Warum beweisen Mathematiker das gleiche Ergebnis gerne auf unterschiedliche Weise?
Die Konzentration der Primzahlen, angezeigt durch gelbe Punkte auf dieser hexagonalen Spirale positiver Ganzzahlen, nimmt mit dem Abstand vom Anfang der Zahlenlinie ab. Diese vielfach nachgewiesene Regelmäßigkeit wird durch den Satz über die Verteilung von Primzahlen beschrieben.
"Man kann nicht an Gott glauben, aber man muss an das Buch glauben", sagte einst der ungarische Mathematiker Pal Erdos... Das Buch, das nur theoretisch existiert, enthält die elegantesten Beweise der wichtigsten Sätze. Erds Behauptung deutet auf die Motivation der Mathematiker hin, weiterhin nach neuen Beweisen für bereits bewährte Theoreme zu suchen. Einer ihrer Favoriten ist der Satz über die Verteilung von Primzahlen, so dass sie nur durch sich selbst und durch 1 teilbar sind. Und obwohl Mathematiker nicht wissen, ob der Beweis in das Buch aufgenommen wird, konkurrieren zwei Rivalen um den ersten Platz und beweisen dies gleichzeitig und unabhängig 1896 von Jacques Hadamard und Charles Jean de la Vallée-Poussin gefunden .
Was genau sagt dieser Satz aus?
Der Primzahlsatz ermöglicht es, die Anzahl der Primzahlen zu approximieren, die eine gegebene Zahl n nicht überschreiten. Dieser Wert wird als π (n) bezeichnet, wobei π die Verteilungsfunktion von Primzahlen ist [ nicht bezogen auf die Zahl π / ca. übers.]. Zum Beispiel ist π (10) = 4, weil es 4 Primzahlen bis zu 10 (2, 3, 5 und 7) gibt. In ähnlicher Weise ist π (100) = 25, da es unter den ersten 100 25 Primzahlen gibt. Unter den ersten 1000 Zahlen gibt es 168 Primzahlen, also π (1000) = 168 und so weiter. Beachten Sie, dass bei Betrachtung der ersten 10, 100 und 1000 Ganzzahlen der Prozentsatz der darin enthaltenen Primzahlen von 40% auf 25% bzw. 16,8% gesunken ist. Diese Beispiele deuten darauf hin, und der Primzahlsatz bestätigt, dass die Dichte der Primzahlen, die eine bestimmte Zahl nicht überschreitet, mit zunehmender Zahl abnimmt.
Aber selbst wenn Sie eine geordnete Liste von ganzen Zahlen bis zu einer Billion hätten, wer würde dann π (1.000.000.000.000) manuell berechnen wollen? Der Primzahlsatz ist ein Weg, um Energie zu sparen.
Es heißt, dass π (n) "asymptotisch gleich" zu n / ln (n) ist, wobei ln der natürliche Logarithmus ist. Asymptotische Gleichheit kann als grobe Gleichheit angesehen werden, obwohl dies nicht ganz richtig ist. Schätzen wir zum Beispiel die Anzahl der Primzahlen, die eine Billion nicht überschreiten. Anstatt einzelne Primzahlen zu zählen, um π (1.000.000.000.000) zu berechnen, können Sie diesen Satz verwenden und herausfinden, dass es ungefähr 1.000.000.000.000 / ln (1.000.000.000.000) gibt, was 36.191.206 entspricht 825, wenn auf die nächste ganze Zahl gerundet. Und von ihrer tatsächlichen Zahl von 37.607.912.018 unterscheidet sich diese Schätzung nur um 4%.
Bei asymptotischer Gleichheit verbessert sich die Genauigkeit mit zunehmenden Zahlen, die in der Formel eingesetzt werden. Je näher wir der Unendlichkeit kommen - die keine Zahl an sich ist, sondern einfach mehr als jede Zahl -, desto näher kommt die asymptotische Gleichheit der wirklichen Gleichheit. Und obwohl die reelle Anzahl von Primzahlen immer als ganze Zahl ausgedrückt wird, kann der Wert auf der anderen Seite der asymptotischen Gleichheit, dh der Bruchteil, in dem der natürliche Logarithmus erscheint, einen beliebigen Wert auf der reellen Linie annehmen. Diese Verbindung zwischen reellen und ganzzahligen Zahlen ist gelinde gesagt nicht intuitiv.
