Generelle Relativität. Energie als zusätzliche Dimension in der Schwarzschild-Lösung

Habritanten ! In diesem Artikel wird beschrieben, wie Sie eine allgemeine Metrik erhalten, die die Friedman- und Schwarzschild-Metriken als Sonderfälle enthält.



Um das Material zu verstehen, benötigen Sie das Konzept der Derivate.



Stellen wir uns vor, der Raum hat eine vierte Dimension. Als ob die Bewegung darin einen Teil der Bewegung vom Objekt weggenommen hätte oder umgekehrt. Als wäre die Schwerkraft ein rein geometrischer Effekt der Erzeugung eines subdimensionalen Wirbels um jedes Objekt mit Energie.



Sie sind wahrscheinlich auf eine ähnliche Visualisierung der Schwerkraft gestoßen, wenn Sie an der Frage interessiert sind:







Um die Tiefe eines solchen Trichters und den Mechanismus der Interaktion von Objekten abzuschätzen, werden wir den Ausdruck für das Signaturintervall (1-4) formulieren.

3-sphärische Koordinaten

Stellen Sie sich einen 4-dimensionalen Raum vor $$$\psi (w,x,y,z) = \mathbb{R}^4$und stellen Sie die sphärischen Koordinaten ein $$$(r, \theta, \phi, \eta)$::

$$

$$] \, {w = r\sin\theta\sin\phi\cos\eta; \\ x = r\sin\theta\sin\phi\sin\eta; \\ y = r\sin\theta\cos\phi; \\ z = r\cos\theta } \\$$

Dazu schreiben wir die Übergangsmatrix auf:

$$

$$\vec{r} = \left( \matrix{w \\ x \\ y \\ z} \right) = \left( \matrix{r\sin\theta\sin\phi\cos\eta \\ r\sin\theta\sin\phi\sin\eta \\ r\sin\theta\cos\phi \\ r\cos\theta } \right)$$

Berechnen wir die Umrechnungsfaktoren:

$$

$$g_r = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial r} \right| = \sqrt{ \left( \frac{\partial w}{\partial r} \hat{h} + \frac{\partial x}{\partial r} \hat{i} + \frac{\partial y}{\partial r} \hat{j} + \frac{\partial z}{\partial r} \hat{k} \right)^2 } = \\ = \sqrt{sin^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta + \sin^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta + sin^2\theta\cos^2\phi + \cos^2\theta} = 1 \\ g_\theta = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta} \right| = \sqrt{r^2cos^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta+r^2\cos^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta+r^2\cos^2\theta\cos^2\phi+r^2sin^2\theta} = \\ = \sqrt{r^2(sin^2\theta + \cos^2\theta (cos^2\phi + sin^2\phi (cos^2\eta+sin^2\eta)))} = r \\ g_\phi = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \phi} \right| = \sqrt{r^2sin^2\theta\cos^2\phi\cos^2\eta + r^2sin^2\theta\cos^2\phi\sin^2\eta + r^2sin^2\theta\sin^2\phi + 0} = \\ = \sqrt{r^2sin^2\theta} = r\sin\theta \\ g_\eta = \left| \frac{\partial\vec{r}}{\partial \eta} \right| = \sqrt{r^2\sin^2\theta\sin^2\phi\sin^2\eta+r^2\sin^2\theta\sin^2\phi\cos^2\eta} = r\sin\theta\sin\phi$$

Und präsentieren Sie die entsprechenden $$$\psi$ Intervall:

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + (dw^2 + \color{green}{ dx^2 + dy^2 + dz^2}) \\ ds^2 = (-1)\cdot dt^2 + (g_r^2 dr^2 + g_\theta^2 d\theta^2 + g_\phi^2 d\phi^2 + g_\eta^2 d\eta^2) \\ ds^2 = (-1)\cdot dt^2 + 1 \cdot dr^2 + r^2 \cdot d\theta^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 \\ ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{magenta}{1 \cdot dr^2} + \color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 \right)}$$

In rot - die zeitliche Komponente, die ähnlich wie die FLRW-Metrik dargestellt wird.

Grün - die räumliche Komponente, die ähnlich wie die FLRW-Metrik dargestellt wird und die Oberfläche einer 3-Kugel darstellt.



