Drei Mathematiker erhielten eine Antwort auf die grundlegende Frage nach geraden Pfaden auf einem 12-seitigen platonischen Körper
Trotz der Tatsache, dass Mathematiker mehr als 2000 Jahre alt sind [ und möglicherweise sogar mehr / ca. übers. ] analysieren die Struktur von fünf regulären Polyedern (platonischen Festkörpern) - Tetraeder, Hexaeder (Würfel), Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder - wir wissen immer noch nicht viel über sie.
Und so haben drei Mathematiker eine der grundlegendsten Fragen zum Dodekaeder beantwortet.
Angenommen, Sie stehen auf einem der Eckpunkte eines regulären Polyeders. Gibt es einen direkten Weg, über den man zum Ausgangspunkt zurückkehren kann, ohne einen der anderen Eckpunkte zu durchlaufen? Für vier weitere reguläre Polyeder, die aus Quadraten oder gleichseitigen Dreiecken bestehen - Tetraeder, Würfel, Oktaeder und Ikosaeder - haben Mathematiker kürzlich angegebennegative Antwort auf diese Frage. Jeder gerade Pfad, der von einem der Scheitelpunkte ausgeht, stößt entweder auf einen anderen Scheitelpunkt oder windet sich für immer entlang der Oberfläche der Figur und kehrt niemals zum Startpunkt zurück. Die Mathematiker wussten jedoch nicht, was sie von einem Dodekaeder aus 12 Pentagonen erwarten sollten.
Jetzt haben Jadev Atreya , David Olicino und Patrick Hooper gezeigt, dass es auf dem Dodekaeder tatsächlich unendlich viele solcher Wege gibt. Ihr Papier , veröffentlichte im Mai in der Zeitschrift Experimental Mathematik, zeigt , dass diese Wege können natürlich in 31 Familien unterteilt werden.
Die Suche nach einer Lösung erforderte den Einsatz moderner Technologie und die Zusammenstellung von Computeralgorithmen. „Vor ungefähr zwanzig Jahren war diese Frage unerreichbar. Vor 10 Jahren hätte es einen unglaublichen Aufwand gekostet, alle notwendigen Programme zu schreiben. und erst heute sind alle Faktoren zusammengekommen “, schrieb Anton Zorich vom Jassi Mathematical Institute in Paris in einer E-Mail.
Dieses Projekt begann im Jahr 2016, als Atreya von der University of Washington und Olicino vom Brooklyn College anfingen, mit einer Reihe flacher Formen zu spielen, die sich zu einem regulären Polyeder falteten. Während des Zusammenbaus des Polyeders erkannte Olicino, dass das kürzlich auf flacher Geometrie angesammelte Material nützlich sein kann, um gerade Pfade auf dem Dodekaeder zu verstehen. "Wir haben diese Teile buchstäblich aus verstreuten Teilen zusammengesetzt", sagte Atreya. "Die einfache Neugier der Forscher fiel mit einer neuen Gelegenheit zusammen."
Zusammen mit Hooper vom City College in New York fanden die Forscher heraus, wie alle geraden Pfade, die aus einer Ecke herausgehen und in diese hinein kommen, unter Umgehung anderer Ecken klassifiziert werden können.
Ihre Analyse ist eine "elegante Lösung", wie Howard Mazur es ausdrückte.von der University of Chicago. "Dies ist einer dieser Fälle, in denen ich ohne zu zögern sagen kann: Wow, warum habe ich nicht!"
Versteckte Symmetrien
Obwohl Mathematiker seit über einem Jahrhundert über gerade Wege auf dem Dodekaeder sprechen, hat sich das Interesse an diesem Thema in den letzten Jahren dank neuer Erkenntnisse auf dem Gebiet der "Übertragungsflächen" wiederbelebt. Solche Oberflächen werden durch Verkleben der parallelen Seiten eines Polyeders gebildet. Sie haben sich als sehr nützlich erwiesen, um eine Vielzahl von Themen zu untersuchen, die sich auf gerade Wege entlang von Formen mit Winkeln beziehen - von den Flugbahnen von Billardkugeln bis hin zu Fragen, ob ein einzelner Lichtstrahl einen ganzen Raum mit verspiegelten Wänden beleuchten kann .
Die Grundidee bei all diesen Aufgaben besteht darin, die Form zu erweitern, damit die darauf folgenden Pfade leichter untersucht werden können. Um gerade Pfade entlang eines regulären Polyeders zu verstehen, können Sie zunächst genügend Kanten schneiden, damit sie auf einer Ebene erweitert werden können, um, wie Mathematiker sagen, ein Netzwerk zu bilden. Eines der Netzwerke für einen Würfel ist beispielsweise eine "T" -förmige Form, die aus sechs Quadraten besteht.
Papierdodekaeder, hergestellt im Jahr 2018 von David Olicina und Jadev Atreya, um die Fähigkeit zu demonstrieren, einen Weg von einem Scheitelpunkt zurück zu diesem zu führen, ohne die anderen zu kreuzen.
