Deine Quadrate sind falsch

Neulich gab es einen Artikel über den Unterschied zwischen einem Quadrat mit abgerundeten Kanten und einem "quadratischen Kreis" - einer Zwischenfigur zwischen einem Kreis und einem Quadrat, die aus der Superellipsenformel erhalten wurde . Die Meinungen der Leser waren geteilt - nicht jeder sah den Unterschied, und wer sah - nicht jeder bevorzugte die „richtige“ Option. Und ich vermute warum: Ihre Quadrate sind nicht real!

Alternative Lösung

Meine Lösung (in Polarkoordinaten) stellte sich wie folgt heraus:

$$

$$\rho =\sqrt{\frac{2}{1+\sqrt{1+\left(\frac{1}{k^4}-\frac{2}{k^2}\right) \sin ^2(2 \phi )}}}$$

in welchem ​​Parameter $$$k$ von 0 bis 1 legt den Grad der "Quadratur" fest und definiert linear den Schnittpunkt (k,k) der Figur mit der Diagonale. Dies bedeutet, dass wir unseren quadratischen Kreis durch 3 Punkte eindeutig definieren können. Und ja, mit$$$k = 1$ Wir haben ein echtes Quadrat mit geraden Seiten und scharfen Ecken. Nun, der Kreis wird jeweils erhalten, wenn$$$k = \frac{1}{\sqrt{2}}$ (Cosinus 45 °). Varianten der resultierenden Zahlen spiegeln sich im KDPV wider.



Sie können auch feststellen, dass diese Formel keine Tricks wie Modulfunktionen, Vorzeichen / Verwerfen usw. enthält - wie dies für eine Superellipse erforderlich ist. Alles ist fair, nur mathematische Standardfunktionen, mit denen es keine Schwierigkeiten gibt, zu unterscheiden oder zu integrieren. Übrigens zur Integration - wenn Sie möchten, können Sie auch den Bereich dieser Figuren finden (über elliptische Integrale):

$$

$$\frac{4 k^4 E\left(\frac{2 k^2-1}{k^4}\right)-4 \left(k^2-1\right)^2 K\left(\frac{2 k^2-1}{k^4}\right)}{2 k^2-1}$$

Entwicklung

Sie können den resultierenden Formen mehr Variation hinzufügen. Zum Beispiel so:

$$

$$\rho =\sqrt{\frac{1+\sqrt{\frac{(z-2)^2}{z^2}}}{1+\sqrt{1+\left(\frac{1}{k^4}-\frac{2}{k^2}\right) \sin^2(2\phi)+\left(\frac{4(1-z)}{z^2}\right)\cos^2(2 \phi)}}}$$

Hier haben wir noch einen Parameter z , der es uns ermöglicht, die Figur zu verzerren, ohne die Ideologie der Konstruktion zu verletzen. Mit seiner Hilfe können Sie unsere Figur näher an die Superellipse bringen (in den Grafiken gelb dargestellt). Zum Beispiel ist für n = 4 ( k = 0,266, z = 0,1) die Übereinstimmung nahezu perfekt:







bei höherem n ist der Unterschied bereits deutlicher ( n = 5, k = 0,6, z = 0,48):







n = 10, k = 0,942, z = 1,02:





Und ja, Sie können ganz radikal vorgehen! Dieses Icon-Design kann mit nichts verwechselt werden:







Mit Animation können Sie sich auch ein wenig ausdenken:

Fazit

Wenn ein Designer eines bestimmten Unternehmens mit (optional) einem Fruchtlogo ein einzigartiges Design erhalten möchte, auch wenn es sich nicht grundlegend von bestehenden Lösungen unterscheidet, kann es sich lohnen, nach einer wirklich neuen Formel zu suchen und diese zu patentieren und keine seit langem bekannte Lösung anzuziehen, indem er Tonnen von Marketingbulletins daran hängt ... Vor allem, wenn es nur zum Spaß von einer einfachen Person aus den Provinzen ohne besondere Ausbildung gemacht werden kann.



PS Quellcodes des Artikels finden Sie hier .



PPS Durch die Gleichung der Kurve in kartesischen Koordinaten sieht die ursprüngliche Formel so aus

$$

$$0=-2+\left(x^2+y^2\right) \left(1+\sqrt{1+\frac{\left(4-8 k^2\right) x^2 y^2}{k^4 \left(x^2+y^2\right)^2}}\right)$$