Die charakteristische Impedanz für eine verlustfreie Leitung wird durch die bekannte Formel ausgedrückt:
wobei L L und C L lineare Induktivität und Leitungskapazität sind (dh pro Längeneinheit). Ich denke, es wird nützlich sein zu klären, woher es kommt. Stellen Sie sich einen extrem kleinen Abschnitt einer langen Zweidraht-Übertragungsleitung vor, durch die ein Wechselstrom fließt (Abb. 1). Der Strom wechselt, so dass sich die Momentanwerte von Strom, Spannung zwischen Drähten und linearer Dichte der elektrischen Ladung entlang der Drähte ändern.
Das Ladungserhaltungsgesetz für den Drahtabschnitt und das Faradaysche Gesetz für die Schaltung lauten wie folgt:
Für eine Linie ohne Verluste (R L = 0) und unter Berücksichtigung von Φ L = L L ∙ i und q L = C L ∙ v erhalten wir:
Diese Differentialgleichungen werden auf eine Wellenform reduziert, für die wir erhalten:
Dabei ist u die Geschwindigkeit der Wellenausbreitung, und der Koeffizient, der den Strom in den Drähten und die Spannung zwischen den Drähten verbindet, ist die charakteristische Impedanz. Hier sind einige nützliche Beziehungen (TD ist die Zeitverzögerung der Leitung):
Kapazität und Induktivität hängen von der Frequenz ab, daher ändert sich die charakteristische Impedanz mit der Frequenz. Der Einfluss des Hauteffekts auf die Induktivität ist auf Frequenzen bis zu einigen zehn Megahertz begrenzt, im oberen Frequenzbereich ändert er sich unwesentlich. Der Wert der Kapazität wird durch die Abhängigkeit der Dielektrizitätskonstante des Leiterplattenmaterials von der Frequenz und bei Mikrostreifenleitungen aufgrund der Asymmetrie des Dielektrikums auch durch den Dispersionseffekt beeinflusst. Die Daten für FR-4-Glasfaser in verschiedenen Quellen unterscheiden sich, jedoch kann als Schätzung angenommen werden, dass die Dielektrizitätskonstante jedes Jahrzehnt um 0,15 bis 0,2 abnimmt (Abb. 2). Der Unterschied in den Daten ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass FR-4 eine Materialklasse ist. Es besteht aus Glasfaser und Epoxidharz, die signifikant unterschiedliche Dielektrizitätskonstanten aufweisen (Abb. 3).Je mehr Harz sich im Material befindet, desto geringer ist der volumengemittelte Wert der Dielektrizitätskonstante des Glasfaserlaminats. Daher unterschiedliche Werte für unterschiedliche Hersteller. Aufgrund dieser Anisotropie hängt die Dielektrizitätskonstante übrigens auch von der Richtung ab - in Längsrichtung oder in Querrichtung, was sich auf die Berechnungen für Differentiallinien auswirkt, da sich die Feldkonfiguration je nach Modus unterscheidet.
Die gegenseitige Anordnung von Glasfaser- und Leiterfasern beeinflusst auch die charakteristische Impedanz. Befindet sich der Leiter über der Faser, ist seine charakteristische Impedanz etwas höher als die des benachbarten Leiters, der in den Spalt zwischen den Fasern gefallen ist. Wenn der Leiter in einem Winkel zu den Fasern gerichtet ist, führt dies zu einer periodischen Änderung der charakteristischen Impedanz- und Resonanzeffekte bei Frequenzen im Bereich von einigen zehn GHz. Der Grad des Einflusses hängt stark von der Art des Glasfaserwebens ab (Abb. 4). Aus diesem Grund gibt es spezielle Materialien für Hochfrequenz-Leiterplatten, bei denen der Einfluss dieser Effekte erheblich wird. Die Parameter solcher Dielektrika weisen über einen weiten Frequenzbereich eine bessere Stabilität auf und sind viel besser dokumentiert.
