Entscheidungen treffen

In dieser Arbeit geht es um die Sicherheit von Informationssystemen, in denen ernsthafte Informationsentscheidungen getroffen werden und die in drei Typen unterteilt werden können:

• Erstens Informationsabrufsysteme (Informationsabrufsysteme (ISS), Informationsmesssysteme (IIS) und andere);
• zweitens Transceiver-Systeme (Datenübertragungssysteme (DTS), Anforderungs-Antwort-Systeme (ZOS) und andere);
• -, , ( , , ).

In allen Systemen ist Management ein wichtiges Phänomen, ein Prozess und eine Aktivität, zu denen als Komponenten die Organisation des Systems, die Zuweisung von Ressourcen (Planung), die Entscheidungsfindung und die Kommunikation gehören.



Es ist schwierig, einen Tätigkeitsbereich zu benennen, in dem nicht von Zeit zu Zeit Entscheidungen getroffen werden. Diese Situation und dieses Phänomen haben sowohl jetzt als auch in Zukunft immer stattgefunden. Eine Person wird keinen Finger rühren, ohne eine Entscheidung darüber zu treffen. Es ist nicht immer realisiert, aber es ist genau so.



Hier (in der Arbeit) konzentrieren wir uns auf die Theorie der Wahl und Entscheidungsfindung, die die mathematischen Modelle der Entscheidungsfindung und ihre Eigenschaften untersucht. Die Wissenschaft der Entscheidungsfindung hat sich lange Zeit einseitig entwickelt. Das klassische Schema wird von der statistischen Theorie abgedeckt, die auf der Risikofunktion auf Fehlern der ersten und zweiten Art basiert.



Dieser Ansatz zur Entscheidungsfindung hat eine positive Rolle gespielt, und seine Anwendbarkeit wird heute nicht geleugnet, sondern beschränkt sich auf die Prinzipien der Rationalität. Der Ansatz ist nicht ohne Nachteile. Es gibt einen bekannten Slogan, der dem Klassiker (Gosset (Pseudonym Student)) aus der statistischen Theorie "über drei Arten von Lügen zugeschrieben wird: absichtlich, unbeabsichtigt und statistisch" zugeschrieben wird.



Eine andere Richtung der Entscheidungstheorie - die Algebra - trat etwas später auf, erwies sich jedoch als für das Verständnis (und folglich für die Anwendung) unzugänglich. Der Ansatz basiert auf der Theorie der partiellen Ordnungsbeziehungen und ihrer jeweiligen Version - Präferenzbeziehungen. Ich habe kürzlich darüber geschrieben , aber die Veröffentlichung wurde, gelinde gesagt, nicht genehmigt.



Ich sehe die Bösartigkeit dieser Praxis in der Tatsache, dass eine solche Haltung gegenüber der Veröffentlichung, den Lesern, die die Möglichkeit haben, negative Noten zu geben, langsamer wird und andere Leser davon abhält, sie kennenzulernen, indem sie sich auf die Meinung eines anderen verlassen.



Vielleicht kühlten sich die Hitzköpfe nach kurzer Zeit ab, in der Veröffentlichung wurde nichts Beleidigendes gesagt, aber jemand nahm meine Bemerkungen persönlich. Selbst die pädagogische Literatur des zweiten Ansatzes ist sehr begrenzt, und obwohl es Monographien gibt, sind sie schwer wahrnehmbar, was eine gewisse Bremse für die Entwicklung des Ansatzes darstellt.



Wenn es um Informationssicherheit (IS) geht, ist es wünschenswert, die gesamte Bandbreite der damit verbundenen Probleme und Aufgaben zu sehen, und natürlich ist die Aufgabe des Informationssicherheitsmanagements, insbesondere Auswahl und Entscheidungsfindung, in der vollständigen Liste der Aufgaben wichtig.



Im Allgemeinen kehre ich hier zur Theorie der Beziehungen und ihrer Anwendungen zurück, von denen einer der Mechanismus der Entscheidungsfindung und die Ergebnisse der Theorie der Entscheidungsfindung sind.... In dieser Veröffentlichung werde ich die wichtigsten Bestimmungen der Theorie offenlegen und im nächsten ein Beispiel geben, das die rechnerischen Aspekte und Details zeigt. Zunächst werde ich die Hauptthemenelemente des statistischen Ansatzes in der Entscheidungstheorie benennen und sie dann kurz beschreiben.



Risikofunktion (RF). Fehler, Art des Fehlers;

Anfänglicher Satz von Alternativen (IMA);

Optimalitätsprinzip (OP);

Entscheidungsträger (DM);

Auswahlfunktion (FV);

Utility-Funktion (FP);

Entscheidungskriterien.

Entscheidungsfindung und Möglichkeiten zur Risikominimierung

Die Entscheidung wird immer in einer Situation der Wahl getroffen, die Verluste, Zufälle und bestimmte Risiken beinhaltet, deren Minimierung wünschenswert ist. Wenn es keine Wahl gibt, gibt es nichts zu entscheiden, eindeutig zu handeln oder überhaupt nichts zu tun, wie die Alternative anzeigt.



