Physiker haben die algebraische Struktur gefunden, die der komplizierten Mathematik von Teilchenkollisionen zugrunde liegt. Einige hoffen, dass es uns zu einer eleganteren Theorie der physischen Welt führen wird.
Wenn Teilchenphysiker versuchen, Experimente zu modellieren, werden sie aufgrund einer unendlich großen Gleichung, die außerhalb der Reichweite der modernen Mathematik liegt, mit unmöglichen Berechnungen konfrontiert.
Glücklicherweise können sie allgemein genaue Vorhersagen treffen, ohne all diese kryptische Mathematik bis zum Ende durchzuarbeiten. Um die Berechnungen zu verkürzen, treffen Wissenschaftler des Large Hadron Collider am CERN in Europa Vorhersagen, die mit den Ereignissen übereinstimmen, die sie dann bei Kollisionen von subatomaren Partikeln beobachten, die mit einer enormen Geschwindigkeit auf einer 26 Kilometer langen Strecke fegen.
Leider könnte die Ära der Übereinstimmung zwischen Vorhersage und Beobachtung zu Ende gehen. Je genauer die Messungen werden, desto schwieriger ist es für die von Theoretikern verwendeten ungefähren Berechnungsschemata, Schritt zu halten.
"Wir sind bereits kurz davor, die uns zur Verfügung stehenden Mittel zu erschöpfen", sagte Claude Dar , Teilchenphysiker am CERN.
Doch drei jüngste Arbeiten von Pierpaolo Mastrolia der Universität Padua in Italien und Sebastian Mizeravom Princeton Institute for Advanced Study in New Jersey entdeckte die mathematische Struktur hinter diesen Gleichungen. Es bietet eine neue Möglichkeit, eine unendliche Anzahl von Mitgliedern auf ein Dutzend erforderlicher Komponenten zu reduzieren. Ihre Methode kann dazu beitragen, die Vorhersagegenauigkeit auf die nächste Stufe zu heben, die Theoretiker benötigen, um über das führende, aber unvollständige Modell der Teilchenphysik hinauszugehen.
"Sie haben viele Ergebnisse gezeigt, die die Realisierbarkeit dieser vielversprechenden Technik belegen", sagte Dar.
Der Nutzen kann jedoch weitaus größer sein als nur die Verbesserung der Vorhersagen. Die neue Methode umgeht die traditionelle trostlose Mathematik, indem sie direkt "Schnittzahlen" berechnet, von denen einige glauben, dass sie uns letztendlich eine elegantere Beschreibung der subatomaren Welt geben könnten.
"Es ist nicht nur Mathematik", sagte Simon Caron-Hewot von der McGill University, ein Quantentheoretiker, der die Implikationen von Mastrolius und Mizera untersucht. "Es ist alles sehr tief mit der Quantenfeldtheorie verflochten."
Endlosschleife
Bei der Simulation von Teilchenkollisionen verwenden Physiker Feynman-Diagramme , eine einfache Notation, die Richard Feynman in den 1940er Jahren erfunden hat.
Um zu verstehen, wie diese Aufzeichnung funktioniert, betrachten Sie ein einfaches Ereignis: Zwei Quarks nähern sich einander, tauschen im Verlauf der "Kollision" ein Gluon aus und prallen dann auf verschiedenen Trajektorien voneinander ab.
Im Feynman-Diagramm werden Quarkpfade durch „Beine“ angezeigt, die während der Partikelwechselwirkung an der Verbindungsstelle „Spitzen“ bilden. Feynman entwickelte Regeln, um ein solches Bild in Gleichungen umzuwandeln, die die Wahrscheinlichkeit des Eintretens dieses Ereignisses berechnen. Sie schreiben eine bestimmte Funktion für jedes Bein und jeden Scheitelpunkt - normalerweise einen Bruchteil unter Verwendung der Masse und des Impulses des Partikels - und multiplizieren alles. Für einfache Optionen wie unsere passen die Berechnungen möglicherweise auf eine Serviette.
