Zwei Mathematiker beweisen die erste Stufe von Erds Lieblingsvermutung über Muster in Zahlenfolgen
Einige Mathematiker haben den ersten Teil einer der bekanntesten Hypothesen über die additiven Eigenschaften von ganzen Zahlen bewiesen. Es wurde vor mehr als 60 Jahren vom legendären ungarischen Mathematiker Pal Erdos vorgeschlagen . Es klingt so: An welchem Punkt in einer unendlichen Liste von ganzen Zahlen sind Muster von mindestens drei Zahlen garantiert, die im gleichen Abstand voneinander angeordnet sind - zum Beispiel 26, 29 und 32.
Erdos hat während seiner Karriere Tausende von Problemen formuliert, aber die Frage ist: Welche Liste von Zahlen äquidistante Zahlen enthält (was Mathematiker als arithmetische Progressionen bezeichnen), war einer seiner Favoriten. "Ich denke, viele Leute sahen dies als Hauptanliegen von Erds an", sagte Timothy Gowers von der University of Cambridge. Gowers, der erhieltDer Fields Prize im Jahr 1998 hat viele Stunden damit verbracht, dieses Problem zu lösen. "Praktisch alle ziemlich ehrgeizigen additiven Kombinatoren haben versucht, sie zu lösen", sagte er und bezog sich auf den Zweig der Mathematik, zu dem diese Hypothese gehört.
Dichtere Zahlenlisten enthalten im Allgemeinen eher eine arithmetische Folge als spärliche. Daher schlug Erdos eine einfache Überprüfung der Dichte einer Liste vor: Addieren Sie die inversen Werte der in der Liste enthaltenen Werte. Wenn es genügend Zahlen gibt, um diese Summe unendlich zu machen, sollte die Liste laut Erdös eine unendliche Anzahl von arithmetischen Fortschritten beliebiger endlicher Länge enthalten - drei, vier usw. Zahlen in einer Reihe.
In einem Papier online veröffentlicht am 7. Juli, Thomas Bloom von Cambridge und Olaf Sisaskvon der Universität Stockholm hat diese Hypothese im Fall von gleichmäßig verteilten Tripletts von Zahlen wie 5, 7 und 9 bewiesen. Dieses Paar zeigte, dass, wenn die Summe der Kehrwerte zu den Zahlen in der Liste unendlich ist, unendlich viele Tripel von gleich beabstandeten Zahlen darin sein müssen.
Thomas Bloom aus Cambridge
"Dies ist das bemerkenswerteste Ergebnis seit vielen Jahren", sagte Nets Katz vom California Institute of Technology. "Dies ist ein bedeutendes Ereignis."
Eine der Mengen, die Summe der reziproken Zahlen, zu denen die Unendlichkeit tendiert, sind Primzahlen - solche, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. In den 1930er Jahren Johannes van der Corputverwendeten eine spezielle Struktur von Primzahlen, um zu zeigen, dass in ihnen tatsächlich eine unendliche Anzahl von Tripletts mit gleichem Abstand zu finden ist (zum Beispiel 17, 23 und 29).
Die neue Entdeckung von Bloom und Sisask bedeutet jedoch, dass man die einzigartige Struktur von Primzahlen nicht genau verstehen muss, um zu beweisen, dass sie unendlich viele Tripel enthalten. Es genügt nur zu wissen, dass es genug Primzahlen gibt, damit die Summe ihrer gegenseitigen Werte unendlich ist - und das ist den Mathematikern seit vielen Jahrhunderten bekannt. "Das Ergebnis von Thomas und Olaf zeigt uns, dass selbst wenn ihre Struktur völlig anders wäre als die, die sie tatsächlich haben, die bloße Tatsache, eine große Anzahl von ihnen zu haben, unendlich viele arithmetische Progressionen garantieren würde", schrieb uns Tom Sandersvon der Universität Oxford.
Die neue Arbeit umfasst 77 Seiten, und es wird einige Zeit dauern, bis die Mathematiker sie gründlich überprüft haben. Viele sind jedoch optimistisch. "Es sieht wirklich so aus, als ob der Beweis für diese Behauptung aussehen sollte", sagte Katz, dessen frühes Werk die Grundlage dafür bildete.