Das Grundprinzip und der Zweck der Risikominimierung besteht darin, wirksame Schutzmaßnahmen anzuwenden, damit das Restrisiko im System akzeptabel wird.

Risikominimierung Nimmt die Lösung von drei Fragen an: Identifizierung der Bereiche, in denen das Risiko unannehmbar groß ist; Auswahl der wirksamsten Schutzmittel; Bewertung der Sicherheitsvorkehrungen und Feststellung, ob das Restrisiko im System akzeptabel ist.



In der wissenschaftlichen Forschung werden Hypothesen verwendet, die aufgestellt, formuliert, getestet, bestätigt oder widerlegt werden. Dies ist eine natürliche Art der Forschung. Hypothesen können inhaltlich sehr unterschiedlich sein, wie sie formuliert und wie sie getestet werden. Eine wichtige Klasse sind statistische Hypothesen, die entweder in Bezug auf die Form des Verteilungsgesetzes einer Zufallsvariablen oder in Bezug auf die Parameter dieses Gesetzes oder in Bezug auf die Rangordnung der Werte einer Zufallsvariablen formuliert werden.



Hypothesen, die in Bezug auf probabilistische und statistische Werte sowie Rangwerte formuliert wurden, werden unter Verwendung verschiedener Arten statistischer Techniken und Kriterien überprüft und bewertet. Die Ergebnisse der Prüfung und Auswertung statistischer Hypothesen ermöglichen es, qualitative Schlussfolgerungen zu den untersuchten Phänomenen zu ziehen. Zum Beispiel der Grad der Nähe des empirischen Verteilungsgesetzes einer Zufallsvariablen zum theoretischen Normal- oder Poisson-Gesetz.



Null- und Alternativhypothesen . Normalerweise Nullhypothese$$$_0$ besteht darin, dass eine Annahme über die Form des Wahrscheinlichkeitsverteilungsgesetzes einer Zufallsvariablen oder über den Parameter eines solchen Gesetzes oder über die Rangfolge getroffen wird. Eine andere Hypothese ist$$$_1$ heißt alternativ.



Ein Beispiel. Lassen Sie die Hypothese$$$_0$ - besteht darin, dass die Zufallsvariable dem Poisson-Verteilungsgesetz oder dem Normalverteilungsgesetz folgt. Alternative Hypothese$$$_1$ - Eine Zufallsvariable folgt weder dem Poisson-Verteilungsgesetz noch dem Normalverteilungsgesetz. Es kann mehrere alternative Hypothesen geben. Hypothese$$$_1$ wirkt als Negation.



Das Testen der Wahrheit von Hypothesen wird immer an einer zufälligen Stichprobe durchgeführt. Die Stichprobe ist jedoch begrenzt (endlich) und kann daher das Gesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Allgemeinbevölkerung nicht genau wiedergeben. Es besteht immer das Risiko, eine solche Hypothese zu formulieren, dass eine „schlechte“ Stichprobe völlig falsche Informationen über die Begründetheit des Falls liefert. Somit besteht immer die Möglichkeit, zu einer falschen Entscheidung zu gelangen.



Nach den Ergebnissen der Anwendung eines der Kriterien für die statistische Prüfung von Hypothesen

ergibt sicheine von vier Situationen: -Nullhypothese$$$_0$ akzeptiert und es ist wahr (bzw. die

falsche alternative Hypothese wird zurückgewiesen$$$_1$ );

-Null-Hypothese$$$_0$ abgelehnt und ist falsch (dementsprechend

wird die richtige alternative Hypothese akzeptiert$$$_1$ );

-Null-Hypothese$$$_0$ verworfen, obwohl es wahr ist (dementsprechend wird eine falsche Hypothese akzeptiert$$$_1$ );

-Null-Hypothese$$$_0$ akzeptiert, obwohl es falsch ist (dementsprechend wird die wahre alternative Hypothese verworfen$$$_1$ );

Die ersten beiden Situationen stellen die richtige Entscheidung dar, und die letzten beiden sind die falsche Entscheidung.



Fehler der ersten und zweiten Art.

Ein Fehler der ersten Art α1 ist eine Entscheidung, die darin besteht, die richtige Hypothese abzulehnen$$$_0$ (dritte Situation, oft als "Ziel verfehlen" bezeichnet).

Ein Fehler der zweiten Art α2 ist die Entscheidung, die Nullhypothese zu akzeptieren$$$_0$ , obwohl es falsch ist (als "falscher Alarm" bezeichnet).





Fehler der 1. und 2. Art können unterschiedliche Bedeutung haben und dann die Wahl als Haupthypothese $$$_0$ bei der Lösung des aktuellen Problems wird wichtig. Ein Fehler der ersten Art sollte als einer der möglichen Fehler angesehen werden, dessen Vermeidung wichtiger ist, d. H. Es ist besser, das Richtige zu finalisieren, als das Falsche zu akzeptieren.