Stellen Sie sich vor, wir haben das Dodekaeder gefegt und gehen jetzt in eine bestimmte Richtung. Früher oder später werden wir auf eine Kante des Netzes stoßen, wonach unser Weg zum angrenzenden Fünfeck springt (dasjenige, das auf das aktuelle geklebt wurde, bevor wir unser Dodekaeder geschnitten haben). Beim Springen dreht sich der Pfad gleichzeitig um einen Winkel, dessen Wert durch 36 Grad teilbar ist.
Um all diese Sprünge und Wendungen zu vermeiden, können wir, wenn wir auf eine Kante treffen, eine neue, gedrehte Kopie des Netzes darauf kleben und geradeaus weitergehen. Dann werden wir Redundanz hinzufügen: Wir werden zwei verschiedene Pentagone haben, die das Fünfeck des ursprünglichen Dodekaeders bezeichnen. Wir haben unsere Welt kompliziert, aber wir haben unseren Weg vereinfacht. Wir können jedes Mal ein neues Netzwerk hinzufügen, wenn wir die Grenzen unserer Welt überschreiten müssen.
Wenn unser Pfad durch 10 Netze verläuft, drehen wir unser ursprüngliches Netz um alle möglichen Winkel, die durch 36 teilbar sind, und die Ausrichtung des nächsten hinzugefügten Netzes entspricht der Ausrichtung, mit der wir begonnen haben. Es stellt sich heraus, dass das 11. Netzwerk durch eine einfache Verschiebung aus dem Original erhalten wird - wie Mathematiker sagen, durch Übertragung. Anstatt das 11. Netz zu kleben, können wir einfach die Kante des 10. Netzes auf die entsprechende parallele Kante des ursprünglichen Netzes kleben. Unsere Figur wird nicht mehr flach sein, aber Mathematiker glauben, dass sie sich an die flache Geometrie ihrer vorherigen Inkarnation "erinnert". So werden beispielsweise Pfade als gerade betrachtet, wenn sie gerade auf einer Figur waren, die noch nicht geklebt wurde. Nachdem wir alle möglichen Klebeflächen der entsprechenden parallelen Kanten vorgenommen haben, erhalten wir die sogenannte. Übertragungsfläche.
Atreia tätowierte seine Lieblingsübertragungsfläche, das Doppelfünfeck, auf seiner rechten Hand.
Die resultierende Fläche ist eine hochredundante Darstellung des Dodekaeders, an der 10 Kopien jedes Fünfecks beteiligt sind. Und es stellte sich als viel komplexer heraus - es ist in Form eines Donuts mit 81 Löchern zusammengeklebt. Diese komplexe Form ermöglichte es den drei Forschern jedoch, die reichhaltige Theorie der Transferoberflächen zu verstehen.
Angesichts einer solch gigantischen Oberfläche krempelten Mathematiker die Ärmel hoch - sowohl im übertragenen als auch im wörtlichen Sinne. Nachdem sie einige Monate mit ihr zusammengearbeitet hatten, stellten sie fest, dass die 81-Loch-Donutoberfläche nicht nur eine Überpräsentation des Dodekaeders darstellt, sondern auch eine der am häufigsten untersuchten Transferoberflächen. Dies ist ein doppeltes Fünfeck, das erhalten wird, indem zwei Fünfecke entlang einer der Kanten geklebt werden und dann alle parallelen Seiten geklebt werden, um einen Donut mit zwei Löchern und einem großen Satz von Symmetrien herzustellen.
Auch diese Figur ist auf den Arm von Atreya tätowiert. "Ich kannte und liebte dieses doppelte Fünfeck bereits", sagte Atreya, der das Tattoo ein Jahr bevor er und Olicino anfingen, über das Dodekaeder nachzudenken, bekam.
Da das doppelte Fünfeck und das Dodekaeder geometrische Cousins sind, kann ein hohes Maß an Symmetrie des ersteren helfen, die Struktur des letzteren zu verstehen. "Dies ist eine großartige latente Symmetrie", sagte Alex Eskin von der University of Chicago (der Atreya vor 15 Jahren bei seiner Doktorarbeit beriet). "Dass das Dodekaeder eine so latente Symmetriegruppe hat, ist bemerkenswert."
Jadev Atreya berichtet, wie er und seine Kollegen das seit langem bestehende Problem der Suche nach geraden Wegen auf dem Dodekaeder gelöst haben.
Die Beziehung zwischen diesen Oberflächen ermöglichte es den Forschern, den von Miriam Finster vom Karlsruher Institut für Technologie entwickelten Algorithmus für die hochsymmetrische Analyse der Translationsoberflächen zu nutzen . Durch Anpassung des Algorithmus konnten die Forscher alle direkten Pfade auf dem Dodekaeder finden, die ausgehen und zu einem Scheitelpunkt zurückkehren, und sie anhand der verborgenen Symmetrien des Dodekaeders klassifizieren.
Atreya beschreibt diese Analyse als "eines der interessantesten Projekte in meiner gesamten Karriere". Jadev sagt, es sei sehr wichtig, ständig mit verschiedenen Dingen zu spielen.
Das neue Ergebnis deutet darauf hin, dass selbst bei Objekten, die Menschen seit Tausenden von Jahren untersuchen, möglicherweise Geheimnisse verborgen sind, sagte Eskin. "Ich denke, selbst für diese drei Mathematiker war es eine Überraschung, dass sie etwas Neues über das Dodekaeder sagen konnten."