Magenta erwies sich als eine Verbindung zwischen Zeit und Raum - das Differential der Änderung des Multiplikators des räumlichen Teils.

Gesamtansicht des Intervalls

Wir setzen die Entwicklung der im vorherigen Artikel beschriebenen Ideen fort und setzen die Änderung in der vierten Dimension als Maß für die relative Energiemenge von Objekten ein. Daher ergänzen wir die Metrik der Komponente$$$\color{orange}{-dr^2}$aufgrund der Berücksichtigung eines energetisch geschlossenen Systems, von dem angenommen wird, dass es sowohl für das gesamte Universum (Friedmanns Lösung) als auch für einen kugelsymmetrischen massiven Körper (Schwarzschilds Lösung) gilt. Der Leser, der mit dieser Interpretation nicht einverstanden ist, kann sie einfach als mathematischen Trick betrachten:

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2 \left( 1 - \color{magenta}{\frac{dr^2}{dt^2}} \right)} + \color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right)}$$

Magenta im zeitlichen Teil ist klar:

$$

$$\color{magenta}{ \frac{dr^2}{dt^2} = \dot{r}^2 }$$

Arbeite an Fehlern. Leider vorhanden$$$\psi'(\theta, \phi, \eta) = \mathbb{R}^3 \in \psi$Eine flache Koordinatentransformation ist nicht möglich. Wenn Sie daran denken$$$r^2 \cdot (dx^2 + dy^2 + dz^2)$Die Basisvektoren sind nicht mehr orthogonal zueinander.

Weitere Überlegungen können nur für den Fall der Annäherung gelten$$$\sin^2 \theta = \rho^2$ akzeptabel für große Werte $$$r$...

Reformiere das Grüne, um zu zeigen, dass der Raum $$$\psi'(\theta, \phi, \eta) = \mathbb{R}^3 \in \psi$ kann in Winkelkoordinaten dargestellt werden $$$(x_1, y_1, z_1)$ wie die FLRW-Metrik:

$$

$$\color{green}{r^2 \left( d\theta^2 + \sin^2\theta \cdot d\phi^2 + \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot d\eta^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right) = \\ = r^2 \cdot dx_1^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \frac{d\phi^2}{d\theta^2} \cdot dy_1^2 + r^2 \cdot \sin^2\theta \cdot \sin^2\phi \cdot \frac{d\eta^2}{d\theta^2} \cdot dz_1^2 - \color{orange}{dr^2} =} \quad \rightarrow (1)$$

In diesem Fall sind die Übergangsfaktoren gleich:

$$

$$dx_1^2 = d\theta^2; \\ dy_1^2 = \sin^2 \theta \cdot d\phi^2 = \sin^2 \theta \cdot \frac{d\phi^2}{d\theta^2} \cdot d\theta^2 = \sin^2 \theta \cdot \left( \frac{d\phi}{d\vec{r}} \cdot \frac{d\vec{r}}{d\theta} \right)^2 \cdot d\theta^2 = \\ = \sin^2\theta \cdot \left( \frac{g_\theta}{g_\phi} \right)^2 \cdot d\theta^2 = \frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} \cdot d\theta^2 = d\theta^2; \\ \frac{d\eta^2}{d\theta^2} = \frac{g_\theta^2}{g_\eta^2} = \frac{1}{\sin^2\theta \cdot \sin^2\phi };$$

Daher unter Berücksichtigung der Basisvektoren:

$$

$$(1) \rightarrow \quad \color{green}{= r^2 \cdot dx_1^2 \cdot \vec{e_{\theta}}^2 + r^2 \cdot dy_1^2 \cdot \vec{e_{\phi}}^2 + r^2 \cdot dz_1^2 \cdot \vec{e_{\eta}}^2 - \color{orange}{dr^2 \cdot \vec{e_r}^2} = } \quad \rightarrow \ (2)$$

Was ist 3-Raum $$$\psi'_1(x_1, y_1, z_1)$ mit linear $$$d\theta$ Basisvektoren, Skalierungsfaktor $$$r$ und augenblickliche Länge $$$dl^2 = dx_1^2 + dy_1^2 + dz_1^2$in unserem Fall kollektiv um den Wert reduziert $$$dr^2/r^2$::

$$

$$(2) \rightarrow \quad \color{green}{ = r^2 \cdot \left( dx_1^2 \cdot \vec{e_\theta}^2 + dy_1^2 \cdot \vec{e_\phi}^2 + dz_1^2 \cdot \vec{e_\eta}^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2} \cdot \vec{e_r}^2} \right) = } \quad \rightarrow \ (3)$$

Ohne die orangefarbene Komponente wird der räumliche Teil des Intervalls des kosmologischen Standardmodells für den "flachen" Raum mit einer möglichen Verschlechterung des räumlichen Skalierungsfaktors erhalten $$$r$rechtzeitig, wie in FLRW.



