Was ist die Frage - das ist die Antwort: Wenn wir das Problem formalisieren, legen wir bereits die mögliche Antwort fest

Ein interessanter und lehrreicher Artikel "Eine zufällige Straßenbahn mitten in einer unbekannten Stadt" bietet folgendes Experiment:

Stellen Sie sich vor, jemand nahm einen Streifen eines N cm langen fotografischen Films und beschloss zu beobachten, wie Partikel aus dem Weltraum ihre Spuren darauf hinterlassen. Der Fallfilm der experimentellen Wahrscheinlichkeitsdichteskala auf den Partikeln wird in einer gleichmäßigen Verteilung im Intervall 0 bis N beschrieben . In diesem Experiment gibt der Experimentator den Abstand k zwischen dem linken Rand des Films und dem Punkt an, an dem das erste registrierte Partikel getroffen wurde. Nach wie vor müssen Sie eine angemessene Schätzung für das unbekannte Sie von N abgeben .

Um dieses Problem zu lösen, wurde die folgende Annahme getroffen:

Stellen Sie sich nun vor, dass in einem Experiment der Abstand vom Aufprallpunkt des Partikels zum linken Rand des fotografischen Films gleich P1 war und in einem anderen Experiment - P2 , mit P1 <P2 . Wäre es dann nicht vernünftig, im ersten Experiment eine kleinere Schätzung für die Länge des fotografischen Films vorzunehmen als im zweiten?

Ich habe mich in Zahlen gefragt - ist es immer und wie vernünftig ist es?



Diese Notizen sind keine Fortsetzung und Diskussion des Artikels, aus dem das Zitat stammt. Dies ist ein Versuch zu sehen, wie sich die Formulierung des Problems selbst, die eingeführten Einschränkungen, die in der Formalisierungsphase angenommenen Annahmen und Bedingungen in der erhaltenen Antwort widerspiegeln. Ich werde keine Formeln angeben und versuchen, keine speziellen Begriffe zu verwenden. Es scheint mir, dass das Problem der Abhängigkeit des Ergebnisses von den akzeptierten oder nicht akzeptierten Annahmen deutlicher sichtbar wird.

Zunächst werde ich das Experiment modifizieren, vereinfachen und erden.

Das Schicksal oder unser Assistent hat eine Tasche, in der die Fässer der Reihe nach nummeriert sind, wie bei einem Lotto. Der Assistent (es fällt mir leichter, ihn mir vorzustellen als das Schicksal) holt heimlich zufällig ein Fass aus uns heraus und gießt entsprechend der Nummer auf dem Fass in die ersten nummerierten Bälle der Truhe. Dann wiederholt er den Vorgang des zufälligen Entfernens des Fasses und gießt die entsprechende Anzahl nummerierter Kugeln in die zweite Truhe. Vor uns liegen zwei Truhen mit einer unbekannten Anzahl von Bällen. Wir ziehen nach dem Zufallsprinzip eines Balls aus dem ersten und einer Kugel aus dem zweiten Kasten, und stellen eine vernünftige Annahme , dass die Hoch nummerierte Kugel entspricht die Brust mit einer großen Anzahl von Kugeln.

Lassen Sie uns abschätzen, wie vernünftig die Annahme ist.

Lassen Sie uns das Problem formalisieren und verfeinern

1. Da sich die Fässer im Beutel befinden, müssen sie auf eine bestimmte Anzahl begrenzt werden. Unter Berücksichtigung der ursprünglichen Quelle über die Anzahl der Straßenbahnlinien war die Anzahl der Fässer bisher auf 30 begrenzt.



2. Aber was sollen wir tun, wenn wir Bälle mit der gleichen Anzahl aus den Truhen herausnehmen? Wir haben folgende Möglichkeiten:



2.1, um das Ergebnis als erfolglos zu erkennen, keine Entscheidungen zu treffen und den Assistenten zu bitten, die Truhen erneut auszufüllen.



2.2 Wirf eine Münze und entscheide nach dem Zufallsprinzip, welche Truhe mehr Bälle hat. Diese Option wird keine unglücklichen Ergebnisse bringen.



2.3 entscheiden, dass, da die Zahlen gleich sind, auch die Anzahl der Bälle in den Truhen gleich ist. Auch bei dieser Option werden keine erfolglosen Ergebnisse erzielt.



Hier möchte ich darauf hinweisen, dass ich nicht wähle, welche Option besser ist. Mein Ziel ist es zu sehen, wie sich verschiedene Optionen auf die Antwort auswirken.



3. Da wir eine andere Anzahl von Ergebnissen haben, stellt sich die Frage: "Und aus welcher Anzahl von Ergebnissen wird der Anteil der richtigen Antworten gezählt?" Aus allen Erfahrungen oder nur aus erfolgreichen Ergebnissen? Zählen wir beide Optionen.



4. Der Assistent holte das erste Fass heraus, sah sich die Nummer an und goss die entsprechende Anzahl Bälle in die erste Truhe. Halt! Und was hat er dann mit dem entfernten Fass gemacht? Er hat zwei Möglichkeiten: Setzen Sie das Fass wieder in die Tasche oder nicht wieder in die Tasche. Oder was auch immer - der Assistent könnte zwei Fässer gleichzeitig bekommen und Bälle in die Truhen gießen, entsprechend den Zahlen, die auf den Fässern entnommen wurden. Die Assistenten sind faul, aber wir sehen nicht, was er dort tut. In diesem Fall werden wir niemals die gleiche Anzahl von Bällen in der Brust haben und daher erfolglose Ergebnisse erzielen. Dieser Punkt weicht deutlich von der Aufgabe aus dem Zitat ab, bei dem das Fass wieder in den Beutel zurückgelegt wird, aber ich habe andere Ziele, und die Nichtrückgabe des Fasses ist eine typische Lebenssituation. Wir werden diese Option berechnen.