Der Satz von Bloom und Sisask besagt, dass, wenn die Liste der Zahlen dicht genug ist, bestimmte Muster darin erscheinen sollten. Diese Entdeckung steht im Einklang mit dem Grundmotto der Mathematik, wie Sarah Pillus aus Oxford es nennt , das zuerst von Theodore Motzkin formuliert wurde: "Es gibt keine absolute Störung."
Verkleidete Dichte
Es ist ziemlich einfach, eine unendliche Liste ohne arithmetische Progressionen zu erstellen, wenn Sie sie spärlich genug machen. Betrachten Sie beispielsweise die Sequenz 1, 10, 100, 1.000, 10.000, ... Die Kehrwerte addieren sich zu 1.111 (1). Der Abstand zwischen diesen Zahlen wächst so schnell, dass kein einziges Triplett von Zahlen gefunden werden kann, die sich in gleichem Abstand voneinander befinden.
Möglicherweise fragen Sie sich jedoch, ob es eine dichtere Liste von Zahlen gibt, die noch keine arithmetischen Abläufe aufweist. Sie können beispielsweise entlang einer Zahlenlinie gehen und jede Zahl belassen, die nicht in arithmetischen Abfolgen enthalten ist. Wir erhalten die Sequenz 1, 2, 4, 5, 10, 11, 13, 14, ... die auf den ersten Blick ziemlich dicht aussieht. Mit der Zeit wird es jedoch immer spärlicher. Wenn wir beispielsweise 20-stellige Zahlen erreichen, werden nur 0,000009% aller Ganzzahlen aus der Zahlenreihe entnommen. 1946 kam Felix Berend auf dichtere Beispiele, die aber auch sehr schnell spärlich werden - die Berend-Menge, die 20-stellige Zahlen erreicht, enthält nur 0,001% aller ganzen Zahlen.
Wenn Ihre Menge jedoch fast alle ganzen Zahlen enthält, enthält sie definitiv arithmetische Folgen. Aber zwischen diesen beiden Extremen liegt ein riesiges, fast unmarkiertes mittleres Territorium. Wie spärlich kann eine Menge sein, spekulierten Mathematiker, damit dort noch arithmetische Abläufe garantiert werden können?
Olaf Sisask von der Universität Stockholm
Erdos (wie sie sagen, möglicherweise in Verbindung mit dem ungarischen Mathematiker Pal Turan) gab eine mögliche Antwort. Seine Bedingung für die Summe der Kehrwerte ist die maskierte Dichte. Es stellt sich heraus, dass dies dasselbe ist wie zu sagen, dass die Dichte einer Liste bis zur Zahl N nicht kleiner als eins geteilt durch die Anzahl der Ziffern in N ist. Mit anderen Worten, Ihre Liste wird möglicherweise immer spärlicher, wenn Sie sich entlang der Zahlenlinie bewegen, aber nur dann, wenn es passiert sehr langsam. Bei 5-stelligen Zahlen sollte die Dichte Ihrer Liste mindestens 1/5 betragen. auf 20 Stellen - mindestens 1/20 und so weiter. Und wenn diese Bedingung erfüllt ist, sollte Ihre Liste, wie Erdos vorgeschlagen hat, eine unendliche Anzahl von arithmetischen Fortschritten beliebiger Länge enthalten.
1953 setzte Klaus Roth Mathematiker auf den Weg, der zum Beweis von Erds Vermutung führte. In der Arbeit, die ihm in diesem Jahr einen Fields-Preis einbrachte, definierte er eine Dichtefunktion, die äquidistante Tripletts von Zahlen garantiert. Die Dichte war nicht so niedrig wie die von Erds, aber sie näherte sich dennoch Null, als wir uns entlang der Zahlenlinie bewegten. Roths Theorem bedeutete, dass es in der Liste der Zahlen, deren Dichte letztendlich unter 1% und dann unter 0,1% und dann unter 0,01% usw. fällt, arithmetische Progressionen geben muss, wenn nur ihre Dichte ausreichend abfällt langsam.