"Packen" extra$$$dr^2$ wird in der Kugel wieder praktischer sein, nur für eine dreidimensionale Kugel bereits üblich $$$(x_1, y_1, z_1) \rightarrow(\rho, \varphi, \zeta)$... Zur Unterscheidung zwischen Koordinaten für 3-sphärische und 2-sphärische Systeme werden letztere bezeichnet$$$(\rho, \varphi, \zeta)$::

$$

$$(3) \rightarrow \quad \color{green}{ r^2 \cdot \left( dx_1^2 + dy_1^2 +dz_1^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} \right) = r^2 \cdot \left( d\rho^2 - \color{orange}{\frac{dr^2}{r^2}} + \rho^2 \cdot d\varphi^2 + \rho^2 \cdot \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2 \right) = \\ = r^2 \cdot \left( \left(1 - \color{orange}{\frac{d(\ln r)^2}{d\rho^2}} \right) d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right) }$$

wo die Größenordnung Verhältnis $$$dr = r d\rho \ \Rightarrow r = e^\rho$, und $$$\varphi, \zeta$ nach dem Tangentensatz:

$$

$${ d\varphi = \frac{r}{\rho} \cdot d\phi; \\ d\zeta = \frac{r \cdot \sin \phi}{\rho \cdot \sin\varphi} \cdot d\eta. }$$

Dann ist das volle Intervall:

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2 \left( 1 - \color{magenta}{\frac{dr^2}{dt^2}} \right)} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( \left(1 - \color{orange}{\frac{d(\ln r)^2}{d\rho^2}} \right) d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right)} \qquad (A)$$

Das Ergebnis ist ein kombiniertes Intervall, als ob es aus der Form eines Intervalls der FLRW-Metrik und der Schwarzschild-Metrik "zusammengeschustert" wäre, von denen jedes einen bestimmten Fall physikalischer Wechselwirkungen darstellt. Nun wollen wir mal sehen wie aus$$$(A)$ entsprechende Lösungen werden erhalten.

Intervallansicht für die Friedman-Metrik

Rein mathematisch ein Intervall der Form $$$(A)$ wird zur FLRW-Metrik des kosmologischen Standardmodells, indem einfach die Energiekomponente ausgeschlossen wird $$$dr = 0$::

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2) \right)}$$

Was, wie oben gezeigt, auch so umgeschrieben werden kann:

$$

$$ds^2 = \color{red}{(-1)\cdot dt^2} + \color{green}{ r^2 \cdot \left( dx^2 + dy^2 + dz^2 \right)}$$

Die Lösung der Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie für ein solches Intervall ergibt die Abhängigkeit $$$r \propto t^{2/3}$...



Die empirischen QCS-Daten für Objekte$$$z>0.3$zeigen die konsolidierte Abweichung von dieser Beziehung.



Möglicherweise eine Lösung für ein Intervall wie$$$(A)$ wird eine genauere Beziehung geben, aber ich habe es noch nicht gefunden.

Allgemeine Relativitätslösung in Bezug auf die Schwarzschild-Metrik

Vergleichen wir das resultierende Intervall mit der Schwarzschild-Metrik :

$$

$$ds^2 = -\color{red}{(1-\frac{\rho_s}{\rho})} \cdot dt^2 + \color{orange}{\frac{1}{1 - \frac{\rho_s}{\rho}}} \cdot d\rho^2 + \rho^2 \cdot d\phi^2 + \rho^2 \sin^2 \phi \cdot d\zeta^2$$