In diesem Diagramm nähern sich zwei Quarks (angezeigt durch gerade Beine mit nach innen zeigenden Pfeilen) einer Schleife. Sie interagieren, tauschen Gluonen aus, die sich für kurze Zeit in ein Quark-Antiquark-Paar aufspalten, und fliegen dann auseinander. Physiker übersetzen diese Muster in Gleichungen, die die Wahrscheinlichkeit des Auftretens dieses Ereignisses berechnen.
Die goldene Regel der Quantentheorie besteht jedoch darin, alle Möglichkeiten zu berücksichtigen, und der Austausch eines einfachen Gluons ist nur eines der vielen Szenarien, die sich entfalten können, wenn zwei Quarks kollidieren. Das Gluon, das die Partikel austauschen, kann sich für kurze Zeit in ein Quark-Antiquark-Paar aufspalten und sich dann wieder in ein Gluon verwandeln. Zwei Quarks treffen sich und zwei Quarks gehen auseinander, aber dazwischen kann viel passieren. Um das Geschehen vollständig zu berücksichtigen und eine ideale Vorhersage zu treffen, müssen Sie eine unendliche Anzahl von Diagrammen zeichnen. Niemand erwartet perfekte Ergebnisse, aber der Schlüssel zur Verbesserung der Genauigkeit von Berechnungen liegt darin, so weit wie möglich entlang der endlosen Kette von Ereignissen zu gehen.
Und hier stecken die Physiker fest.
Um dieses verborgene Zentrum genauer zu untersuchen, müssen Sie sich virtuellen Teilchen zuwenden - Quantenfluktuationen, die das Ergebnis jeder Wechselwirkung allmählich beeinflussen. Die kurzfristige Existenz des oben erwähnten Quarkpaares wird wie bei vielen virtuellen Ereignissen im Feynman-Diagramm durch eine geschlossene Schleife angezeigt. Loops verblüffen Physiker - es handelt sich um Black Boxes, die endlosen Szenarien zusätzliche Ebenen hinzufügen. Um die durch die Schleife implizierten Möglichkeiten irgendwie zu berechnen, müssen Theoretiker Integrale nehmen. Diese Integrale erreichen in Feynman-Diagrammen ungeheure Ausmaße mit vielen Schleifen, die auftreten, wenn sich Forscher weiter entlang der Ereigniskette bewegen und immer komplexere virtuelle Interaktionen erklären.
Physiker haben Algorithmen zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von Szenarien ohne Schleifen oder mit einer Schleife, aber bereits Kollisionen mit zwei Schleifen bringen Computer auf die Knie. Dies ist die Obergrenze für die Vorhersagegenauigkeit - und für Physiker, um die Implikationen der Quantentheorie zu verstehen.
All dies hat jedoch eine positive Seite: Physiker müssen nicht absolut alle Integrale eines komplexen Feynman-Diagramms berechnen, da die meisten von ihnen in einem zusammengefasst werden können.
Tausende von Integralen können auf mehrere Dutzend "grundlegende" reduziert werden, die gewichtet und hinzugefügt werden können. Welche Integrale in getrennten Basisintegralen zusammengefasst werden können, ist eine schwierige Rechenfrage. Die Forscher verwenden Computer, die im Wesentlichen auf der Grundlage von Millionen von Interaktionen Vermutungen anstellen und Schwierigkeiten haben, sinnvolle Kombinationen von Integralen abzuleiten.
Dank der Schnittzahlen haben Physiker möglicherweise einen Weg gefunden, wichtige Informationen elegant aus umfangreichen Berechnungen von Feynman-Integralen auszuwählen.
Geometrischer Fingerabdruck
Die Arbeit von Mastrolia und Mizera entspringt einem Ableger der Mathematik wie der algebraischen Topologie , die Formen und Räume klassifiziert. Hilfe bei diesen Theorien der " Kohomologie ", mit denen Sie algebraische "Fingerabdrücke" aus komplexen geometrischen Räumen berechnen können.
