 \phi )}}}$

Dank derselben Aufnahme können Sie mit einem zusätzlichen Multiplikator glatte Zwischenfiguren zwischen einem Kreis und einem Quadrat erhalten

k

$k$ aufgrund dessen das arcsine-Argument eins verfehlt -

\sin^{- 1} (k \sin (ϕ))

$\sin ^{-1}(k \sin (\phi ))$ ::

Und damit die Funktion einen bestimmten Punkt schneidet, müssen Sie nur eine Gleichung erstellen und neu berechnen

k

$k$ ::

\sqrt{\frac{2}{1 + \sqrt{1 - k^{'} \sin^{2} (\frac{π}{2})}}} = k

$\sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{1-k' \sin ^2( \frac{\pi}{2} )}}}=k$

Der Code

Solve[(Sqrt[2/(1+Sqrt[1-k Sin[2 \[Phi]]^2])] /. \[Phi]->Pi/4)==x, k] /. x->k

↓

k^{'} \to \frac{4 (k^{2} - 1)}{k^{4}}

$k'\to \frac{4 \left(k^2-1\right)}{k^4}$

3) Parameter

n

$n$ und

m

$m$ wurden nur auf kreative Weise hinzugefügt und ihre Auswirkungen wurden tatsächlich experimentell untersucht.

4) Das Rechteck ist leicht zu erhalten, indem Sie zur parametrischen Ansicht gehen und die Achsen "strecken"

x = a \cos (t) \sqrt{\frac{2}{1 + \sqrt{1 - \sin^{2} (2 t)}}}

$x=a \cos (t) \sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{1-\sin ^2(2 t)}}}$

y = b \sin (t) \sqrt{\frac{2}{1 + \sqrt{1 - \sin^{2} (2 t)}}}

$y=b \sin (t) \sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{1-\sin ^2(2 t)}}}$

Aber danach

t

$t$ wird jetzt nicht mehr Winkel bedeuten

t

$t$ Ist nur ein Parameter, der einen Vektor durch seine Projektionen auf die Koordinatenachsen beschreibt. Um zu den Polarkoordinaten zurückzukehren, müssen Sie die Länge des Vektors (durch die Wurzel der Quadratsumme) und den Winkel (durch den Arkustangens des Verhältnisses) ermitteln und diesen Winkel durchdrücken

ϕ

$\phi$ und ersetzen Sie stattdessen den resultierenden Ausdruck

t

$t$ ...

Der Code

With[{r = Sqrt[2/(1 + Sqrt[
      

        
        
        
      

    
 1 - Sin[2 t]^2])]}, {Sqrt[(a r Cos[t])^2 + (b r Sin[t])^2], 
      

        
        
        
      

    
 ArcTan[(b r Sin[t])/(a r Cos[t])]}] // Simplify

↓

{\sqrt{2} \sqrt{\frac{a^{2} \cos^{2} (t) + b^{2} \sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (2 t)} + 1}}, \tan^{- 1} (\frac{b \tan (t)}{a})}

$\left\{\sqrt{2} \sqrt{\frac{a^2 \cos ^2(t)+b^2 \sin ^2(t)}{\sqrt{\cos ^2(2 t)}+1}},\tan ^{-1}\left(\frac{b \tan (t)}{a}\right)\right\}$

Solve[ArcTan[(b Tan[t])/a]==\[Phi], t]

↓

t \to \tan^{- 1} (\frac{a \tan (ϕ)}{b})

$t\to \tan ^{-1}\left(\frac{a \tan (\phi )}{b}\right)$

Sqrt[2] Sqrt[(a^2 Cos[t]^2 + b^2 Sin[t]^2)/(1 + Sqrt[Cos[2 t]^2])]
      

        
        
        
      

    
/. t -> ArcTan[(a Tan[\[Phi]])/b] // Simplify

↓

\sqrt{2} \sqrt{\frac{a^{2} b^{2} \sec^{2} (ϕ)}{(a^{2} \tan^{2} (ϕ) + b^{2}) (\sqrt{\cos^{2} (2 \tan^{- 1} (\frac{a \tan (ϕ)}{b}))} + 1)}}