All dies bläst den Verstand ein wenig, selbst für Mathematiker. Und was am unangenehmsten ist, die Aussage des Satzes über die Verteilung von Primzahlen sagt nichts darüber aus, warum eine solche Beziehung gilt.
„Der Satz war für sich genommen nie wertvoll. Es geht nur um Beweise “, sagte Michael Bode , Professor für Mathematik an der Queensland University of Technology in Australien.
Während die ursprünglichen Beweise von Hadamard und La Vallée-Poussin elegant waren, basierten sie auf einer komplexen Analyse - der Untersuchung von Funktionen komplexer Zahlen -, die manche Menschen nicht mögen, da die Behauptung des Satzes selbst nichts mit komplexen Zahlen zu tun hat. Allerdings Godfrey Harold Hardy läutete 1921 die Entstehung von nicht-analytischen Nachweis - die so genannte. elementarer Beweis - der Satz über die Verteilung von Primzahlen " äußerst unwahrscheinlich " und besagt, dass, wenn jemand ihn findet, "die Theorie neu geschrieben werden muss".
Atle Selbergund Erdös selbst nahm die Herausforderung an und veröffentlichte 1948 jeweils einen neuen, unabhängigen elementaren Beweis des Primzahlsatzes unter Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen. Diese Beweise veranlassten andere Mathematiker, ähnliche Ansätze für zahlentheoretische Hypothesen in Betracht zu ziehen, die zuvor für solch komplexe Aussagen als zu einfach angesehen wurden. Infolgedessen wurden viele interessante Ergebnisse erzielt, einschließlich des elementaren Beweises von Helmut Meier im Jahr 1985 über unerwartete Inhomogenitäten bei der Verteilung von Primzahlen.
"Der Primzahlsatz hat viele ungelöste Fragen", sagte Florian Richter , Mathematiker an der Northwestern University, der kürzlich einen neuen rudimentären Beweis veröffentlichtediese berühmte Aussage. Richter fand es, als er versuchte, weitreichende Konsequenzen des Primzahlsatzes zu beweisen.
Im Laufe der Zeit haben Zahlentheoretiker dazu beigetragen, eine Kultur zu etablieren, in der Mathematiker Theoreme beweisen und erneut beweisen, um nicht nur Behauptungen zu testen, sondern auch ihre Theoremprüfungsfähigkeiten und ihr Verständnis der verwendeten Mathematik zu verbessern.
Dies liegt außerhalb des Geltungsbereichs des Primzahlsatzes. Paulo Ribenboim sammelte mindestens 7 Beweise für die Unendlichkeit von Primzahlen. Stephen Kifovit und Terra Stamps identifizierten 20 Beweisstücke, die zeigen, dass die harmonische Reihe 1+ 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + ... nicht zu einer endlichen Zahl konvergiert, während Kifovit fügte 28 weitere hinzu... Bruce Ratner listet über 371 Beweise des Satzes von Pythagoras auf , darunter großartige Beispiele von Euklid, Leonardo da Vinci und dem 20. US-Präsidenten James Abram Garfield, der damals Kongressabgeordneter in Ohio war.
Die Gewohnheit, nach doppelten Beweisen zu suchen, ist in der Gemeinschaft so tief verwurzelt, dass sich Mathematiker praktisch darauf verlassen können. Tom Edgar und Yajun Anh stellten fest, dass das quadratische Gesetz der Reziprozität neben dem ursprünglichen Beweis von Gauß aus dem Jahr 1796 246 weitere Beweise enthält . Sie zeichneten die Menge der Beweise gegen die Zeit auf und extrapolierten, dass bis 2050 der 300. Beweis dieses Gesetzes erwartet werden könnte.
"Ich mag neue Beweise alter Theoreme aus dem gleichen Grund, aus dem ich neue Straßen und Umwege mag, die zu Orten führen, die ich kenne", sagte Sofia Restad , eine Doktorandin an der Universität von Kansas. Diese neuen Wege geben Mathematikern einen räumlichen Eindruck von dem Ort, an dem ihre intellektuellen Aktivitäten stattfinden.
Mathematiker werden vielleicht nie aufhören, nach neuen, klareren Wegen zu suchen, um sowohl den Primzahlsatz als auch ihre anderen Lieblingssätze zu beweisen. Wenn Sie Glück haben, werden einige von ihnen sogar geehrt, in das "Buch" aufgenommen zu werden.