😳 🤙🏾 🌖 Geometrische Darstellung der Raumkrümmung in der Schwarzschild-Metrik 👩🏽‍💻 🎳 🕘

... oder zwei plus zwei gleich vier.

Um den Artikel zu verstehen, reicht ein Schulmathematikkurs aus.

Die Form des Faktors in der Schwarzschild-Metrik hat mich lange Zeit mit seiner exquisiten Duplizität verfolgt, und ich habe beschlossen, einige Zeit darauf zu verwenden, Wege zu finden, sie zu transformieren. Die Schwarzschild-Metrik selbst wird als Ergebnis der Lösung der allgemeinen Relativitätstheorie für den Vakuumfall erhalten (der Energie-Impuls-Tensor ist Null):

d s^{2} = - (1 - 2 \frac{G M}{c^{2} r}) c^{2} d t^{2} + {(1 - 2 \frac{G M}{c^{2} r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GM}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Es beschreibt das Raum-Zeit-Kontinuum in der Nähe eines beliebigen kompakten massiven Objekts. Kompakt, was bedeutet, dass die Abweichungen der Form in Bezug auf die Masse unbedeutend sind. Einfach gesagt, rund und fest. Normalerweise wird hier ein Schwarzes Loch als Beispiel verwendet. Aus irgendeinem Grund gibt niemand Beispiele für nicht kompakte Objekte. Ein luftdichter Schaumstoff haftet im offenen Raum in unendlicher Entfernung von massiven Objekten, wie z. B. einem nicht kompakten Objekt. Das Würfelpferd in der Ferne, von dem aus man auch die Traurigkeit in seinen Augen sehen kann.

Durch das Volumen der 3-Kugel

Wir werden einen Ersatz machen:

M = \frac{E}{c^{2}}

$M=\frac{E}{c^2}$

Dann wird die Metrik folgendermaßen aussehen:

d s^{2} = - (1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r}) c^{2} d t^{2} + {(1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = - \left(1- 2 \frac{GE}{c^\color{red}{4} r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- 2 \frac{GE}{c^\color{red}{4} r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Der Austausch wurde nur benötigt, um auf den vierten Grad der Lichtgeschwindigkeit aufmerksam zu machen, da alle Zahlen in den Formeln eine Rolle spielen. Dies wird durch die gesamte Geschichte der Physik belegt - jede empirisch erhaltene Formel erhält im Laufe der Zeit eine theoretische Grundlage, auf der die Bedeutung aller darin enthaltenen mathematischen Formen erklärt wird.

Normalerweise wird bei der Darstellung dieser Metrik der Teil, der den physikalischen Konstanten und der Masse des Körpers, der das Feld erzeugt, zugeordnet ist, als Schwarzschild-Radius ausgedrückt:

r_{s} = 2 \cdot \frac{G E}{c^{4}}

$r_s = 2 \cdot \frac{GE}{c^4}$

weil die Metrik an dieser Stelle eine Singularität hat. Hier bleibt die Zeit buchstäblich stehen.

So sieht die gesamte Metrik aus:

d s^{2} = - (1 - \frac{r_{s}}{r}) c^{2} d t^{2} + {(1 - \frac{r_{s}}{r})}^{- 1} d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = - \left(1- \frac{r_s}{ r}\right) c^2 dt^2 + \left(1- \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Aber in Fortsetzung der Überlegungen über das physikalische Wesen von Phänomenen, diese beiden:

r_{s} = 2 \cdot \frac{G E}{c^{4}}

$r_s = \color{red}{2} \cdot \frac{GE}{c^4}$

muss auch verstanden werden. Deshalb stellen wir es so dar:

u = \frac{G E}{c^{4}}

$u = \frac{GE}{c^4}$

Es ist nur die Hälfte des Gravitationsradius

r_{s}

$r_s$ und seine Dimension ist die gleiche. Wir bekommen:

1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r} = 1 - 2 \frac{u}{r}

$1 - 2\frac{GE}{c^4r} = 1 - 2\frac{u}{r}$

Es bietet sich an:

= (1 - 2 \frac{u}{r} + \frac{u^{2}}{r^{2}}) - \frac{u^{2}}{r^{2}} = {(1 - \frac{u}{r})}^{2} - \frac{u^{2}}{r^{2}} = {(\frac{r - u}{r})}^{2} - \frac{u^{2}}{r^{2}} =