In Bezug auf Verluste (Abb. 5) ist für die meisten praktischen Fälle das verlustarme Modell anwendbar, für das Verluste bei hohen Frequenzen vernachlässigt werden können. R SER ≪ ωL, R LEAK ≫1⁄ωC. Diese Vereinfachung ermöglichte die Entwicklung effizienter Modelle, die eine hochgenaue Berechnung der Signalleitungsparameter unter Verwendung von Standardfunktionen ermöglichen.
Planare Signalleitungen wurden in den frühen 1950er Jahren erfunden, und genaue mathematische Modelle wurden fast sofort für Streifenleitungen entwickelt, und es dauerte mehrere Jahrzehnte, um ein genaues Mikrostreifenanalysemodell zu erstellen. Harold Wheeler war einer der ersten (1965), der genaue Lösungen für bestimmte Fälle gab , die er später (bis 1977) verallgemeinerte . Der Grund ist die Asymmetrie des Dielektrikums, die zu einer komplexen Verteilung des elektrischen Feldes führt, die auch von der Frequenz abhängt.
Natürlich war dieses Modell nicht das einzige - und 1988 gab es genug davon, um es interessant zu machen, sie zu vergleichen. Dies ist erledigtder große und schreckliche Eric Bogatin. Ich bin auf diesen Artikel gestoßen, als ich ein Berechnungsmodell für einen Taschenrechner ausgewählt habe. Dann kam ich zu Wheelers Veröffentlichungen, wo es viele Seiten cooler Mathematik mit konformen Transformationen gibt, und mir wurde klar, dass Bogatin es nicht sorgfältig (oder überhaupt nicht) gelesen und sein Modell unhöflich gemacht hatte, was sich auf die Vergleichsergebnisse auswirkte. Dann wurde dieser Fehler auf das 2007. Jahr migriert . Gleichzeitig verweist Bogatin selbst auf die Monographie "Microwave Transmission Line Impedance Data" eines bestimmten M.A.R. Gunstan, aber ich fing nicht mehr an zu graben, wo die Beine wachsen, und erkannte Genosse Bogatin als den Schuldigen (den ich übrigens sehr respektiere, Bogatin ist Stärke).
Also, was ist der Punkt. Bogatin hat experimentell die lineare Kapazität von Mikrostreifenleitungen unterschiedlicher Breite (bei einer Frequenz von 1 kHz) gemessen und mit den berechneten Werten verglichen (Abb. 6).
In allen Modellen, aus denen ich die Primärquellen untersucht habe, sind analytische Beziehungen für die Wellenimpedanz angegeben. Die Kapazität wird unter Verwendung des folgenden Verhältnisses berechnet:
wobei ε r die Dielektrizitätskonstante ist, c die Lichtgeschwindigkeit ist. Die Asymmetrie des Dielektrikums führt dazu, dass der effektive Wert der Dielektrizitätskonstante erfunden werden muss. Bogatin schreibt:
Im Fall von Wheeler [13] wird kein Modell für die effektive Dielektrizitätskonstante angeboten. Basierend auf dem Vorschlag von Gunsten [6] verwendet das Diagramm für Wheelers Modell jedoch die effektive Dielektrizitätskonstante aus Schneiders Modell.