Es sei ein Ereignis, das durch den Vektor dargestellt wird$$$S = S(x_1, x_2, …, x_n)$ im n-dimensionalen Raum, der nur zu einer der beiden Mengen V1 oder V2 gehören kann. Von Interesse ist eine Methode, die auf der Grundlage der Untersuchung eines durch einen Vektor dargestellten Ereignisses mit einer minimalen Fehlerwahrscheinlichkeit eine Antwort auf die Frage ermöglichen würde, welcher der beiden V1- oder V2-Sätze dem untersuchten Ereignis oder dem ihm entsprechenden Vektor zugeordnet werden soll.



Mit anderen Worten, die Methode muss das Ereignis klassifizieren und mit der Entscheidung enden, es einer bestimmten Klasse zuzuweisen. Theoretisch sind bei einer solchen Entscheidung Fehler zweier Art möglich, die genau als Fehler der ersten und zweiten Art bezeichnet werden. Gleichzeitig werden zwei Hypothesen aufgestellt:



$$$H_0(Sє V1)$ ist eine Hypothese unter der Annahme, dass das Ereignis S zur Menge V1 und gehört

$$$H_1(Sє V2)$ ist eine Hypothese unter der Annahme, dass das Ereignis S zur Menge V2 gehört.



Wir gehen davon aus, dass ein Fehler der ersten Art zulässig ist, wenn die Hypothese zurückgewiesen wird$$$H_0(Sє V1)$ , obwohl es gültig ist, und ein Fehler der zweiten Art ist zulässig, wenn die Hypothese akzeptiert wird$$$H_0(Sє V1)$ wenn die Hypothese$$$H_1(Sє V2)$ (1).

Normalerweise Nullhypothese$$$_0$ besteht darin, dass eine Annahme über das untersuchte Phänomen gemacht wird. Eine andere Hypothese$$$_1$ heißt alternativ.



Es kann mehrere alternative Hypothesen geben, und alle wirken als Negation der Null.

Hypothesentests werden immer an einer Zufallsstichprobe durchgeführt, aber im Experiment ist die Stichprobe immer endlich und kann daher das Wahrscheinlichkeitsverteilungsgesetz in der Allgemeinbevölkerung nicht genau wiedergeben.



Es besteht immer das Risiko, eine solche Hypothese zu formulieren, dass eine „schlechte“ Stichprobe völlig falsche Informationen über das Wesentliche des Falls liefert. Es besteht immer die Möglichkeit, zu einer falschen Entscheidung zu gelangen. Ein Fehler vom Typ I wird häufig als "Fehlen eines Ziels" bezeichnet, und ein Fehler vom Typ II wird als "Fehlalarm" bezeichnet.



In Konfliktsituationen bleibt das Prinzip der maximalen Effizienz uneingeschränkt gültig. Die Besonderheit des Konflikts ist die Unsicherheit der Situation, die zu Risiken führt. Folglich ist das allgemeine Prinzip des rationalen Verhaltens in einem Konflikt maximale Effizienz bei akzeptablem Risiko (oder Erreichen einer Effizienz, die nicht niedriger ist als die angegebene mit minimalem operationellen Risiko). Das Konzept des Risikos ist alles andere als eindeutig.



Durch die Analyse verschiedener Ereignisse und Gelegenheiten können Sie eine Regel finden, die die Lösung für jeden Punkt des betrachteten n-dimensionalen Raums bestimmt. In der Tat, wenn das beobachtete Ereignis eine Bedrohung darstellt, wenn es sich in Form eines Angriffs manifestiert$$$A = A(x_1, x_2, …, x_n)$ (2), das einem der beiden Bilder (Klassen) V1 oder V2 zugeordnet werden sollte, dann tritt eine Situation auf, die während der Mustererkennung auftritt.



Lassen Sie die Wahrscheinlichkeit einer Bedrohung (Angriff) erscheinen$$$S = S(x_1, x_2, …, x_n)$ , vorausgesetzt, sein Bild gehört zur Klasse V1. Diese Wahrscheinlichkeit, die die Dichte von Bildern (Mitgliedern) der Klasse V1 charakterisiert, wird als bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte in der Klasse V1 bezeichnet und bezeichnet$$$φ_(x_1,...,x_n/V1)$ oder $$$φ_(X_n/V1)$ (3) .



Die Bezeichnung für die bedingte Dichte der Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Klasse V2 wird ähnlich eingeführt, d.h.$$$φ_(X_n/V2)$ (4) .

Die Wahrscheinlichkeit eines "Fehlalarms", d.h. Die Entscheidung, dass es einen Angriff der Klasse V1 gibt, während der Angriff in Wirklichkeit zur Klasse V2 gehört, lautet wie folgt:

(5)

wobei$$$φ_(V2)$Ist die vorherige Wahrscheinlichkeit eines Angriffs eines Objekts der Klasse V2.



In ähnlicher Weise kann die Wahrscheinlichkeit, das Ziel zu verfehlen, wie folgt geschrieben werden : (6)

wobei$$$φ_(V1)$- a priori Wahrscheinlichkeit eines Angriffs eines Objekts der Klasse V1; und

$$$R_{V1}, R_{V2}$- Raumflächen der Klassen V1 und V2.