$= \left( 1 - 2\frac{u}{r} + \frac{u^2}{r^2} \right) - \frac{u^2}{r^2} = \left( 1 - \frac{u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} = \left( \frac{r - u}{r} \right)^2 - \frac{u^2}{r^2} =$

= \frac{(r - u)^{2} - u^{2}}{r^{2}} (1)

$= \frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} \qquad \qquad (1)$

Nicht schon schlecht. Lass uns malen. Vorstellen

r = O B

$r = OB$ Endsegment,

u = O A

$u = OA$ - ein Teil davon, wie in der folgenden Abbildung gezeigt. Es ist klar, dass

(r - u) = A B

$(r-u) = AB$ ...

Bild

Es ist übrigens merkwürdig, welche von

r_{s} = 2 u

$r_s = 2u$ Daraus folgt, dass der Punkt

A

$A$ befindet sich hinter (unter) dem Ereignishorizont des Energieobjekts

E

$E$ ... Es ist so leicht zu finden, aber wir können nicht.

Nun werden wir zeigen, dass eine Beziehung der Form

(1)

$(1)$ wird für alle Punkte ausgeführt, die eine geometrische Position auf der Senkrechten zu haben

O B

$OB$ am Punkt

A

$A$ ::

\frac{(r - u)^{2} - u^{2}}{r^{2}} = \frac{((r - u)^{2} + a^{2}) - (u^{2} + a^{2})}{r^{2}} = \frac{b^{2} - d^{2}}{r^{2}} (2)

$\frac{(r-u)^2 - u^2}{r^2} = \frac{((r-u)^2 + a^2) - (u^2 + a^2)}{r^2} = \frac{b^2 - d^2}{r^2} \qquad \qquad (2)$

für jeden

b = C B

$b = CB$ und

d = O C

$d = OC$ ...

Einfach ausgedrückt, der Unterschied der Quadrate

(r - u)^{2} - u^{2}

$(r-u)^2 - u^2$ entspricht der Differenz aller Größen, deren Projektionen auf

O B

$OB$ sind

A B

$AB$ und

O A

$OA$ vorausgesetzt, dass der Punkt

C

$C$ sie haben gemeinsam.

Nehmen wir weiter an, dass

u = u (E)

$u = u(E)$ und

(r - u)

$(r-u)$ umgekehrt Projektionen

r = O B

$r = OB$ auf einigen Achsen also die pythagoreische Summe zweier Größen in ihrer ursprünglichen Form senkrecht zueinander. Betrachten Sie den Fall, indem Sie dies in eine Anforderung umsetzen

∠ O C B = π / 2

$\angle{OCB} = \pi/2$ wofür es wahr ist:

b^{2} = r^{2} - d^{2} \to (2) \to \frac{b^{2} - d^{2}}{r^{2}} = 1 - 2 \frac{d^{2}}{r^{2}} (3)

$b^2 = r^2 - d^2 \rightarrow (2) \rightarrow \frac{b^2 - d^2}{r^2} = 1 - 2\frac{d^2}{r^2} \qquad \qquad (3)$

Wir werden abschließen

(3)

$(3)$ ähnlich der anfänglichen Iteration:

1 - 2 \frac{d^{2}}{r^{2}} = (1 - 2 \frac{d^{2}}{r^{2}} + \frac{d^{4}}{r^{4}}) - \frac{d^{4}}{r^{4}} = \frac{(r^{2} - d^{2})^{2} - d^{4}}{r^{4}} =

$1 - 2\frac{d^2}{r^2} = \left( 1 - 2\frac{d^2}{r^2} + \frac{d^4}{r^4} \right) - \frac{d^4}{r^4} = \frac{(r^2-d^2)^2 - d^4}{r^4} =$

= \frac{b^{4} - d^{4}}{{\sqrt{b^{2} + d^{2}}}^{4}} = \frac{b^{4} - d^{4}}{r^{4}} (4)

$= \frac{b^4 - d^4}{\sqrt{b^2 + d^2}^4} = \frac{b^4 - d^4}{r^4}\qquad \qquad (4)$

Hier ist der vierte Grad. Formel für das Volumen einer 3-Kugel:

V = \frac{π^{2} \cdot R^{4}}{2}

$V = \frac{\pi^2 \cdot R^4}{2}$

Dies meine ich, wenn Sie multiplizieren und teilen

(4)