und verwendet ein hybrides Wheeler-Schneider-Modell (Ergebnis in pF / Zoll):
Nach den Ergebnissen des Experiments liefert das Modell eine gute Genauigkeit und Bogatin lobt sein erfundenes Fahrrad:
Die Kombination von Wheelers und Schneiders Modell stimmt mit früheren veröffentlichten Daten und neuen Daten, die hier präsentiert werden, zu mehr als 3 Prozent überein und hat eine Form, die für die Verwendung in einer Tabelle geeignet ist. Dieses Modell ist nicht nur für die Computersimulation bestimmter Konstruktionen nützlich, sondern kann auch nützliche Erkenntnisse liefern, um die Intuition von Fertigungs- und Konstrukteuren zu verbessern
Wenden wir uns nun der Originalquelle zu. Die von Bogatin verwendeten Formeln sind vereinfachte Formeln für den Fall ohne Dielektrikum:
und das komplette Modell sieht so aus:
hier ist in Wheelers Notation R der Wellenwiderstand, k ist die Dielektrizitätskonstante, R 1 = R (k = 1) ist der Widerstand ohne Dielektrikum, ∆w ist die Breitenkorrektur unter Berücksichtigung der Leiterdicke, ∆w 'ist die Korrektur unter Berücksichtigung des Einflusses des Dielektrikums. Wheeler verwendet die Notation k 'für die effektive Dielektrizitätskonstante und gibt ihr die folgende Formel:
Das ist natürlich nicht so einfach wie das von Schneider, aber es ist trotzdem im Modell. Ich wiederholte Bogatins Berechnungen und ließ die genauesten Modelle übrig: Schneider, Wheeler, ihre Hybridversion - und fügte die Berechnungsergebnisse mit dem Saturn PCB Toolkit- Rechner und dem Hammerstead- Modell hinzu . Zur Verdeutlichung präsentiere ich sowohl grafische als auch tabellarische Daten mit einem Fehler in Bezug auf experimentelle Daten.
Unter Berücksichtigung der Messfehler und der Dielektrizitätskonstante des Grundmaterials (2,2 ± 1%) können wir sagen, dass alle Modelle gut mit den experimentellen Daten korrelieren. Es ist nicht umsonst, dass die Forscher die Formeln jahrelang angepasst haben. Ich habe mehr Genauigkeit von Saturn erwartet, da es direkt besagt, dass es eine "nicht einfache, aber komplexe" Formel verwendet und die Genauigkeit mit Sonnet 3D vergleichbar ist. Außerdem kann dort die Dicke nur in Unzen gewählt werden, und dies ist entweder ½ Unze. (18 Mikrometer) oder 1 Unze. (35 μm) und 1 mil (25,4 μm) ist nicht angegeben. Die Werte in der Tabelle beziehen sich auf ½ Unze, da sie näher an den auf diese Weise erhaltenen experimentellen Daten liegen. Es ist auch offensichtlich, dass Wheelers ursprüngliches Modell bei dieser Datenprobe genauer gewesen wäre, also war ich über ihn verärgert. Besonders wenn man das bedenktDass genau das gleiche Schneider-Modell einen schwerwiegenden Nachteil hat - es berücksichtigt nicht den Effekt der Leiterdicke, der fast keinen Einfluss auf die Kapazität hat, sondern für die Induktivität und damit den Wellenwiderstand selbst von Bedeutung ist. Leider gibt Bogatin den Wert des Wellenwiderstandes nicht an, weshalb er ihn verwendet hatTaschenrechner von einer seriösen Firma Rogers. Der Saturn ist diesmal 1 Unze. es gab eine etwas bessere Genauigkeit, die Logik seiner Arbeit ist mir noch nicht sehr klar. Die Grafik zeigt, dass Schneider mit abnehmender Breite (wo der Effekt der Dicke zunimmt) abfällt. Und Rogers basiert anscheinend auf dem Hammerstead-Modell. Ich habe es ursprünglich auf Wheeler gemacht , aber da die meisten fortgeschrittenen Taschenrechner auf Hammerstead sind, wird es möglich sein, zu diesem Modell zu wechseln, um mit ihnen Schritt zu halten (obwohl das Modell im Gegensatz zu Wheeler keine explizite Formel für die Synthese hat).
Eigentlich halte ich diesbezüglich für wiederhergestellt. Wheeler ist Kraft. Sogar Bogatin liegt manchmal falsch. Also nicht vertrauen, prüfen und überprüfen. Verwenden Sie die Berechnungen für Ihre Signalleitungen. Apropos. Bitte teilen Sie in den Kommentaren mit, ob Sie die Berechnung des Wellenwiderstands verwenden und wenn ja, mit Hilfe dessen, was Sie denken.
PS Ich bin gerade dabei, am Taschenrechner zu arbeiten und das Buch fertigzustellen. Jetzt haben meine Hände die kostenlose Version erreicht. Ich habe alle Verbesserungen und Korrekturen hinzugefügt, die zuvor nur vollständig vorgenommen wurden. Allen viel Glück!