Von praktischem Interesse ist eine solche Entscheidungsregel, die das Risiko W oder die durchschnittlichen Kosten einer Entscheidung minimieren würde, die durch die folgende Formel bestimmt werden$$$W =α1P_{α1} + α2Pb$ (7) wobei α1 das Gewicht des Fehlers vom Typ I ist, ist α2 das Gewicht des Fehlers vom Typ II.



In Anbetracht dessen, dass die Bereiche$$$R_{V1}, R_{V2}$Wenn wir den gesamten Raum möglicher Werte bilden und das Integral der Wahrscheinlichkeitsdichte über den gesamten Raum gleich Eins ist, erhalten wir (8) Die



Interpretation dieses Ansatzes kann wie folgt sein. Das Problem der Auswahl der optimalen Lösung besteht darin, den Raum der Angriffsbilder in zwei Bereiche zu unterteilen$$$R_{V1}, R_{V2}$, so dass das Risiko W minimal ist. Aus dem Ausdruck für W sehen wir, dass zu diesem Zweck die Region$$$R_{V1}$sollte so gewählt werden, dass das Integral in (8) den größten negativen Wert annimmt.



In diesem Fall muss der Integrand den größten negativen Wert außerhalb der Region annehmen$$$R_{V1}$es gibt keinen anderen, bei dem der Integrand negativ ist, d.h. (9)



Aus Beziehung (9) erhalten wir leicht die folgende Entscheidungsregel S V1 if , (10)

die darin besteht, die Verhältnisse der Wahrscheinlichkeitsdichten mit einem bestimmten Schwellenwert θ zu vergleichen, der für bestimmte Werte der Gewichte α1 und α2 konstant ist. Diese Regel gehört zur Klasse der Bayes'schen Regeln, und das Verhältnis der Wahrscheinlichkeitsdichten wird als Ähnlichkeitskoeffizient bezeichnet.



Im Fall ist α1 = α2 und$$$φ_(V1)$ = $$$φ_(V2)$die Schwelle θ ist offensichtlich gleich eins, und hier ist alles mehr oder weniger klar. Probleme treten auf der linken Seite der Entscheidungsregel auf (10) . Bedingte Wahrscheinlichkeitsdichten$$$φ_(X_n/V1)$ und $$$φ_(X_n/V2)$sollen bekannt sein.



In der Tat ist dies nicht der Fall. Darüber hinaus ist das Erhalten ihres analytischen oder sogar numerischen Wertes mit erheblichen Schwierigkeiten verbunden. Daher sind sie meistens auf ungefähre Werte beschränkt, um die relative Häufigkeit zu bestimmen, mit der Angriffe eines Objekts aus der Klasse V1 auftreten. Die begrenzte Stichprobe wird angemessen verarbeitet und unbekannte Verteilungen werden aus den Verarbeitungsergebnissen geschätzt.



Der anfängliche Satz von Alternativen (Optionen) Ω, festgelegt durch die Situation, Einschränkungen, Ressourcen und andere Bedingungen. Das Set Ω muss bestellt werden. Definition. Eine lose Ordnung ist eine binäre Beziehung, reflexiv, transitiv und asymmetrisch.



Wenn ein solches BO nicht reflektierend ist, wird die Reihenfolge als streng bezeichnet. Wenn bei einer Bestellung zwei Alternativen vergleichbar sind, ist die Reihenfolge linear oder perfekt. Wenn nicht alle Alternativen vergleichbar sind, wird die Bestellung als partiell bezeichnet. Die Präferenzbeziehung ist ein Sonderfall der Bestellung.



Das Optimalitätsprinzip definiert das Konzept besserer Alternativen durch Abbildung von φ: Ω → E1. Diese Eigenschaft von Alternativen wird als Kriterium bezeichnet , die Zahl φ (x) ist eine Bewertung einer Alternative x durch ein Kriterium, E1 ist ein Kriteriumsraum, in dem die Koordinaten von Punkten quantitative Schätzungen gemäß den entsprechenden Kriterien sind.



Im Zentrum der Theorie steht das allgemeine Problem der Entscheidungsfindung, wobei sowohl der Satz von Alternativen Ω als auch das Optimalitätsprinzip unbekannt sein können. Bei bekannten Alternativen tritt ein Auswahlproblem und bei einem bekannten Optimalitätsprinzip zusätzlich ein allgemeines Optimierungsproblem auf .



Definition. Der Entscheidungsträger (DM) ist Gegenstand einer Entscheidung, die mit bestimmten Befugnissen ausgestattet ist und für die Folgen der angenommenen und umgesetzten Managemententscheidung verantwortlich ist.



Dies ist eine Person (oder eine Gruppe von Personen), die ein Ziel hat, das als Motiv für die Festlegung eines Entscheidungsproblems und die Suche nach dessen Lösung dient.

Die Präferenz des Entscheidungsträgers ist eine binäre Beziehung, die auf einer Reihe von Alternativen definiert ist und die Präferenzen des Entscheidungsträgers beschreibt, beispielsweise basierend auf paarweisen Vergleichen.