$(4)$ auf

π^{2} / 2

$\pi^2/2$ ::

\frac{b^{4} - d^{4}}{r^{4}} = \frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{2}{π^{2}} \cdot \frac{b^{4} - d^{4}}{r^{4}} = \frac{V_{b} - V_{d}}{V_{r}} (5)

$\frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{\pi^2}{2} \cdot \frac{2}{\pi^2} \cdot \frac{b^4 - d^4}{r^4} = \frac{V_b - V_d}{V_r} \qquad \qquad (5)$

dann wird der Faktor in der Schwarzschild-Metrik zur Differenz zwischen den Volumina zweier 3-Kugeln, die um zwei radiale Projektionen eines Punktes relativ zum Feldmittelpunkt aufgebaut sind und mit dem Volumen einer 3-Kugel korrelieren, das durch den Gesamtabstand zwischen dem Punkt und dem Feldmittelpunkt gebildet wird.

Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass der Gesamtradius durch Projektionen gegeben ist, wird diese gesamte Konstruktion sehr prägnant durch zwei Parameter festgelegt, von denen einer mit der Energie zusammenhängt und der zweite nicht. Es gibt genau zwei Koordinaten.

Schlussfolgerungen

Die bemerkenswerten Konsequenzen einer solchen Darstellung sind:

1. Aus der Form des Multiplikators ist ersichtlich, dass das Verhalten des Photons die sichtbare Zone der fünfdimensionalen Raumzeit begrenzt. Draußen können Sie etwas Gravitierendes, aber Unsichtbares verstecken.

2. Das Vorhandensein der zweiten verborgenen Koordinate beseitigt das Nullzeitparadoxon.

3. Da die Krümmung des Raums um einen massiven Körper immer in zwei Komponenten zerlegt werden kann, von denen eine mit der Energie des Körpers und die zweite ausschließlich mit dem Raum verbunden ist, besteht der nächste Schritt darin, die Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie für den Vakuumfall der fünfdimensionalen Raumzeit zu lösen. Mehr dazu im nächsten Artikel.

Bonus. Über die Ecke

Offensichtlich ist es möglich, die Bedeutung des Feldes an einem Punkt durch einen flachen Winkel auszudrücken, der die Abweichung der Bewegungsbahn vom flachen Raum (in Abwesenheit von Gravitationsfeldern) ausdrückt.

Lassen Sie uns die Mengen ausdrücken

b

$b$ und

d

$d$ über die Ecke

α = ∠ O B C

$\alpha = \angle{OBC}$ ::

b = r \cdot \cos α; d = r \cdot \sin α

$b = r \cdot \cos\alpha; \ d = r \cdot \sin\alpha$ ... Nennen wir es den Krümmungswinkel der Flugbahn. Dann kann der Faktor auf sehr unterschiedliche Weise ausgedrückt werden:

1 - 2 \frac{G E}{c^{4} r} = \cos^{2} α - \sin^{2} α = \cos^{4} α - \sin^{4} α = 1 - 2 \sin^{2} α =

$1 - 2\frac{GE}{c^4r} = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos^4\alpha - \sin^4\alpha = 1 - 2 \sin^2\alpha =$

= \frac{1 - \tan^{2} α}{1 + \tan^{2} α} = \cos 2 α (6)

$= \frac{1-\tan^2\alpha}{1 + \tan^2\alpha} = \cos2\alpha \qquad \qquad (6)$

Besonders gut gefällt mir die Tangentenversion.

Bild

Ersatz im ursprünglichen Intervall:

d s^{2} = - \cos 2 α \cdot c^{2} d t^{2} + \cos^{- 1} 2 α \cdot d r^{2} + r^{2} \cdot d θ^{2} + r^{2} \cdot \sin^{2} θ \cdot d ϕ^{2}

$ds^2 = -\cos 2\alpha \cdot c^2dt^2 + \cos^{-1} 2\alpha \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2$

Alles, wie es sollte, wird zu einer flachen Minkowski-Metrik für

α = 0

$\alpha = 0$ ...

Es sollte definitiv ein Fünftel geben ...

Fortsetzung folgt.

Geometrische Darstellung der Raumkrümmung in der Schwarzschild-Metrik

Durch das Volumen der 3-Kugel

Schlussfolgerungen

Bonus. Über die Ecke

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