Wenn wir uns ein System interagierender Objekte auf einer Niedrigenergieskala vorstellen $$$(dr/r \rightarrow \infty)$dann $$$r$ kann gleich eins genommen werden, ohne die mathematische Konnektivität zu verlieren, der Raum wird dann pseudo-euklidisch und das Intervall $$$(A)$ kann wie folgt umgeschrieben werden:

$$

$$ds^2 = (-1)\cdot \color{red}{ \left( 1 - \frac{dr^2}{dt^2} \right) } \cdot dt^2 + \color{orange}{ \left(1 - \frac{dr^2}{d\rho^2} \right) } \cdot d\rho^2 + \rho^2 \cdot ( d\varphi^2 + \sin^2 \varphi \cdot d\zeta^2)$$

Mathematisch ist dies genau das gleiche, als ob wir den Trick ausgeführt hätten $$$\pm dr^2$ für leeren 3-Raum in sphärischen Koordinaten $$$(\rho, \varphi, \zeta)$...



Das heißt, für den Fall eines flachen Vakuums das Intervall$$$(A)$wird eine Lösung haben, die der Lösung der Schwarzschild-Metrik ähnlich ist, vorausgesetzt, die rot und orange hervorgehobenen Faktoren sind äquivalent. Wir bekommen das System:

$$

$$1-\frac{\rho_s}{\rho} = 1 - \frac{dr^2}{dt^2}; \\ \frac{1}{1 - \frac{\rho_s}{\rho}} = 1 - \frac{dr^2}{d\rho^2}.$$

Wo $$$t, r, \rho$- in der Reihenfolge: Zeit, Krümmung (Energie), Radius (Abstand) in einem sphärisch symmetrischen Gravitationsfeld entlang der Null-Gesamtkrümmung des Raumes.

Mit einfachen mathematischen Transformationen erhalten wir eine sehr lakonische Lösung:

$$

$$-dt^2 + dr^2 - d\rho^2 = 0,$$

was bestätigt, dass:

1. Die vierte Koordinate ist linear zur Radialkoordinate.
2. Die vierte Koordinate ist die imaginäre Achsenkoordinate.

Das erste ist meiner Meinung nach sehr wichtig, da es zeigt, dass die als zusätzliche Achse dargestellte Energie für die Observablen nahezu isotrop ist. Zweitens können Sie verstehen, warum sie sich anders manifestiert. Und "nicht beobachtbar".



Darüber hinaus möchte ich darauf hinweisen, dass die Einstellung des Energieintervalls mit einem negativen Vorzeichen in Bezug auf den Raum und einem positiven Vorzeichen in Bezug auf die Zeit es uns ermöglicht, ihre Beziehung wie folgt zu formulieren: Raum ist Energiezeit, er wird in Energiezeit überwunden.

Zusammenfassung

Es scheint mir, dass sich die Fortsetzung des Kurses zur Geometrisierung der Physik als vielversprechende Richtung herausstellt. Die Fiktion der Energieachse in der Kosmologie könnte als Sprungbrett für Maxwells Gleichungen dienen.

Randnotizen. Mit Blick auf die Zukunft werde ich davon ausgehen, dass eine imaginäre Messung zur Organisation der Ladungs- und Massenmechanismen nicht ausreicht. Plus elektromagnetischer Dualismus als Argument für mindestens zwei Dimensionen. Und etwas Symmetrie in der Form: Zeitdimension + zwei energetische = drei Raum.

Wenn ich in den Mikromaßstab gehe, werde ich versuchen, mich in Richtung "Teilen" zu bewegen.$$$r$::

$$

$$ds^2 = - dt^2 - dv^2 - dw^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$$

Bemerkung 23.08.2020:

Zusätzliche Achse imaginär $$$r$ wurde ursprünglich durch das Zeichen gegeben, mit dem $$$\pm dr^2$wurden in zeitliche und räumliche Komponenten unterteilt. Das heißt, wenn wir uns das Gravitationsfeld nicht als Trichter, sondern als Hügel vorstellen, wird sich herausstellen, dass die vierte Dimension in den Weltraum gerichtet ist:

$$

$$dt^2 + dr^2 + d\rho^2 = 0$$

Eine solche Gleichgültigkeit der in (1,3) gezeigten Eigenschaften gegenüber der Richtung der fünften Achse ist offensichtlich ein Zeichen ihrer geschlossenen Form.