Einfache und schnelle Annäherung an statistische Funktionen

Aufgabe. Es gibt einen Taschenrechner , aber keine statistischen Tabellen . Beispielsweise benötigen Sie Tabellen mit kritischen Punkten der Verteilung des Schülers , um das Konfidenzintervall zu berechnen . Einen Computer mit Excel bekommen? Nicht sportlich.

Eine hohe Genauigkeit ist nicht erforderlich. Sie können ungefähre Formeln verwenden. Die Idee der folgenden Formeln ist, dass durch die Transformation des Arguments alle Verteilungen irgendwie auf den Normalwert reduziert werden können. Die Näherungen sollten sowohl die Berechnung der kumulativen Verteilungsfunktion als auch die Berechnung ihrer Umkehrfunktion liefern.

Beginnen wir mit der Normalverteilung.

$$

$$\Phi(z)=P=\frac{1}{2}\left[1+\mathrm{erf}\left(\frac{z}{\sqrt{2}}\right)\right]$$

$$

$$z=\Phi^{-1}(P)=\sqrt{2}\cdot\mathrm{erf}^{-1}(2P-1)$$

Es erfordert die Berechnung der Funktion $$$\mathrm{erf}(x)$und umgekehrt. Ich habe die Näherung verwendet [1]:

$$

$$\mathrm{erf}(x)=\mathrm{sign}(x)\cdot\sqrt{1-\exp\left(-x^{2}\cdot\frac{\frac{4}{\pi}+ax^{2}}{1+ax^{2}}\right)}$$

$$

$$\mathrm{erf}^{-1}(x)=\mathrm{sign}(x)\cdot\sqrt{-t_2 + \sqrt{t_2^{2}-\frac{1}{a}\cdot \ln t_1}}$$

$$$t_1$ $$$t_2$ — :

$$

$$t_1=1-x^{2},\:t_2=\frac{2}{\pi a}+\frac{\ln t_1}{2}$$

$$$a=0.147$. Octave.

function y = erfa(x)
  a  = 0.147;
  x2 = x**2; t = x2*(4/pi + a*x2)/(1 + a*x2);
  y  = sign(x)*sqrt(1 - exp(-t));
endfunction

function y = erfinva(x)
  a  = 0.147; 
  t1 = 1 - x**2; t2 = 2/pi/a + log(t1)/2;
  y  = sign(x)*sqrt(-t2 + sqrt(t2**2 - log(t1)/a));
endfunction

function y = normcdfa(x)
  y = 1/2*(1 + erfa(x/sqrt(2)));
endfunction

function y = norminva(x)
  y = sqrt(2)*erfinva(2*x - 1);
endfunction

, , t- [2]:

$$

$$F_t(x,n)=\Phi\left(\sqrt{\frac{1}{t_1}\cdot\ln(1+\frac{x^{2}}{n})}\right)$$

$$

$$t=F_t^{-1}(P,n)=\sqrt{n\cdot\exp\left(\Phi^{-1}(P)^{2}\cdot t_1\right)-n}$$

$$$t_1$

$$

$$t_1=\frac{n-1.5}{(n-1)^{2}}$$

function y = tcdfa(x,n)
  t1 = (n - 1.5)/(n - 1)**2;
 y = normcdfa(sqrt(1/t1*log(1 + x**2/n)));
endfunction

function y = tinva(x,n)
  t1 = (n - 1.5)/(n - 1)**2;
  y  = sqrt(n*exp(t1*norminva(x)**2) - n);
endfunction

$$$\chi^{2}$ [3]:

$$

$$\sigma^{2}=\frac{2}{9n},\:\mu=1-\sigma^{2}$$

$$

$$F_{\chi^{2}}(x,n)=\Phi\left(\frac{\left(\frac{x}{n}\right)^{1/3}-\mu}{\sigma}\right)$$

$$

$$\chi^2=F_{\chi^2}^{-1}(P,n)=n\cdot\left(\Phi^{-1}(P)\cdot\sigma + \mu\right)^3$$

function y = chi2cdfa(x,n)
  s2 = 2/9/n; mu = 1 - s2;
  y  = normcdfa(((x/n)**(1/3) - mu)/sqrt(s2));
endfunction

function y = chi2inva(x,n)
 s2 = 2/9/n; mu = 1 - s2;
  y = n*(norminva(x)*sqrt(s2) + mu)**3;
endfunction

( $$$n/k\geq3$ $$$n\geq3$) . $$$\chi^2$ [4], , .

$$

$$\sigma^2=\frac{2}{9n},\:\mu=1-\sigma^2$$

$$

$$\lambda=\frac{2n+k\cdot x/3+(k-2)}{2n+4k\cdot x/3}$$

$$

$$F_f(x;k,n)=\Phi\left(\frac{\left(\lambda\cdot x\right)^{1/3}-\mu}{\sigma}\right)$$

Finden Sie die Umkehrfunktion, indem Sie die quadratische Gleichung lösen.

$$

$$q=\left(\Phi^{-1}(P)\cdot\sigma+\mu\right)^3$$

$$

$$b=2n+k-2-4/3\cdot kq$$

$$

$$D=b^2+8/3\cdot knq$$

$$

$$x=F_f^{-1}(P;k,n)=\frac{-b+\sqrt{D}}{2k/3}$$

function y = fcdfa(x,k,n)
  mu = 1-2/9/k; s = sqrt(2/9/k);
  lambda = (2*n + k*x/3 + k-2)/(2*n + 4*k*x/3);
  normcdfa(((lambda*x)**(1/3)-mu)/s)
endfunction

function y = finva(x,k,n)
  mu = 1-2/9/k; s = sqrt(2/9/k);
  q = (norminva(x)*s + mu)**3;
  b = 2*n + k-2 -4/3*k*q;
  d = b**2 + 8/3*k*n*q;
  y = (sqrt(d) - b)/(2*k/3);
endfunction

Referenzliste

1. Sergei Winitzki. Eine praktische Annäherung für die Fehlerfunktion und ihre Umkehrung. 6. Februar 2008.
2. Gleason JR Ein Hinweis zu einer vorgeschlagenen Student t-Näherung // Computerstatistik und Datenanalyse. - 2000. - Vol. 34. - Nein. 1. - S. 63-66.
3. Wilson EB, Hilferty MM Die Verteilung von Chi-Quadrat // Proceedings der National Academy of Sciences. - 1931. - Vol. 17. - Nein. 12. - S. 684-688.
4. Li B. und Martin EB Eine Annäherung an die F-Verteilung unter Verwendung der Chi-Quadrat-Verteilung. Computerstatistik & Datenanalyse. - 2002. Vol. 40. - Nein. 1. pp. 21-26.