Pal Erds Vorlesung „60 Jahre Mathematik“ an der Universität von Cambridge im Juni 1991.
Zuallererst beruhte Roths Ansatz auf der Tatsache, dass die meisten Listen mit der von ihm gewählten Dichte arithmetische Progressionen "wollen" - sie haben genug verschiedene Zahlenpaare, so dass mit ziemlicher Sicherheit auch einige der Mittelpunkte zwischen diesen Paaren auf dieser Liste erscheinen, die würde zum Auftreten von gleichmäßig verteilten Drillingen führen. Der Trick besteht darin, von einer Liste mit „fast allen“ Zahlen zu einer Liste mit „allen“ Zahlen zu wechseln, obwohl die gesamte Struktur speziell entworfen worden sein könnte, um arithmetische Progressionen zu vermeiden.
Nachdem Roth eine solche Liste erhalten hatte, fand er heraus, wie man seine Struktur "destilliert", indem man sein "Frequenzspektrum" mit der Fourier-Transformation markiert... Es zeigt, welche der aufkommenden Muster am ausgeprägtesten sind - dieselbe Mathematik liegt Technologien wie Röntgenkristallographie und Radiospektroskopie zugrunde.
Einige Frequenzen erscheinen stärker als andere, und diese Variationen betonen vorhandene Muster. Beispielsweise kann die Häufigkeit darauf hinweisen, dass die Liste mehr ungerade als gerade Zahlen enthält. Wenn ja, können Sie sich nur auf ungerade Zahlen konzentrieren und eine dichtere Liste im Vergleich zu einer Liste nur ungerader Zahlen erhalten. Roth konnte zeigen, dass nach mehreren derartigen Destillationen eine Liste so dicht sein würde, dass arithmetische Progressionen darin vorhanden sein müssten.
Roths Ansatz hat in den letzten fünfzig Jahren viele Arbeiten in der analytischen Zahlentheorie inspiriert, sagt Jacob Fox von der Stanford University. "Seine Ideen waren sehr einflussreich."
Spiel, Satz, Match
Roths Methode funktionierte jedoch nur für die Zahlenmengen, die von Anfang an ziemlich dicht waren - andernfalls würden konstante Destillationen einfach alle Zahlen verdampfen. Andere Mathematiker fanden ständig Wege, diese Methode immer effektiver einzusetzen, aber sie konnten der in Erds 'Hypothese beschriebenen Dichte nicht nahe kommen. "Dieses Hindernis sah sehr schwierig aus", sagte Fox.
Dann im Jahr 2011, Katz und Michael Bateman dachten , wie in einfacheren Worten , dieses Hindernis zu überwinden: in dem Kartenspiel Seth, wo Spieler nach Sätzen von drei Karten suchen, die mit verschiedenen Symbolen markiert sind. Drei aus dem Set-Spiel können als arithmetische Folge definiert werden, und wie bei einer Liste von ganzen Zahlen können Sie die Frage stellen, welchen Bruchteil aller Karten Sie auf den Tisch legen müssen, um sicher mindestens eine Drei zu finden.
Spielset"
Das Ziel des Spiels ist es, spezielle Drillinge von Karten oder "Sets" in einem Stapel von 81 Karten zu finden. Jede Karte hat eine eigene Zeichnung mit vier Eigenschaften - Farbe (rot, lila, grün), Form (oval, Raute, Welle), Schattierung (Umriss, Streifen, vollständig ausgefüllt) und Anzahl der Formen (eins, zwei oder drei). Im normalen Spiel werden 12 Karten offen auf den Tisch gelegt, und die Spieler suchen nach Sätzen mit drei Karten, bei denen jedes der vier Attribute entweder für alle Karten gleich oder für alle Karten unterschiedlich ist. Wenn es unter den 12 Karten keine solchen Sätze gibt, werden weitere Karten hinzugefügt.
