Wie die Physik den Mathematikern eine neue geometrische Struktur für ihre Spiele gab

Die symplektische Geometrie ist ein relativ neues Forschungsgebiet, das einen Großteil der modernen Mathematik beeinflusst. Und das ist es auch.

Im frühen 19. Jahrhundert entdeckte William Rowan Hamilton einen neuen geometrischen Raum mit fast magischen Eigenschaften. Es kodierte Bewegung und Mathematik in einem einzigen schönen geometrischen Objekt.



Aus diesem Phänomen ist ein Wissensfeld gewachsen, das als symplektische Geometrie bezeichnet wird . In den letzten Jahrzehnten hat es sich von einigen Ideensammlungen zu einem dynamischen Forschungsfeld mit tiefen Verbindungen zu mehr Themen in Mathematik und Physik entwickelt, die Hamilton sich kaum hätte vorstellen können.



Symplektische Geometrie ist in der Tat die Untersuchung geometrischer Räume mit symplektischer Struktur. Es muss jedoch geklärt werden, was es bedeutet, dass der Raum eine Struktur hat - ganz zu schweigen von einer bestimmten Struktur.



Geometrische Räume können flexibel wie eine Plane oder starr wie ein Zelt sein. "Planen sind formbar, aber wenn Sie ein paar Stöcke nehmen und einen Rahmen dafür arrangieren, erhalten Sie eine stabilere Struktur", sagte Amy Murphy von der Northwestern University.



Weniger strukturierte Räume sind nur ein Bündel verbundener Punkte (wie eine Plane). Die gerade Linie ist ein Beispiel für einen eindimensionalen Raum dieser Art. Die Oberfläche einer Kugel ist ein zweidimensionales Beispiel. Da es in diesen Räumen keine Struktur gibt, ist es leicht, sie zu verformen, ohne sich grundlegend zu verändern. Eine gerade Linie krümmen; aufblasen, zerknittern, den Ball drehen - aus topologischer Sicht, wenn man unstrukturierte Räume untersucht, werden sie sich nicht ändern.



"Aus Sicht der Topologen können Sie ihn, beginnend mit der Oberfläche eines Balls, nach Belieben dehnen, und bis Sie ihn zerreißen, ändert sich dieser Raum für sie nicht", sagte Isa Keating von der University of Cambridge. "Sie interessieren sich für die allgemeinen Eigenschaften der Figur."



Wenn Mathematiker über die Verformung des Raums sprechen, heißt das natürlich nicht, ihn manuell zu ändern. Sie ändern Räume mithilfe von Funktionen: Die Funktion enthält die Koordinaten eines Punkts, und die Koordinaten eines neuen Punkts werden ausgegeben. Solche Transformationen übersetzen jeden Punkt im Raum in einen neuen. Dies ist das mathematische Äquivalent zum Schütteln einer Plane.



Sie können dem Raum Struktur hinzufügen. Diese Struktur verstärkt die im Raum enthaltenen Informationen und begrenzt gleichzeitig die Möglichkeiten für seine Verformung.





Unstrukturierter Raum: Die Oberfläche der Kugel ist ein zweidimensionaler Raum. Das Fehlen einer Struktur bietet reichlich Möglichkeiten für ihre Verformung, ohne ihre topologischen Eigenschaften zu verändern.





Hinzufügen von Strukturen: Durch Hinzufügen einer metrischen Struktur zum Raum - beispielsweise wie die Längen- und Breitengrade eines Globus - können wir Entfernungen zwischen Punkten messen. Dann gibt es jedoch nur wenige Optionen für die Objektverformung, die diese Abstände nicht verletzen.



Sie können beispielsweise der Oberfläche einer Kugel eine metrische Struktur hinzufügen, z. B. die Längen- und Breitengrade eines Globus. Diese Struktur ermöglicht es uns, die Abstände zwischen Punkten zu messen. Nach dem Auftragen ist es jedoch nicht mehr möglich, den Ball aufzublasen oder zu zerknittern, ohne die ursprüngliche Struktur zu beschädigen. Schließlich werden wir die Abstände zwischen den Punkten ändern. Wenn wir den Ballon aufblasen, vergrößert sich beispielsweise der Abstand zwischen New York und London.