Definition .Die Risikofunktion beschreibt das Risiko oder den möglichen Verlust (Schaden) bei der Auswahl einer bestimmten Alternative. Risiko ist die mathematische Erwartung der Verlustfunktion aufgrund von Entscheidungen. Es ist eine quantitative Bewertung der Folgen einer Entscheidung. Die Risikominimierung ist das Hauptkriterium für die Optimalität in der Entscheidungstheorie.



Nach der Theorie der statistischen Entscheidungen muss eine Regel gefunden werden, die das Risiko minimiert$$$r$oder die durchschnittlichen Kosten für eine Entscheidung, die durch die Formel bestimmt werden $$$r = δ_α P_α + δ_β P_β$wo $$$δ_α$ - die Kosten (Gewicht) eines Fehlers vom Typ I; $$$δ_β$- die Kosten eines Fehlers vom Typ II.



Definition . Die Auswahlfunktion C dient als mathematischer Ausdruck des Optimalitätsprinzips und ist eine Abbildung, die jedes X ⊆ Ω mit seiner Teilmenge C (X) ⊆ X assoziiert [8, S. 32].

Eine Reihe von Optionen (Alternativen) Ω = {$$$x_i, i = 1(1)4$}.



Betrachten Sie die Auswahlfunktion C für diesen Satz Ω.$$$(x_i) = x_i;$ $$$(x_i, x_j) = x_k;$wo $$$k = min(i, j);$ $$$C(x_i, x_j, x_k) = (x_i, x_j, x_k) -x_r$wo $$$r = max(i, j, k); C(Ω) = x_1$...

Diese Funktion kann in logischer Form durch eine Tabelle dargestellt werden.



In der Tabelle ist β (X) die dargestellte Menge von Alternativen, β (C (x)) ist das Ergebnis der Auswahl in logischen (Booleschen) Variablen.

Der Kern der Entscheidung besteht darin, eine geeignete Alternative auszuwählen.



Definition . Funktionalität$$$U(x)$- eine Funktion, mit der Präferenzen für bestimmte realisierbare Alternativen dargestellt werden können. Funktion$$$U(x)$definiert für eine geordnete Menge X wird als Utility-Funktion bezeichnet, wenn für alle$$$x,y є X, x *>y <=>U(x)≥U(y)$...



Wenn die Menge der Alternativen X eine kleine Anzahl von ihnen enthält, ist es durch Definieren einer binären Präferenzbeziehung (BO) für diese Menge , dh durch Ordnen der Alternativen, einfach, eine geeignete auszuwählen.



Eine Vielzahl von Alternativen zu haben, die optimiert werden müssen, wird zu einem mühsamen Prozess. Die Schwierigkeit ist zu überwinden, wenn es möglich ist, Präferenzen zu messen und durch numerische Qualitätsindikatoren zu ersetzen.



Fragen der Darstellung von Präferenzen in Form numerischer Funktionen gehören zur mathematischen Nützlichkeitstheorie.

Wenn die Nutzenfunktion existiert, reicht es aus, um die optimale Lösung (die maximale Alternative gemäß einer gegebenen Präferenz) zu finden, das Maximum der Funktion U (x) auf X zu finden, für die man klassische mathematische Analyse- oder Optimierungsmethoden verwenden kann.



Satz (Existenz einer Nutzenfunktion). Wenn einer unendlichen Menge X eine strikte Präferenz (>) gegeben wird, ist es für die Existenz einer Nutzenfunktion notwendig und ausreichend, dass X eine zählbare Menge enthält, die in der Reihenfolge dicht ist.



Definition . Eine Menge A wird in X als Ordnungsdichte bezeichnet, falls vorhanden$$$x,y є X\A, x<y$ da ist so $$$z є , x<z <y$...

Sei V eine monoton ansteigende Funktion von$$$U(x)$dann $$$V[U(x)]$wird auch eine Utility-Funktion sein.



Wenn die Präferenz keine perfekte (lineare) Ordnung ist, können wir auch dann den Existenzsatz für die Nutzfunktion beweisen$$$x *>y =>U(x)≥U(y$), aber mit einer Einschränkung. Dies ist natürlich, da jede Funktion eine perfekte Reihenfolge erzeugt, jedoch keine Informationen über die anfängliche Präferenz erzeugt.

Eine einfachere Utility-Funktion ist eine lineare,$$$U(α'x+ β'y) = α'U(x)+ β'U(y)$, in denen α 'und β' als Konstanten definiert sind.



Satz (Existenz einer linearen Nutzfunktion). Wenn die Menge X und die Reihenfolge (*>) die Bedingungen erfüllen:

- Die Menge der Alternativen X ist eine konvexe Menge des Vektorraums;

- Die Präferenz für eine Reihe von Alternativen ist kontinuierlich.

- Gemische aus gleichgültigen Alternativen sind gleichgültig, dann existiert eine reelle lineare Funktion U (x), so dass für alle

$$$x,y є X, x *>y <=> U(x)≥U(y).$



In der Praxis ist der zweidimensionale Fall für die Variablen y und x von Interesse.