Ganzes Deck
, –
| ? |  |
 |
 |
 |
Eine einfache Möglichkeit, einen ziemlich großen Kartensatz ohne Drillinge zu erstellen, besteht darin, nur Karten zu nehmen, die nur zwei oder drei Auswahlmöglichkeiten für jedes Attribut haben. Die Größe dieser Sammlung beträgt (2/3) n des gesamten Decks, wobei n die Anzahl der Attribute ist.
Diese Frage (die sich nicht nur auf das Standard-Set-Spiel bezieht, sondern auch auf seine größeren Versionen) ist ein natürliches Modell für die Untersuchung der entsprechenden Frage zu ganzen Zahlen. Daher hofften die Mathematiker, dass der Durchbruch von Bateman und Katz den Weg ebnen könnte, um Erds Vermutung zu beweisen, insbesondere in Kombination mit anderen jüngsten Durchbrüchen . Bald nach der Veröffentlichung von Bateman und Katz startete Gowers das " Polymath-Projekt"„- eine massive gemeinsame Zusammenarbeit wurde entwickelt , um den Versuch zu machen.
Doch das Projekt schnell ins Stocken geraten“ In er eine riesige Menge an technischen Argumenten gesammelt, - sagte er Gowers -. Dieses Projekt für eine oder zwei Personen mehr geeignet ist, für eine lange Zeit und langsam arbeitet daran „..
Von Glücklicherweise bereiteten sich einige Mathematiker gerade darauf vor. Bloom und Sisask begannen zunächst getrennt über die Erds-Hypothese nachzudenken, die von der Schönheit der darin verwendeten Techniken fasziniert war. "Dies war eines der ersten Forschungsprobleme, mit denen ich konfrontiert war", sagte Sisask , der wie Bloom jetzt ungefähr 35 Jahre alt ist.
Bloom und Sisask haben sich 2014 zusammengeschlossen und bis 2016 beschlossen, einer Lösung nahe zu sein. Bloom kündigte dies sogar in seinem Vortrag an und erst danach stellte er fest, dass einige der Problemumgehungen, die sie fanden, falsch waren. Das Paar arbeitete weiter, tauchte in die Methode von Bateman und Katz ein und erkannte schließlich, welche neuen Ideen es ihnen ermöglichen würden, diese Methode von der Welt von Seth in die Welt der ganzen Zahlen zu übertragen.
Die neue Arbeit scheint aus jedem Blickwinkel korrekt zu sein, sagte Katz. "Ich habe ihren vorherigen Aussagen nicht geglaubt, aber ich glaube das."
Die Arbeit von Bloom und Sisask ist "eine enorme Leistung", sagte Fox. Sie und andere Mathematiker sind gespannt, ob die Techniken der neuen Arbeit auf andere Probleme anwendbar sind. "Ich denke, diese Methoden werden einen großen Einfluss auf die Mathematik haben", sagte Fox.
Was Erds Hypothese als Ganzes betrifft, so ist die Arbeit daran noch lange nicht abgeschlossen. Bloom und Sisask haben diese Hypothese nur für gleich beabstandete Tripletts von Zahlen bewiesen, nicht jedoch für längere arithmetische Progressionen - diese Aufgabe ist immer noch unerreichbar.
Und selbst die Frage mit drei, die Bloom und Sisask nach Meinung vieler Mathematiker bereits geschlossen haben, hilft nicht besonders. So schwierig es auch zu beweisen ist, dass Erds Dichte äquidistante Tripletts von Zahlen garantiert, Mathematiker vermuten, dass die tatsächliche Dichte, bei der diese Garantie nicht mehr funktioniert, viel geringer ist - vielleicht etwas höher als die Dichte der von Berend entworfenen Mengen.
"Das heißt nicht, dass wir dieses Problem vollständig gelöst haben", sagte Bloom. "Wir werfen ein bisschen mehr Licht auf sie."
Bloom und Sisask haben wahrscheinlich das Beste aus den aktuellen Methoden herausgepresst, sagte Fox. "Es sollte einige völlig neue Tools geben, mit denen wir viel weiter gehen und ein dramatisch besseres Ergebnis erzielen können", sagte er. "Dies ist jedoch wahrscheinlich nicht das Ende der Geschichte."