Wir können eine andere Art von Struktur hinzufügen - symplektisch. Es gibt uns die Möglichkeit, Bereiche im Raum zu messen und die Form des Raums so zu ändern, dass sich diese Bereiche nicht ändern.



Das erste Beispiel für einen solchen Raum fand Hamilton bei der Untersuchung physikalischer Systeme- Zum Beispiel Planetenbewegungen. Wenn sich ein Planet im Raum bewegt, wird seine Position durch drei Koordinaten bestimmt, die seine Position entlang der x-, y- und z-Achse bestimmen. Die Punkte, die alle möglichen Planetenorte darstellen, bilden einen dreidimensionalen Raum.



Hamilton entdeckte, dass jedem Punkt in diesem dreidimensionalen Raum drei zusätzliche Koordinaten zugewiesen werden können, die die Größe des Impulses des Planeten entlang der drei Achsen angeben. Nennen wir sie x _m , y _m und z _m . Wir haben jetzt sechs Koordinaten: drei für den Standort und drei für den Impuls. Diese sechs Koordinaten definieren einen Punkt im neuen sechsdimensionalen Raum.





Wir haben sechs Koordinaten: drei für den Standort und drei für den Impuls. Diese sechs Koordinaten definieren einen Punkt im neuen sechsdimensionalen Raum.



Dieser sechsdimensionale Raum ist ein Beispiel für einen Raum mit einer symplektischen Struktur, da er Flächen messen kann. Und so funktioniert es.



An jedem Punkt im Raum können Sie sechs Vektoren (Richtungspfeile) zeichnen, die der Bewegungsrichtung oder dem Impuls des Planeten entlang der Dimension entsprechen, auf die der Vektor zeigt. Da zwei Vektoren ein Parallelogramm bilden - ein zweidimensionaler Raum mit einer Fläche ungleich Null - können Sie zwei Vektoren nehmen und diese Fläche messen.



Um sicherzustellen, dass der Wert nicht Null ist, müssen Sie bestimmte Vektorpaare verwenden, die die Bewegungsrichtung und den Impuls entlang derselben Achse angeben. Nicht übereinstimmende Vektoren, beispielsweise der Richtungsvektor der z-Achse, ergeben zusammen mit dem Impulsvektor der y-Achse ein Parallelogramm mit einer Fläche von Null.







Solche Vektorpaare spiegeln auch eine andere wichtige Eigenschaft des symplektischen Raums wider - ihre Beziehung zu komplexen Zahlen. Diese Zahlen haben i, die Quadratwurzel von -1, und haben die Form a + bi, wobei a real und b imaginär ist. Eine Möglichkeit, einen sechsdimensionalen symplektischen Raum zu definieren, besteht darin, drei komplexe Zahlen zu definieren, von denen jeweils zwei Teile eine Koordinate ergeben. Diese beiden Teile entsprechen auch den beiden Vektoren, die wir kombinieren, um die Fläche zu messen.



So bieten beispielsweise für jeden Punkt die entlang der x-Achse aufgetragenen Vektoren der Bewegungsrichtung und des Impulses nicht nur eine Möglichkeit, die Fläche zu messen, sondern bilden auch eine der drei komplexen Zahlen, die den Raum definieren. Diese Beziehung spiegelt sich im Namen wider, weil "symplektisch" vom griechischen Wort sumplektikós stammt, was dasselbe bedeutet wie der lateinische Komplex - "miteinander verflochten". Der Name spiegelt die Verflechtung von symplektischer Struktur und komplexen Zahlen wider.