Die Utility-Funktion hat für den zweidimensionalen Fall die folgende Form

$$$U(x, y) = (αx^{1/p} + βy^{1/p})^p.$

Für verschiedene Werte des Parameters p können Sonderfälle erhalten werden.



Wenn p = 1 ist, ist die Funktion linear und beschreibt perfekte Substitute. In diesem Fall ist die marginale Substitutionsrate gleich dem Verhältnis der Parameter α / β,

$$$U(x, y) = (αx + βy).$



Wenn p → - ∞, wird die Leont'ev-Funktion erhalten, die perfekte Komplemente beschreibt. Die marginale Substitutionsrate ist in diesem Fall unendlich.

$$$U(x, y) = min(αx, βy).$



Als p → 0 wird die Cobb-Douglas-Funktion erhalten, wenn wir die zusätzliche Bedingung α + β = 1 auferlegen

$$$U(x, y) = (x^α·y^β).$

Modellierung von Entscheidungsprozessen

Das Konzept eines Modells in der modernen Wissenschaft ist bekannt geworden und die Notwendigkeit, den Inhalt des Konzepts zu klären, ist nicht mehr verwirklicht. In der Praxis werden die Konzepte von Modellen, Verfahren, Schemata und Entscheidungsmethoden häufig verwechselt und unterscheiden sich nicht mehr voneinander. Die Möglichkeiten der Modellierungspräferenzen überschneiden sich oft mit denen einer Person, und häufig erweisen sich die Fähigkeiten des Modells als umfangreicher als die Realität.



Es muss nur über ein Entscheidungsmodell im Zusammenhang mit einer bestimmten zu lösenden Entscheidungsaufgabe (DP) gesprochen werden. Dies bedeutet, dass eine Klasse grundlegender Präferenzstrukturen ausgewählt wurde, innerhalb derer die Suche nach der besten Lösung durchgeführt wird.



Verschiedene Modelle zur Lösung des gleichen ZPR unterscheiden sich genau in den zugrunde liegenden Prinzipien. Wir nehmen an, dass eine Reihe von Anfangsstrukturen von Präferenzen (Beziehungen) betrachtet wird, die in Matrixform angegeben sind, beispielsweise Matrizen von paarweisen Vergleichen. An diesem Satz wird eine bestimmte DPD untersucht, und es wird gesagt, dass an dem Satz von Anfangsstrukturen ein Modell zur Lösung des angegebenen DPR angegeben ist.



An Entscheidungsmodelle werden eher strenge Anforderungen gestellt: Korrektheit, Angemessenheit, Vollständigkeit, Universalität usw. Die

Korrektheit in der Mathematik wird durch die Existenz einer Lösung, die Einzigartigkeit der Lösung und ihre Stabilität bestimmt.



Angemessenheit - Einhaltung des Originals, d. H. Die Richtigkeit der Reflexion im Modell der modellierten Prinzipien und Merkmale des Entscheidungsprozesses. Unterschiede zwischen normativen (präskriptiven) und deskriptiven Ansätzen sind signifikant.

Die erste wird von a priori Annahmen über die allgemeinen Prinzipien dominiert, die als Axiome formuliert sind und die die entwickelten Entscheidungsmodelle erfüllen sollten.



Im zweiten Teil werden die Merkmale der entwickelten Modelle nicht axiomatisch, sondern attributiv unter Verwendung eines Systems von Eigenschaften beschrieben, von denen jedes vom Entscheidungsträger sinnvoll interpretiert wird und ihm vernünftig und in gewissem Maße wünschenswert erscheint.



Vollständigkeit für die Modelle besteht darin, dass die zugrunde liegenden Prinzipien, die der Entscheidungsfindung zugrunde liegen, nicht nur genau, sondern auch ausreichend reflektiert werden sollten.

Die Vielseitigkeit des Modells wird durch die Möglichkeit seiner Anwendung auf eine breite Klasse von anfänglichen Präferenzstrukturen bestimmt.

Statistische Entscheidungsfindungsmethoden

Das Entscheidungsproblem wird wie folgt formuliert.

Es gibt m + 1 Zustände$$$S_0,S_1, ..., S_m$ Als Gegenstand der Forschung, die eine vollständige Gruppe inkompatibler Ereignisse bildet, sind die vorherigen Wahrscheinlichkeiten von Zuständen jeweils gleich $$$_0, _1, ..., _m$ und $$$_0+_1+ ...+ _m = 1$...



Für jeden der Zustände

funktioniert die Wahrscheinlichkeit$$$W_n(x_1, ..., x_n/S_j), j = 1(1)m;$;;

- Reihe von Lösungen$$$γ_1, γ_2, ..., γ_m$;;

- Verlustfunktionen$$$_{jk} = (S_j, γ_j), j =1(1)m, k =1(1)m$;;

Ist das Qualitätskriterium für die Wahl der mit der Verlustfunktion verbundenen Lösung f (P).



Es ist erforderlich, die beste Regel im Sinne des akzeptierten Kriteriums zu bestimmen, das für das Problem verwendet wird$$$δ (γ_1/x_1, ... , x_n)$ Verwendung von Beobachtungen $$$x_1, x_2, ... , x_n$eine Entscheidung treffen.