Wir haben also drei Möglichkeiten, um die Ergebnisse des Experiments zu zählen, bei dem die Anzahl der Bälle gleich ist, zwei Optionen zur Berechnung des Anteils der richtigen Antworten und zwei Optionen zum Füllen der Truhen mit Bällen. Insgesamt 12 Varianten der Versuchsergebnisse!



Wie hängt die Wahrscheinlichkeit der richtigen Antwort von der Anzahl der Fässer im Schicksalsbeutel ab, dh von der maximal möglichen Anzahl von Bällen in der Brust? Vielleicht sind alle Optionen gleich? Vielleicht haben die Optionen den gleichen Trend? In diesem Moment versuchte ich, meine Intuition zu testen, indem ich die folgende Tafel ausfüllte:







Es stellte sich heraus, dass ich meine Intuition trainieren und trainieren sollte. Ich habe den Teller von vielen meiner Überlegungen befreit.



Um nicht mit Formeln müde zu werden, die zwar schön sind, aber immer wieder vorkommen, und ich wiederkehrende Formeln nicht auf geschlossene Formeln reduzieren kann, beschreibe ich den allgemeinen Berechnungsalgorithmus:



1. Für jede Anzahl von Fässern in einem Beutel können wir eine Liste aller Optionen zum Füllen von Truhen mit Kugeln erstellen.



Beispiel: Wenn die Anzahl der Fässer 4 beträgt, erhalten wir 16 Optionen zum Füllen von zwei Truhen mit der Anzahl der Kugeln: 1 und 1, 1 und 2, 1 und 3, 2 und 1, 2 und 2 ... 4 und 4.



2. Für jede Variante des Füllens der Truhen zählen wir die Anzahl der richtigen Antworten für drei Varianten des Zählens gleicher Bälle.



Beispiel: Um die Truhen 2 und 3 zu füllen (in der ersten Truhe gibt es 2 Kugeln, in der zweiten 3), erhalten Sie die folgende Tabelle.







3. Addieren Sie für die ausgewählte Anzahl von Fässern alle richtigen Antworten für jede Option zum Füllen der Truhen.



4. Wir berechnen den Anteil der richtigen für die beiden Zähloptionen (im Verhältnis zur Gesamtzahl der Experimente und zur Anzahl der erfolgreichen).



5. Wir zählen auch Punkte von 3 bis 4 für die Option, wenn das Fass nicht in den Beutel zurückkehrt, dh wenn wir nicht die gleiche Anzahl von Bällen in der Truhe haben können.



Ich habe die Anzahl der Fässer von 1 bis 8 und 30 gezählt, um den Trend zu zeigen. Hier sind die Grafiken.

Zuerst für die Option, wenn das Fass wieder in den Beutel gegeben wird

Mit einer Zunahme der Anzahl der Fässer im Beutel und folglich einer Zunahme der möglichen Anzahl von Bällen in Truhen steigt die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Bewertung und die Differenz zwischen den Optionen nimmt ab. Seltsamerweise ist die Wahrscheinlichkeit nicht immer höher als 0,5. Das gelbe Diagramm ist auch merkwürdig, es gibt einen Rückgang und erst dann einen Anstieg. Im Allgemeinen war der Bereich von 1 bis 7 für mich nicht offensichtlich.



Es stellt sich heraus, dass bei weniger als 8 Bällen für die Variante des Zählens „Gleich gilt als Fehler. Der Prozentsatz der richtigen wird aus allen Experimenten gezählt. "Eine zufällige Antwort liefert ein besseres Ergebnis als die Regel" Mehr Ballnummer bedeutet, dass die Brust mehr Bälle enthält. "

Diagramme für die Option, wenn das Fass nicht in den Beutel zurückkehrt und sich daher nicht die gleiche Anzahl von Bällen in der Truhe befinden kann

Grafiken sind drei, da die beiden gleich sind, sind sie rot markiert.



Bei vier Optionen sinkt die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Antwort und tendiert anscheinend zu 0,5! (?) Mit anderen Worten, bei diesen Optionen für eine große Anzahl von Bällen in Truhen können Sie das Experiment überhaupt nicht durchführen, sondern einfach eine Münze werfen - das Ergebnis ist das gleiche. Aus diesem Grund habe ich mich entschlossen, verschiedene Optionen zu berechnen. Ich hatte einige Überraschungen erwartet. Ich habe keinen strengen Beweis dafür, dass die Wahrscheinlichkeit genau bei 0,5 liegt. Dies ist wieder meine Intuition und scheitert oft.



Ich möchte noch einmal betonen, dass es in diesen Notizen nicht darum geht, die richtige Strategie zu wählen oder zu bewerten, welche Option besser ist. Das Interesse bestand darin, die Auswirkungen verschiedener Optionen zum Festlegen von Bedingungen auf das Ergebnis zu sehen.



PS Wie ich wollte, habe ich es geschafft, keine Formeln zu verwenden und einen speziellen Begriff zu verwenden - eine wiederkehrende Formel nur einmal.



PPS Wenn Sie zu faul sind, um Wikipedia anzusehen, lautet die wiederkehrende Formel, wenn Sie zu Hausnummer 30 kommen müssen, aber zuerst alle vorherigen Häuser mit Nummern von 1 bis 29 besuchen müssen.