"Es ist wie eine Zusammenfassung, ein algebraisches Gerät, das die Essenz des Raums erfasst, den Sie erkunden", sagte Clement Dupont, Mathematiker an der Universität von Montpellier in Frankreich.
Feynman-Diagramme können in geometrische Räume übersetzt werden, die dann mithilfe der Kohomologie analysiert werden können. Jeder Punkt in einem solchen Raum kann eines der vielen Szenarien darstellen, die sich entfalten, wenn Partikel kollidieren.
Wir könnten hoffen, dass Sie durch die Kohomologie dieses Raums - das Finden seiner algebraischen Struktur - die Gewichte für die fundamentalen Integrale berechnen können. Der geometrische Raum, der die meisten Feynman-Diagramme charakterisiert, ist jedoch so gekrümmt, dass er vielen kohomologischen Berechnungen widersteht.
2017 versuchte Mizera, Objektkollisionen in der Stringtheorie zu analysieren, als er auf die Instrumente stieß, die Israel Gelfand und Katsuhiko Aomoto in den 1970er und 1980er Jahren erstmals erfunden hatten, als sie an der Kohomologie namens Twisted Cohomology arbeiteten. Später im selben Jahr traf Mizera Mastrolia, der erkannte, dass diese Techniken auch auf dem Feynman-Diagramm funktionieren könnten. Letztes Jahr veröffentlichten sie drei Artikel, die die Kohomologietheorie verwendeten, um die Berechnung einfacher Teilchenkollisionen zu beschleunigen.
Ihre Methode nimmt eine Familie miteinander verbundener physikalischer Szenarien, präsentiert sie als geometrischen Raum und berechnet ihre verdrehte Kohomologie. "Und diese verdrehte Kohomologie sagt alles über die Integrale aus, die für uns von Interesse sind", sagte Mizera.
Insbesondere gibt die verdrehte Kohomologie an, wie viele Basisintegrale erforderlich sind und wie hoch ihre Gewichte sein sollten. Diese Gewichte erscheinen als Werte, die sie "Schnittpunktnummern" nennen. Infolgedessen trocknen Tausende von Integralen bis zu einer gewichteten Summe von mehreren Dutzend Basisintegralen aus.
Es ist möglich, dass Kohomologietheorien, die diese Schnittzahlen erzeugen, mehr als nur die Berechnung erleichtern können - sie können uns auf die physikalische Bedeutung der wichtigsten Größen bei der Berechnung hinweisen.
Wenn ein virtuelles Gluon beispielsweise in zwei virtuelle Quarks zerfällt, kann seine Lebensdauer unterschiedlich sein. In dem ihnen zugeordneten geometrischen Raum kann jeder Punkt eine andere Quarklebensdauer bezeichnen. Bei der Berechnung der Gewichte stellen die Forscher fest, dass Szenarien mit den langlebigsten virtuellen Partikeln - dh den Fällen, in denen die Partikel fast real werden - das Ergebnis stärker beeinflussen als andere.
"Das ist das Erstaunliche an dieser Methode", sagte Karon-Hewot. "Er stellt alles von diesen seltenen, besonderen Ereignissen nach."
Letzte Woche haben Mizera, Mastrolia und ihre Kollegen einen weiteren Preprint veröffentlicht, wo gezeigt wird, dass sich diese Technik genug entwickelt hat, um mit realen Diagrammen mit zwei Schleifen zu arbeiten. In der nächsten Arbeit wird Karon-Hewot diese Methode weiterentwickeln und möglicherweise sogar Drei-Schleifen-Diagramme zähmen.
Bei Erfolg könnte diese Technik dazu beitragen, eine neue Generation theoretischer Vorhersagen zu eröffnen. Und wie einige Forscher vermuten, kann es uns sogar eine neue Perspektive auf die Realität zeigen.