Entsprechungen lassen sich leicht herstellen: Stichproben entsprechen Satz E.$$$x_1, x_2, ... , x_n$entspricht das Wahrscheinlichkeitsmaß P der Wahrscheinlichkeitsfunktion $$$W_n(x_1, ..., x_n/S_j), j = 1(1)m;$



Präferenzen für die Menge P im Sinne der angenommenen Kriterien festzulegen bedeutet, die Regel für eine Entscheidung mit den angenommenen Kriterien zu definieren.

Kriterien in der Theorie statistischer Entscheidungen werden in Abhängigkeit von der Vollständigkeit der Ausgangsinformationen verwendet. Betrachten Sie die folgenden Kriterien:

- Bayesian;

- das Maximum der posterioren Wahrscheinlichkeit;

- maximale Wahrscheinlichkeit;

- Minimax;

- Neumann-Pearson;

- Walda.



Die Methode basiert auf dem Kriterium für die Auswahl einer Alternative. In Übereinstimmung mit den genannten Kriterien werden die Entscheidungsregeln im Problem formuliert. Die Kriterien selbst werden anhand der Qualität der Entscheidungsregeln verglichen, beispielsweise anhand der bedingten Risikofunktion$$$r_j$, was den durchschnittlichen Verlust für einen bestimmten Zustand darstellt $$$S_j$...



Definition . Bayes'sche Regel (Kriterium) - ist die Regel für eine optimale Entscheidung, die die durchschnittliche Risikofunktion minimiert. Der Mindestwert der durchschnittlichen Risikofunktion wird als Bayes'sches Risiko bezeichnet.



Die Verwendung dieses Kriteriums setzt das Vorhandensein von:

- Verlustfunktionen voraus$$$(S_j, γ_k)$;;

- bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktionen von Stichprobenwerten

$$$W_n(x_1, ..., x_n/S_j), j=0(1)m$;;

Ist die vorherige Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zuständen$$$_0,...,_m$...



Definition . Ein Sonderfall des Bayes'schen Kriteriums ist eine Minimax-Regel für die Auswahl einer Lösung unter den Bedingungen der ungünstigsten a priori Wahrscheinlichkeitsverteilung ($$$_j$) Zustände $$$S_j$...



Bei einer unbekannten a priori-Verteilung von Zuständen wird ein spezielles Kriterium für die Qualität der Entscheidungsfindung nur unter Verwendung der bedingten Risikofunktion festgelegt$$$r_j$...



Die Interpretation ist wie folgt. Es gibt viele K Entscheidungsregeln, für die jeweils der Wert des Maximalwerts des bedingten Risikos für alle möglichen Zustände des Forschungsobjekts bestimmt wird$$$S_j$... Von diesen Werten wird dann der kleinste Wert ausgewählt,



wodurch sichergestellt wird, dass die Verluste (im Durchschnitt) einen bestimmten Wert r * nicht überschreiten. Im Allgemeinen ist diese Regel ein sehr sorgfältiges Kriterium.



Definition . Die maximale hintere Wahrscheinlichkeit von Zuständen$$$S_j$ mit beobachteter Probe $$$x_1, ..., x_n$wird das Kriterium der Art genannt

.

In diesem Fall eine der Hypothesen bezüglich der Zustände$$$S_j$,

j = 1 (1) m, für die die hintere Wahrscheinlichkeit maximal ist.



Dieses Kriterium wird für eine bekannte vorherige Zustandsverteilung verwendet$$$S_j$ und mangelnde Rechtfertigung hinsichtlich der Höhe der Verluste $$${jk}$... In dieser Situation wird eine Partitionierung des Probenraums durchgeführt. In die Gegend$$$G_k$ Verweisen Sie auf diese Beispiele $$$x_1, ..., x_n$für die für alle j ≠ k

$$$P{(S_k/x_1, ..., x_n)} ≥ P(S_j/x_1, ..., x_n)$...

Das Entscheidungskriterium ist das Maximum der posterioren Wahrscheinlichkeit.



Definition . Das Maximum-Likelihood-Kriterium ist ein Sonderfall der maximalen A-posteriori-Wahrscheinlichkeit, wenn keine a priori-Informationen über die Verteilung der Zustandswahrscheinlichkeiten, über mögliche Verluste und die Annahme vorliegen, dass alle Zustände gleich wahrscheinlich sind, d. H.$$$_i = (m +1)^{-1}.$



Nach dem Kriterium bei der Analyse und Beobachtung der Probe $$$x_1, ...,x_n$ eine der Hypothesen zu den Staaten $$$S_j$für die die Wahrscheinlichkeitsfunktion $$$W_n(x_1, ...,x_n/S_j)$ mehr als andere Wahrscheinlichkeitsfunktionen $$$W_n(x_1, ...,x_n/S_k), k= 0,1, ..., j-1, j+1,..., m.$



Nun werden wir die Situation mit zwei Alternativen betrachten, die in der Praxis häufig anzutreffen sind.