$\sqrt{2} \sqrt{\frac{a^2 b^2 \sec ^2(\phi )}{\left(a^2 \tan ^2(\phi )+b^2\right) \left(\sqrt{\cos ^2\left(2 \tan ^{-1}\left(\frac{a \tan (\phi )}{b}\right)\right)}+1\right)}}$

Die Vereinfachung einer solchen Formel ist bereits schwieriger, und dies erfordert mehrere Schritte:

Gehen Sie zu kartesischen Koordinaten, indem Sie sie ersetzen $\phi \to \tan ^{-1}(x,y)$ ;;
gehe zur Exponentialform;
vereinfachen;
Machen Sie einen umgekehrten Austausch $x\to \cos (\phi )$ und $y\to \sin (\phi )$ ;;
gehe zurück zur Exponentialform;
vereinfachen.

Als Ergebnis erhalten wir die folgende Formel:

Der Code

Sqrt[2] Sqrt[(a^2 b^2 Sec[\[Phi]]^2) /
      

        
        
        
      

    
((1 + Sqrt[Cos[2 ArcTan[(a Tan[\[Phi]])/b]]^2])
      

        
        
        
      

    
(b^2 + a^2 Tan[\[Phi]]^2))] /. \[Phi] -> ArcTan[x, y] 
      

        
        
        
      

    
// TrigToExp // Simplify 
      

        
        
        
      

    
// # /. {x -> Cos[\[Phi]], y -> Sin[\[Phi]]} & 
      

        
        
        
      

    
// TrigToExp // Simplify // FullSimplify

↓

2 \sqrt{\frac{a^{2} b^{2}}{((b^{2} - a^{2}) \cos (2 ϕ) + a^{2} + b^{2}) (1 + \sqrt{\frac{{((a^{2} + b^{2}) \cos (2 ϕ) - a^{2} + b^{2})}^{2}}{{((b^{2} - a^{2}) \cos (2 ϕ) + a^{2} + b^{2})}^{2}}})}}

$2 \sqrt{\frac{a^2 b^2}{\left(\left(b^2-a^2\right) \cos (2 \phi )+a^2+b^2\right) \left(1+\sqrt{\frac{\left(\left(a^2+b^2\right) \cos (2 \phi )-a^2+b^2\right)^2}{\left(\left(b^2-a^2\right) \cos (2 \phi )+a^2+b^2\right)^2}}\right)}}$

Fazit

Wie Sie sehen können, können Sie selbst in einer so einfachen und alltäglichen Sache wie einem Polygon etwas Neues finden und sich etwas einfallen lassen. Und die Geschichte endet nicht dort - die Flächenformel für den allgemeinen Fall blieb unbekannt, die Formel für ein beliebiges und nicht nur reguläres Polygon blieb unbekannt, und die Erweiterung in Potenz- und trigonometrische Reihen wurde ohne Berücksichtigung gelassen. Wahrscheinlich gibt es auch eine ähnliche Formel für den dreidimensionalen Fall.

Wenn Ihnen also gesagt wird, dass alles in der Mathematik bereits erfunden wurde und es nur Probleme gibt, die für einen normalen Menschen unverständlich sind, glauben Sie es nicht. Es gibt viele rein praktische Probleme, die echten Mathematikern nicht bekannt sind, oder sie sind nicht an ihrer Lösung interessiert, weil sie keinen ausreichenden Hype um sich haben oder weil sie bereits eine ungefähre Vorstellung davon haben, wie sie erreicht werden können. Haben Sie keine Angst, Probleme anzugehen, deren Lösungen in Wikipedia nicht verfügbar sind, haben Sie keine Angst, ihre Lösungen zu veröffentlichen, und haben Sie keine Angst, die Kommentare unter den Artikeln über die Nutzlosigkeit von allem zu lesen.

PS das Originaldokument für Mathematica herunterladen hier .

Wie zeichnet man einen Stern (und mehr) in Polarkoordinaten

Komplexe Form und Modifikationen

Quads und so

Gehen Sie zu den kartesischen Koordinaten

Anhang: Wie die Formel abgeleitet wurde

Fazit

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