Dies ist auch einer der Hauptgründe, warum der symplektische Raum die Vorstellungskraft von Mathematikern anregt. "Mathematiker waren bereits an komplexen Zahlen und Planetenbewegungen interessiert", sagte Murphy. "Wenn Sie also einem Mathematiker von der Existenz der Geometrie erzählen, was zeigt, warum diese beiden Dinge unterschiedliche Manifestationen einer einzelnen Grundstruktur sind, wird er sicherlich an diesem Thema interessiert sein."



Die symplektische Geometrie untersucht Transformationen von Räumen, die ihre symplektische Struktur bewahren und die Größe der Bereiche nicht verändern. Diese Einschränkung lässt nicht viel Spielraum für die zulässigen Transformationen. Infolgedessen nimmt die symplektische Geometrie eine Zwischenposition zwischen der flexiblen Planentopologie und der starren Zeltgeometrie ein. Transformationen, die die symplektische Struktur bewahren, werden nach dem Entdecker Hamiltonsche Diffeomorphismen genannt .



Hamilton entdeckte jedoch nur das erste Beispiel eines symplektischen Raums, und es gab keinen Grund, sich damit zu befassen. Bald begannen Mathematiker darüber nachzudenken, wie symplektische Phänomene in geometrischen Räumen aussehen könnten, die nichts mit der physischen Welt zu tun haben.



"Mathematiker streben immer nach Verallgemeinerungen, wir wollen fragen: Wie würde die klassische Mechanik aussehen, wenn wir nicht im dreidimensionalen, sondern im achtdimensionalen Raum leben würden?" Sagte Murphy.





Vladimir Igorevich Arnold stellte einige grundlegende Hypothesen auf dem Gebiet der symplektischen Geometrie auf.



In den 1960er Jahren stellte Vladimir Igorevich ArnoldStellen Sie mehrere einflussreiche Hypothesen auf, die bestimmte Eigenschaften des symplektischen Raums beschreiben, die sie starrer machen als gewöhnliche topologische. Eine davon, Arnolds Vermutung über feste Punkte von Symplektomorphismen, sagt voraus, dass Hamiltonsche Diffeomorphismen eine unerwartet große Anzahl von „festen“ Punkten aufweisen, die ihre Position während der Transformationen nicht ändern. Wenn wir sie studieren, können wir mit Sicherheit sagen, was den symplektischen Raum von anderen Arten von geometrischen Räumen unterscheidet.



In den späten 1980er Jahren wurde der deutsche Mathematiker Andreas Floerentwickelte die Floer-Homologie, eine leistungsstarke Plattform, mit der Mathematiker heute symplektische Phänomene untersuchen. Sie benutzt das sogenannte. pseudoholomorphe Kurven, mit denen Mathematiker indirekt die Anzahl der Fixpunkte zählen können, um eine bestimmte Mindestanzahl von Punkten zu bestimmen, die ein symplektischer Raum haben sollte.



"Die Floer-Homologie zeigt, dass man Fixpunkte nicht einfach fallen lassen kann", sagte Keating. "Damit können Sie beweisen, dass diese Punkte vorhanden sein müssen."



Als sich die Theorie der symplektischen Geometrie entwickelte, wurden Verbindungen zu einem ständig wachsenden Spektrum von Themen in Mathematik und Physik gefunden, von der Stringtheorie über die niedrigdimensionale Topologie bis hin zur Untersuchung einer verwirrenden mathematischen Dualität, die als Spiegelsymmetrie bezeichnet wird. Ein aktuelles Beispiel für die Anwendung der symplektischen Geometrie ist die Lösung des topologischen Problems der quadratischen Stifte .



Für viele Mathematiker hat die Anziehungskraft der symplektischen Geometrie jedoch wenig mit ihren Schnittpunkten mit der Physik oder anderen Bereichen der Mathematik zu tun. Sie betrachten ihre Existenz als ein Wunder. "Wir beginnen, Schönheit in der Struktur selbst zu finden, unabhängig von ihren Verbindungen zu irgendetwas anderem", sagte Murphy.