Das Entscheidungsproblem ist etwas vereinfacht und reduziert sich bei Verwendung eines der zuvor betrachteten Kriterien auf die Berechnung des Verhältnisses der Wahrscheinlichkeitsfunktionen für die beobachtete Stichprobe$$$x_1, ...,x_n$ und Vergleichen des erhaltenen Ergebnisses mit einem vorbestimmten Schwellenwert * (Schwellenwerte) $$$_0$ und $$$_1$), d.h.

...

Wenn die Ungleichung erfüllt ist, wird die Entscheidung getroffen$$$γ_1$Dies zeigt an, dass sich das Forschungsobjekt in einem Zustand befindet $$$S_1$... Die entgegengesetzte Ungleichung entspricht dem Zustand$$$S_0$ und eine andere Entscheidung wird getroffen $$$γ_0$...



Der C * -Schwellenwert wird durch das verwendete Kriterium bestimmt. Im Fall des Bayes-Kriteriums , wo

$$$_0, (_1)$ - jeweils die vorherigen Wahrscheinlichkeiten des Auftretens von Ereignissen $$$S_0 (S_1)$;;

$$$_{01}, (_{10})$ - Verluste beim Eintreten eines Ereignisses $$$S_0 (S_1)$ und dementsprechend die getroffenen Entscheidungen $$$γ_1 (γ_0)$;; $$$_{00}, _{11}$- Verluste bei korrekten Entscheidungen.



Mit dem Kriterium der maximalen posterioren Wahrscheinlichkeit wird die Formel vereinfacht

$$$^* =p_0/p_1$und

für das Kriterium der maximalen Wahrscheinlichkeit wird es konstant C * = 1.

Bei Verwendung des Minimax-Kriteriums wird der Schwellenwert durch die Formel mit Ungleichung berechnet, in der anstelle von$$$_0, _1$ Ersetzen Sie die Werte der vorherigen Wahrscheinlichkeiten $$$_{0}, _{1}$, bei dem der Wert des durchschnittlichen Risikos den Maximalwert annimmt



Definition Das Neumann-Pearson-Kriterium ist die Regel für die Auswahl einer Alternative, bei der der Wert des Schwellenwerts basierend auf einem gegebenen Wert der Wahrscheinlichkeit eines Fehlers vom Typ I (α) bestimmt wird.



Ein Fehler vom Typ 1 tritt auf, wenn die Probe in den kritischen Bereich fällt$$$G_1$, obwohl das untersuchte Phänomen in einem Zustand ist $$$S_0$d.h. Die Hypothese ist richtig$$$_0$und sie wird abgelehnt.



Ein Fehler vom Typ II tritt auf, wenn die Probe in den gültigen Bereich fällt$$$G_0$, obwohl das untersuchte Phänomen in einem Zustand ist $$$S_1$d.h. eine falsche Hypothese wird akzeptiert -$$$_0.$Um den Schwellenwert zu bestimmen, ist es notwendig, die folgende Integralgleichung (für α) in Bezug auf * zu lösen

,

wobei$$$W_{10}(y)$ - eindimensionale Verteilungsdichte des Verhältnisses der Wahrscheinlichkeitsfunktion unter der Hypothese $$$_0$...



Die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers der zweiten Art β wird wiederum aus der Lösung der rechten Integralgleichung bestimmt, wobei$$$W_{11}(y)$ - eindimensionale Verteilungsdichte des Verhältnisses der Wahrscheinlichkeitsfunktion unter der Hypothese $$$_1$...



Definition . Das Wald-Kriterium ist eine Regel für die Auswahl einer Lösung, bei der das Verhältnis der Wahrscheinlichkeitsfunktionen mit zwei Schwellenwerten verglichen wird$$$_0 _1.$ Genaue Definition von Schwellenwerten $$$_0 _1$ist mit erheblichen mathematischen Schwierigkeiten behaftet. ...

Fazit

Das Papier gibt einen kurzen Überblick über die Fähigkeiten der bestehenden Theorie der statistischen Entscheidungsfindung. Die Hauptelemente und Komponenten der Theorie, Anwendungen und Modelle werden identifiziert. Es wird eine kurze Beschreibung der genannten Elemente gegeben und ihre Beschreibungen werden gegeben.



In pädagogischer Hinsicht ist es wichtig, über die Existenz einer solchen Theorie Bescheid zu wissen und sich, wenn die Notwendigkeit entsteht und sich der Notwendigkeit bewusst wird, Entscheidungen zu treffen, ihren Grundlagen zuzuwenden. Ich möchte darauf hinweisen, dass sowohl in diesem Bereich als auch im Bereich der Erziehung jeder sich selbst (insbesondere die Eltern) als sehr kompetent ansieht.



Aber genau die Folge der Erziehung ist, dass Alkoholismus und Drogenabhängigkeit bei jungen Menschen florieren, und die Folge der Untererziehung sind die Entscheidungen, die uns zu dem führen, was wir in unserem Land haben.



Ich schließe nicht aus, dass wieder jemand gefunden wird und sage, dass die Schlussfolgerung nicht das Thema ist.